فيديو السؤال: إيجاد معامل ارتباط سبيرمان للبيانات الثنائية المتغير الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معامل ارتباط سبيرمان بين ﺱ وﺹ. قرب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

بالنظر إلى مجموعة البيانات هذه، نلاحظ أن قيم ﺱ تقع في الصف الأول، وقيم ﺹ تقع في الصف الثاني. ومن ثم، فإن هذه النقاط ثنائية المتغير، وهو ما يعني أنها توصف باستخدام متغيرين. وعندما يطلب منا السؤال الحل لإيجاد قيمة معامل ارتباط سبيرمان بين ﺱ وﺹ، فإننا لا نستخدم قيم البيانات هذه مباشرة لفعل ذلك. بدلًا من ذلك، نستخدم ما يسمى برتب هذه القيم. وهذا لأن معامل ارتباط سبيرمان يصف مستوى الارتباط بين الرتب النسبية للبيانات الثنائية المتغير.

لكي نعرف ما يعنيه هذا، دعونا نضف صفين جديدين في جدول البيانات. سيمثل الصف الجديد الأول رتب قيم ﺱ في البيانات التي لدينا، وسيمثل الصف الجديد الثاني رتب قيم ﺹ. وإذا نظرنا أولًا إلى قيم ﺱ الموجودة في الجدول، فيمكننا ترتيب هذه القيم من الأصغر إلى الأكبر باستخدام الأعداد واحد واثنين وثلاثة، وهكذا. وهذا يعني أن رتبة أصغر قيمة لـ ﺱ هي واحد.

ونرى أن أصغر قيمة هي أربعة. وهذا يعني أن ﺭﺱ لهذه القيمة يساوي واحدًا. القيمة التالية الأصغر لـ ﺱ هي خمسة، وهو ما يعني أن رتبتها ستكون اثنين. ثم تتبعها القيمة سبعة، التي لا بد أن تكون رتبتها ثلاثة. وبعد ذلك، نجد أن قيمتين من قيم ﺱ تساوي كل منهما ثمانية. يمكننا القول إن هاتين القيمتين هما رابع وخامس أصغر قيمتين من قيم ﺱ. ولكن بما أنهما العدد نفسه، فسنوجد متوسط هاتين الرتبتين، أي أربعة وخمسة، وهو ٤٫٥، ثم نضعه باعتباره رتبة نسبية لكل من هذين العددين. وأخيرًا، نصل إلى أكبر قيمة من قيم ﺱ في الجدول وهي ١٢. ورتبتها هي ستة، حيث إنها سادس أصغر قيمة. إذن، هذا هو معنى ترتيب البيانات.

سنفعل الآن الأمر نفسه مع قيم ﺹ. أصغر قيمة لـ ﺹ في الجدول هي أربعة، ومن ثم، فرتبتها هي واحد. ثم تتبعها القيمة ستة، التي لدينا ثلاثة منها. وتمثل هذه القيم المواضع الثاني والثالث والرابع ضمن قيم ﺹ. وبما أنها كلها متساوية، فسنحدد لكل منها الرتبة نفسها وهي متوسط هذه الأعداد الثلاثة، أي ثلاثة. القيمة التالية الأصغر لـ ﺹ هي سبعة. وهي خامس أصغر قيمة من قيم ﺹ. لذا، فإن ﺭﺹ لها يساوي خمسة. وأخيرًا، نصل إلى أكبر قيمة لـ ﺹ، وهي ١٠، ومن ثم، فإن رتبتها هي ستة.

تمثل النواتج الواردة في هذين الصفين في الجدول ما سيصفه بالفعل معامل ارتباط سبيرمان. يعطينا هذا المعامل مؤشرًا كميًّا على مستوى الارتباط بين الرتب النسبية لهذه البيانات. وبشكل أساسي، كلما اقتربت قيم ﺭﺱ وﺭﺹ لكل نقطة في مجموعة البيانات بعضها من بعض، اقترب معامل الارتباط هذا لقيمة موجبة.

والخطوة التالية، دعونا نضف صفًّا في الجدول يشير إلى الفرق بين كل من قيم ﺭﺱ وﺭﺹ المتناظرة. سنقول إن هذه القيمة ﻑ تساوي ﺭﺱ ناقص ﺭﺹ لكل نقطة من نقاط البيانات. بالنسبة إلى نقطة البيانات الأولى، لدينا واحد ناقص خمسة. وهذا يساوي سالب أربعة. بعد ذلك، لدينا ثلاثة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا، ثم ٤٫٥ ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي ١٫٥؛ ثم اثنان ناقص واحد، وهو ما يساوي واحدًا؛ ثم ٤٫٥ ناقص ثلاثة مرة أخرى، وهو ما يساوي ١٫٥؛ وأخيرًا ستة ناقص ستة، وهو ما يساوي صفرًا.

لتحويل هذه النواتج إلى قيم معيارية، دعونا نضف صفًّا أخيرًا في الجدول، حيث نقوم بتربيع قيم الفرق هذه. وبهذه الطريقة، لن يكون أي من الفروق النسبية هذه سالبًا. سالب أربعة في سالب أربعة يساوي موجب ١٦. صفر تربيع يساوي صفرًا. ‏١٫٥ تربيع يساوي ٢٫٢٥. واحد تربيع يساوي واحدًا. ‏١٫٥ تربيع يساوي ٢٫٢٥ مرة أخرى. صفر تربيع يساوي صفرًا.

في هذه المرحلة، دعونا نتذكر العلاقة الرياضية لمعامل ارتباط سبيرمان. عادة ما نمثل هذا المعامل باستخدام ﺭ. وهذا يساوي واحدًا ناقص ستة مضروبًا في مجموع كل قيم ﻑ تربيع مقسومًا على عدد نقاط البيانات في المجموعة، وهو ﻥ، مضروبًا في هذا العدد تربيع ناقص واحد. ولحساب معامل ارتباط سبيرمان لمجموعة من البيانات، علينا معرفة أمرين، هما مجموع كل قيم ﻑ تربيع وكذلك إجمالي عدد النقاط في المجموعة.

بالنظر إلى مجموع ﻑ تربيع، يمكننا الحل لإيجاد قيمة ذلك من خلال جمع كل النواتج الموجودة في الصف الأخير من الجدول معًا. ‏١٦ زائد صفر زائد ٢٫٢٥ زائد واحد زائد ٢٫٢٥ زائد صفر يساوي ٢١٫٥. بعد ذلك، فيما يخص عدد نقاط البيانات في المجموعة، نلاحظ أن لدينا نقطة، نقطتين، ثلاثًا، أربعًا، خمسًا، ست نقاط. وهذا يعني أنه في هذه الحالة ﻥ يساوي ستة.

والآن، بعد أن حصلنا على هاتين المعلومتين من البيانات الواردة في المجموعة، يمكننا حذف جميع الصفوف التي أضفناها، ومواصلة حساب ﺭ، أي معامل ارتباط سبيرمان. نعوض بقيم كل من مجموع ﻑ تربيع وﻥ. ونلاحظ هنا أنه لأن ﻥ يساوي ستة، يحذف العامل ستة من البسط والمقام. وستة تربيع يساوي ٣٦. ومن ثم، يمكننا التعبير عن ﺭ على صورة واحد ناقص ٢١٫٥ على ٣٦ ناقص واحد، أي ٣٥. بحساب ذلك، نحصل على ٠٫٣٨٥٧١ مع توالي الأرقام.

لكن لاحظ أننا نريد أن تكون الإجابة النهائية مقربة لأقرب ثلاث منازل عشرية. وعندما نفعل ذلك، نحصل على الناتج ٠٫٣٨٦. إذن، لأقرب ثلاث منازل عشرية، هذا هو معامل ارتباط سبيرمان بين ﺱ وﺹ.