فيديو السؤال: إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها | نجوى فيديو السؤال: إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات العامة المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد مجال ومدى الدالة: ﺩ(ﺱ) = (ﺱ^٢ − ٣٦)‏/‏(ﺱ − ٦) إذا كان ﺱ ≠ ٦، ﺩ(ﺱ) = ١٢ إذا كان ﺱ = ٦.

٠٧:٥٩

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجال ومدى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٣٦ الكل مقسوم على ﺱ ناقص ستة إذا كان ﺱ لا يساوي ستة، وﺩﺱ تساوي ١٢ إذا كان ﺱ يساوي ستة.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها. لذا سنبدأ بتذكر ما نعنيه بمجال الدالة ومداها. بداية، مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المدخلة لهذه الدالة. ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المخرجة لهذه الدالة بمعلومية مجالها. وفي الواقع، يمكننا تحديد المدى مباشرة من التعريف المتعدد للدالة ﺩﺱ؛ لأن ﺩﺱ دالة متعددة التعريف.

لإدخال قيمة لـ ﺱ في هذه الدالة، علينا تحديد المجال الجزئي الذي تقع فيه هذه القيمة. على سبيل المثال، علمنا من السؤال أنه إذا كانت القيمة المدخلة للدالة هي ستة، فإن القيمة المخرجة للدالة ستكون ١٢. إذن، ستة يقع في مجال ﺩﺱ. وبالمثل، إذا أدخلنا قيمة لـ ﺱ لا تساوي ستة، فإن القيمة المخرجة للدالة ستكون مربع العدد ناقص ٣٦ مقسومًا على العدد ناقص ستة. إذن، يمكننا إدخال القيمة ستة وكذلك أي قيمة لـ ﺱ لا تساوي ستة. وهذا يشير إلى أي قيمة حقيقية لـ ﺱ. إذن، يمكننا القول إن مجال ﺩﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية. ومن الجدير بالذكر أنه يمكننا تعميم هذه النتيجة. فنقول إذن لأي دالة متعددة التعريف، يكون مجال هذه الدالة هو اتحاد مجالاتها الجزئية.

والآن، بعد أن أوجدنا مجال هذه الدالة، علينا إيجاد مداها. وقد يكون من الصعب تحديد مدى الدالة المتعددة التعريف من تعريفها فقط. لذا، دعونا نرسم الدالة التي لدينا. سنبدأ برسم محوري الإحداثيات. ومن الجيد عادة تحديد أي نقاط مهمة في المجالات الجزئية للدالة. في هذه الحالة، سنحدد ﺱ يساوي ستة على الشكل. إننا نريد رسم كل دالة جزئية على مجالها الجزئي كل على حدة.

فلنبدأ بالدالة الجزئية الأولى. وهي ﺱ تربيع ناقص ٣٦ الكل مقسوم على ﺱ ناقص ستة إذا كان ﺱ لا يساوي ستة. نلاحظ أن هذه الدالة كسرية، ومن الصعب رسم الدوال الكسرية. لنر إذا ما كان بإمكاننا تبسيط هذه الدالة أولًا. إحدى طرق فعل ذلك هي تحليل البسط بملاحظة أنه يمثل فرقًا بين مربعين. نعرف أن ﺱ تربيع ناقص ٣٦ سيساوي ﺱ ناقص ستة مضروبًا في ﺱ زائد ستة. إذن، بتحليل بسط الدالة الجزئية الأولى، يصبح لدينا ﺱ تربيع ناقص ٣٦ الكل على ﺱ ناقص ستة يساوي ﺱ ناقص ستة في ﺱ زائد ستة الكل مقسوم على ﺱ ناقص ستة.

والآن يمكننا أن نلاحظ شيئًا مهمًّا. وهو أن المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية لا يتضمن القيمة ﺱ يساوي ستة. وإذا كان ﺱ لا يساوي ستة، فإن ﺱ ناقص ستة لا يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ ناقص ستة من كل من البسط والمقام. بما أن ﺱ ناقص ستة لا يساوي صفرًا، فإن ﺱ ناقص ستة مقسومًا على ﺱ ناقص ستة يساوي واحدًا. وبهذا يكون الناتج ﺱ زائد ستة فقط. وبناء عليه، يمكننا تعديل الدالة الجزئية لتكون ﺱ زائد ستة فقط؛ حيث إن القيم المخرجة لهاتين الدالتين ستكون هي نفسها بشرط أن ﺱ لا يساوي ستة.

نريد رسم هذه الدالة الجزئية على الشكل لدينا. علينا أن نرسم ﺹ يساوي ﺱ زائد ستة؛ حيث ﺱ لا يمكن أن يساوي ستة. هناك عدة طرق لرسم ذلك. أولًا، نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا المستقيم هو ستة. يمكننا تحديد ذلك على الشكل. بعد ذلك، نرى أن ميل المستقيم يساوي واحدًا. إذن، لكل وحدة نتحركها يمينًا، نتحرك وحدة واحدة لأعلى. أو بطريقة أخرى، يمكننا إيجاد إحداثيات الجزء المقطوع من المحور ﺱ. نفعل ذلك بالتعويض بـ ﺹ يساوي صفرًا في المعادلة ثم حلها. نجد أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ يكون عند النقطة سالب ستة.

لكن تذكر أنه لا يمكن رسم الدالة الجزئية للقيمة ﺱ يساوي ستة. لأن هذه القيمة لا تقع في المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية. لذا، في هذه المرحلة، علينا رسم دائرة مفرغة. فهي تشير إلى أن الدالة غير مرسومة عند هذه النقطة. ويمكننا إيجاد إحداثيات هذه النقطة بالتعويض بـ ﺱ يساوي ستة في هذه الدالة الخطية. إذن، الإحداثي ﺹ لها سيكون ١٢.

لكن تذكر أن القيم المدخلة لـ ﺱ هي جميع قيم ﺱ ما عدا القيمة التي عندها ﺱ يساوي ستة. لذا، يجب أن يستمر المستقيم إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. نمثل ذلك باستخدام الأسهم. وبذلك، نكون قد رسمنا الدالة الجزئية الأولى لـ ﺩﺱ. لكن ما زال علينا رسم الدالة الجزئية الثانية لـ ﺩﺱ. هذه الدالة الجزئية عبارة عن قيمة ثابتة تساوي ١٢ عند قيمة محددة، وهي ﺱ يساوي ستة. إذن، التمثيل البياني لهذه الدالة الجزئية سيكون نقطة واحدة، وهي النقطة التي إحداثياتها ستة، ١٢. علينا توضيح ذلك على الشكل لدينا. أي علينا تضمين النقطة التي إحداثياتها ستة، ١٢ في التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. لذا، نحتاج أن تكون الدائرة مصمتة عند هذه النقطة.

والآن، بعد أن رسمنا كل دالة جزئية لـ ﺩﺱ على مجالها الجزئي، نكون قد تمكنا من رسم التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ. ويمكننا أن نلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام عند هذه المرحلة. الدالة ﺩﺱ تساوي تمامًا الدالة ﺱ زائد ستة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. هذا لأن التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ هو الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ زائد ستة. ويمكننا استخدام ذلك في تحديد مدى الدالة التي لدينا. مدى أي دالة خطية غير أفقية هو جميع الأعداد الحقيقية ﺡ. إذن، مدى ﺩﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا أيضًا أن نعرف ذلك من الشكل لدينا. بما أن المدى هو مجموعة القيم المخرجة للدالة، يمكننا إذن إيجادها عن طريق الإحداثيات ﺹ لأي نقطة على الشكل لدينا. على سبيل المثال، نلاحظ أن العدد ١٢ يقع في مدى الدالة؛ لأن هناك نقطة على الشكل الإحداثي ﺹ لها يساوي ١٢. وهذا ينطبق على أي قيمة حقيقية. إذن، المدى هو جميع القيم الحقيقية.

إذن، تمكنا من إيجاد مجال الدالة ﺩﺱ ومداها. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية، والمدى هو أيضًا جميع الأعداد الحقيقية.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية