نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة القيم التي تحقق ستة جتا تربيع 𝜃 ناقص سبعة جتا 𝜃 ناقص خمسة يساوي صفرًا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من ٣٦٠ درجة. قرب إجابتك لأقرب دقيقة.
نلاحظ أن لدينا معادلة مثلثية، وهذه المعادلة المثلثية تشبه المعادلة التربيعية إلى حد ما. وفي الواقع، سنتعامل معها على أنها معادلة تربيعية. نبدأ بتعريف أن ﺱ يساوي جتا 𝜃. وبالتعويض عن جتا 𝜃 بـ ﺱ في المعادلة المثلثية الأصلية، يصبح لدينا ستة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص خمسة يجب أن يساوي صفرًا. دعونا نبدأ الآن بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ.
في الواقع، يمكننا تحليل التعبير ستة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص خمسة بالكامل. ونعلم أنه يمكن كتابته على صورة حاصل ضرب مقداري ذات الحدين. يجب أن يكون حاصل ضرب الحد الأول من كل ذات حدين في نظيره يساوي ستة ﺱ تربيع، بينما يجب أن يكون حاصل ضرب الحد الثاني من كل مقدار في نظيره هو سالب خمسة. بعد ذلك، عندما نضرب الحدين الخارجيين والحدين الداخليين ونوجد مجموع حاصلي الضرب، فإنه يجب أن يساوي سالب سبعة ﺱ. الطريقة الوحيدة لتحقيق هذه الشروط هي أن يكون مقدارا ذات الحدين هما ثلاثة ﺱ ناقص خمسة، واثنان ﺱ زائد واحد.
حاصل ضرب مقداري ذات الحدين لدينا يساوي صفرًا. والطريقة الوحيدة التي يمكن تحقيق ذلك بها هي أن يكون ثلاثة ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا، أو اثنان ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة الأولى بإضافة خمسة إلى كلا الطرفين، ثم قسمة الطرفين على ثلاثة. ونحصل من ذلك على ﺱ يساوي خمسة أثلاث. وبالمثل، نحل المعادلة الثانية لإيجاد قيمة ﺱ عن طريق طرح واحد من كلا الطرفين ثم القسمة على اثنين. لنجد أن ﺱ هنا يساوي سالب نصف. ولكننا ذكرنا في البداية أن ﺱ يساوي جتا 𝜃. إذن، يمكننا الآن القول إن جتا 𝜃 لا بد أن يساوي خمسة أثلاث أو سالب نصف.
دعونا نلق نظرة على حل كل من هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة 𝜃. نحن نعرف أن القيمة العظمى المطلقة لـ جتا 𝜃 تساوي واحدًا. وهذا يعني أنه لا توجد قيمة لـ 𝜃 تجعل جتا 𝜃 تساوي خمسة أثلاث. ومن ثم، نقول إن قيمة 𝜃 غير معرفة. بالنسبة إلى المعادلة الثانية، يمكننا حلها بإيجاد الدالة العكسية لجيب التمام لكلا الطرفين. إذن، 𝜃 تساوي الدالة العكسية لجيب تمام سالب نصف. وهذا يعطينا 𝜃 تساوي ١٢٠ درجة. وبذلك، نكون قد وجدنا قيمة واحدة لـ 𝜃 تحقق هذه المعادلة. إلا أن هذه ليست القيمة الوحيدة. هناك طريقتان مختلفتان لإيجاد القيمة الثانية.
الطريقة الأولى هي رسم التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي جتا 𝜃. نحن نريد حل المعادلة جتا 𝜃 يساوي سالب نصف. لذا، سنضيف المستقيم ﺹ يساوي سالب نصف إلى المخطط. نلاحظ أن الحل الأول، أي أول قيمة لـ 𝜃 في هذه الحالة، هو ١٢٠ درجة. إذن، هذه هي أول نقطة تقاطع بين منحنى جتا 𝜃 وسالب نصف. الحل الثاني موجود هنا. يمكننا الآن استخدام حقيقة أن المنحنى متماثل تمامًا حول المستقيم 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة؛ وذلك لإيجاد هذه القيمة. نطرح ١٢٠ درجة من ٣٦٠. بعد ذلك، نجد أن القيمة الأخرى لـ 𝜃، في الفترة 𝜃 أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من ٣٦٠، تساوي ٢٤٠ درجة.
الطريقة الأخرى التي قد تكون على دراية بها هي استخدام مخطط إشارات الدوال المثلثية. نحن نحل المعادلة جتا 𝜃 يساوي سالب نصف. إإذن، نستخدم مخطط إشارات الدوال المثلثية ليخبرنا بحقيقة أن قيمة جتا تكون موجبة هنا وهنا. وعليه، تكون قيمتها سالبة هنا وهنا. إذن، يقع الحل الأول لـ 𝜃 في الربع الثاني. ونلاحظ أن الحل الثاني يقع في الربع الثالث. نحن نعرف أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي ٣٦٠ درجة. لذا، يمكننا إيجاد الحل الثاني أيضًا بطرح ١٢٠ من ٣٦٠، لنحصل على ٢٤٠ درجة.
وبهذا، تكون مجموعة القيم التي تحقق المعادلة ستة جتا تربيع 𝜃 ناقص سبعة جتا 𝜃 ناقص خمسة يساوي صفرًا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من ٣٦٠ درجة، هي ١٢٠ درجة و٢٤٠ درجة.
