فيديو السؤال: إيجاد حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بدالة جذرية في ﺱ بدلالة ﺹ حول المحور ﺹ الرياضيات

أديرت المنطقة المحددة بالمنحنيات ﺱ = ٣ جذر ﺹ، ﺱ = ٠، ﺹ = ٣ حول المحور ﺹ. أوجد حجم المجسم الناشئ.

٠٦:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

أديرت المنطقة المحددة بالمنحنيات ﺱ يساوي ثلاثة جذر ﺹ، وﺱ يساوي صفرًا، وﺹ يساوي ثلاثة حول المحور ﺹ. أوجد حجم المجسم الناشئ.

حسنًا، خطوتنا الأولى هي رسم منحنى للدالة ﺱ يساوي ثلاثة جذر ﺹ. والآن ما الذي يمكننا إضافته أيضًا إلى الرسم؟ يمكننا كتابة ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ثلاثة. وقد أضفنا هذين المستقيمين؛ لأنهما من بين المستقيمات التي تحدد المنطقة لدينا، بالإضافة إلى المنحنى.

حسنًا، بالعودة إلى السؤال نجد أنه مطلوب منا تدوير هذه المنطقة حول المحور ﺹ. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على مجسم ثلاثي الأبعاد يبدو بهذا الشكل تقريبًا. حسنًا، ما سنفعله هو رسم هذا المجسم من زاوية أخرى؛ حتى يمكننا فهم الشكل الذي نبحث عنه. وداخل الرسم، تتضح لنا فكرة تقريبية عما ننظر إليه من الجانب.

إننا الآن نعلم ما نبحث عنه. لكن كيف يمكننا إيجاد الحل؟ حسنًا، سنبدأ بالنظر إلى مقطع عرضي صغير من المنطقة لدينا. وإذا أدرنا هذا المقطع العرضي الصغير كما سنفعل مع المنطقة بأكملها، فسنحصل في الغالب على قرص، ولهذا السبب تسمى هذه الطريقة أحيانًا بطريقة التكامل بالأقراص.

حسنًا، لقد أصبح لدينا قرص. دعونا الآن نفكر في أبعاد هذا القرص. إننا نعلم أن نصف قطر هذا القرص يساوي ثلاثة جذر ﺹ. ونعلم ذلك؛ لأن المنطقة الصغيرة التي ننظر إليها تمتد من المحور ﺹ إلى الدالة نفسها. ومن ثم نستنتج أن المسافة بين هذين الجزأين تساوي ثلاثة جذر ﺹ أو أن هذه هي قيمة الدالة عند تلك النقطة.

حسنًا، إننا الآن نعلم نصف القطر، في حين أن العمق هو ﺩﺹ؛ لأنه يساوي قيمة صغيرة للغاية من ﺹ. لذا سنشير إلى ذلك بـ ﺩﺹ. لدينا الآن الأبعاد التي نريدها، ماذا سنفعل إذن؟ يمكننا في البداية التفكير في حساب مساحة المقطع العرضي؛ لأن لدينا دائرة هنا. إذن هذه المساحة تساوي 𝜋نق تربيع، ما يساوي 𝜋 مضروبًا في ثلاثة جذر ﺹ الكل تربيع، وهذا يعطينا 𝜋 في تسعة ﺹ.

رائع لقد أوجدنا المساحة. إذن ما علينا فعله الآن هو إيجاد حجم القرص. يمكننا هنا قول إن الحجم يساوي 𝜋 تسعة ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ. وذلك لأن مساحة المقطع العرضي تساوي 𝜋 تسعة ﺹ والعمق يساوي ﺩﺹ. وبذلك نكون قد أوجدنا الحجم. لكن هذا حجم القرص فقط. كيف يمكننا إذن إيجاد حجم المنطقة بأكملها؟

لإيجاد حجم المجسم بالكامل، سنستخدم التكامل المحدد. يعطينا التكامل المحدد مجموع عدد لا نهائي من الأقراص الصغيرة. ونقول عدد لا نهائي؛ لأنه إذا كان لدينا عدد محدد من الأقراص، فسيكون ذلك مجرد عدد تقريبي. لكن بما أنه عدد لا نهائي، فإننا نعلم أننا سنحصل على الحجم الكامل للمجسم لدينا.

ربما تكون قد لاحظت أيضًا أنه عندما كتبنا التكامل المحدد، وضعنا الحدين ثلاثة وصفرًا. وذلك لأنهما حدا المنطقة لدينا؛ فإذا نظرت حيث ﺹ يساوي ثلاثة وﺹ يساوي صفرًا، فستجد أن المنطقة محددة بهاتين النقطتين. ومن ثم يمكننا إيجاد حجم المجسم الناشئ باستخدام التكامل المحدد لـ 𝜋 تسعة ﺹ ذي الحدين ثلاثة وصفر.

ولكي نذكر أنفسنا فقط بكيفية إيجاد قيمة التكامل المحدد، يمكننا قول إنه إذا كان لدينا تكامل محدد حداه ﺏ وﺃ، يمكننا قول إن قيمة ذلك تساوي التكامل مع التعويض عن ﺱ بالحد العلوي ﺏ، ناقص التكامل مع التعويض عن ﺱ بالحد السفلي ﺃ.

حسنًا، بما أننا نعلم الآن كيف نفعل ذلك، دعونا نواصل لإيجاد قيمة هذا التكامل المحدد. أول ما سنفعله هو نقل 𝜋 خارج التكامل. وذلك لأن 𝜋 لن يؤثر على التكامل نفسه؛ لأنه مجرد معامل. بعد ذلك سنكامل الدالة لدينا. علينا إذن إيجاد قيمة تكامل تسعة ﺹ، وهو ما يعطينا تسعة ﺹ تربيع على اثنين.

تجدر الإشارة هنا إلى أننا أضفنا واحدًا إلى الأس. لقد أضفنا واحدًا إلى واحد، وهذا يساوي اثنين. وبذلك نحصل على تسعة ﺹ تربيع، ثم نقسم ذلك على الأس الجديد.

سننتقل الآن إلى الخطوة التالية؛ وهي التعويض بالحدين العلوي والسفلي. ونحصل بذلك على 𝜋 مضروبًا في تسعة في ثلاثة تربيع على اثنين ناقص تسعة مضروبًا في صفر تربيع على اثنين. ليس من الضروري أن نكتب ذلك عادة؛ لأننا نعلم أن قيمة هذا المقدار تساوي صفرًا. لكننا كتبناه هنا لتوضيح الطريقة بالكامل. إذن ما سنفعله الآن هو حساب ذلك لإيجاد القيمة المطلوبة. وهذا كله يساوي ٨١ على اثنين 𝜋.

إذن يمكننا قول إنه إذا أديرت المنطقة المحددة بالمنحنيات ﺱ يساوي ثلاثة جذر ﺹ وﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ثلاثة حول المحور ﺹ، فإن حجم المجسم الناشئ يساوي ٨١ على اثنين 𝜋.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.