فيديو: عزم الازدواج

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن عزم الازدواج. هذا يعني شيئًا مختلفًا قليلًا عما نراه على الشاشة. لكن كما سنتعلم، سنجد أنه يتضمن متجهين يشيران في اتجاهين متعاكسين. فلنبدأ الموضوع مباشرة.

يمكننا أن نتذكر أن التعريف الرياضي للعزم يتضمن قوة، أطلقنا عليها ﻕ، بالإضافة إلى نقطة. إذا أثرت القوة التي تبعد مسافة ﻝ عموديًّا عن النقطة التي اخترناها، فإننا نقول إنها تؤثر بعزم ﺟ حول هذه النقطة. ومن المفيد أن نتذكر أن القوة التي نتحدث عنها في هذه المعادلة تكون عمودية بوضوح على المسافة التي تقع بين موضع تأثير القوة ونقطة الدوران. إذن، هذا المتغير ﺟ هو عزم القوة ﻕ حول هذه النقطة التي اخترناها. لكن فلنوسع الآن نطاق هذه الفكرة ونتحدث عن عزم الازدواج.

الازدواج هو قوتان متساويتان في المقدار، ولكنهما تشيران في اتجاهين متعاكسين. ولكي تكون قوتان مثل ﻕ واحد وﻕ اثنين ازدواجًا، فمن المهم ألا تؤثرا على خط العمل نفسه. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا قوتان تؤثران بهذا الشكل، ﻕﺃ وﻕﺏ، فبالرغم من أن لهما المقدار نفسه وتؤثران في اتجاهين متعاكسين، فإنهما لا تكونان ازدواجًا؛ لأنهما تقعان على خط العمل نفسه. وبالعودة إلى هذه النقطة هنا، إذا أردنا التأثير بقوة ازدواج على هذه النقطة، فسنتحرك مسافة ﻝ على يمين النقطة، وسنؤثر بهذه القوة، التي أطلقنا عليها ﻕ شرطة، ولها نفس مقدار ﻕ لكنها معاكسة لها في الاتجاه.

تكون ﻕ شرطة وﻕ ازدواجًا، ويمكن أن نرى تأثير هذا على العزم ﺟ حول هذه النقطة. عندما تكون لدينا قوتا ازدواج تؤثران حول نقطة ما، فإن العزم الناتج عن إحدى القوتين يساوي العزم الناتج عن القوة الأخرى. وهذا التساوي ليس فقط في المقدار، بل أيضًا في الاتجاه أو الإشارة. على سبيل المثال، لاحظ أن القوة ﻕ تحدث عزمًا عكس اتجاه عقارب الساعة حول النقطة وسيكون موجبًا، والقوة ﻕ شرطة تحدث عزمًا في الاتجاه نفسه. هذا سينطبق دائمًا عند التعامل مع الازدواج؛ لأننا نعرف أن قوتي الازدواج تؤثران دائمًا في اتجاهين متعاكسين. وعليه، فإن العزم الإجمالي الناتج عن الازدواج يساوي اثنين في العزم الناتج عن إحدى القوتين في الازدواج.

بعد أن عرفنا كل هذا، لنتدرب على هذه الأفكار من خلال بعض الأمثلة.

في الشكل التالي، ﺃﺏﺟﺩ مستطيل فيه ﺃﺏ يساوي خمسة سنتيمترات، وﺏﺟ يساوي أربعة سنتيمترات. قيست القوى الموضحة في الشكل بالنيوتن، والنظام في حالة اتزان. أوجد قيمة ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين.

بالنظر إلى الشكل، نرى هذا المستطيل وزواياه، وهي: ﺃ، وﺏ، وﺟ، وﺩ. ونرى أن كل ضلع من الأضلاع الأربعة تؤثر عليه قوة ما. في الضلع الأيسر، تؤثر قوة مقدارها ﻕ اثنان لأعلى، وفي الضلع الأيمن تؤثر قوة لها المقدار نفسه لأسفل. وفي الأعلى، توجد قوة مقدارها ﻕ واحد تؤثر في اتجاه اليسار، وفي الأسفل تؤثر قوة مقدارها ٣٥ نيوتن في اتجاه اليمين.

ولدينا معلومة مهمة وهي أن النظام في حالة اتزان. هذا يعني أنه على الرغم من تأثير هذه القوى الأربع عليه، فإنه لا ينتقل أو يدور. فالقوى المؤثرة على الأضلاع الأربعة للمستطيل تلغي إحداها الأخرى. هذا يخبرنا أن هذه القوى الأربع تكون ازدواجين من القوى. الازدواج الأول يتكون من القوة ﻕ واحد، وهذه القوة التي تساوي ٣٥ نيوتن. والثاني يتكون من هاتين القوتين اللتين مقدار كل منهما ﻕ اثنان.

وبما أن زوجي القوى هذين يكونان ازدواجين، فإن مقدار القوة ﻕ واحد يجب أن يساوي ٣٥ نيوتن. وهذا لأن قوتي الازدواج لهما المقدار نفسه، لكن تؤثران في اتجاهين متعاكسين. إذن يمكننا القول على الفور إن ﻕ واحد تساوي ٣٥ نيوتن، وهو ما يعني أنه للإجابة عن السؤال، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة ﻕ اثنين.

إذا افترضنا أن النقطة التي في مركز المستطيل تمثل محور الدوران للازدواجين، فسنلاحظ أن العزم الناتج حول هذه النقطة من قوتي الازدواج ﻕ اثنين سيكون في اتجاه عقارب الساعة. وسنسميه ﺟ اثنين. ثم نلاحظ أن العزم الناتج عن قوتي الازدواج الآخر يؤثر في عكس هذا الاتجاه. ونجد هذا صحيحًا عندما نتذكر أن النظام في حالة اتزان. هذا يعني أن هذين العزمين يلغي أحدهما الآخر، ومن ثم فإنهما يشيران في اتجاهين متعاكسين.

وإذا فكرنا بدلالة المقادير، يمكننا كتابة أن مقدار ﺟ واحد يساوي مقدار ﺟ اثنين. والآن دعونا نتذكر أن، بوجه عام، العزم الناتج عن قوتي ازدواج، سنسميه ﺟﻭ، يساوي اثنين في المركبة العمودية لإحدى هاتين القوتين مضروبًا في المسافة من محور الدوران.

بالرجوع إلى الرسم، يمكننا القول إن المسافة بين القوة ﻕ واحد أعلى المستطيل ومحور الدوران تساوي ﻝ واحد، والمسافة بين ﻕ اثنين ونقطة المنتصف تساوي ﻝ اثنين، أي إنه يمكننا كتابة معادلة اتزان العزوم هكذا. نلاحظ أن العامل اثنين يحذف من كلا طرفي المعادلة.

والآن، بما أننا نريد إيجاد قيمة ﻕ اثنين، سنعيد ترتيب المعادلة بحيث تصبح ﻕ اثنان هي المتغير التابع في المعادلة. إذا قسمنا كلا الطرفين على ﻝ اثنين، فستحذف ﻝ اثنان من اليمين. ويمكننا ملاحظة أن ﻕ اثنين يساوي ﻕ واحد مضروبًا في نسبة المسافة ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين. نعرف قيمة القوة ﻕ واحد. كما نعرف أطوال الأضلاع في هذا المستطيل. ‏ﺃﺏ يساوي خمسة سنتيمترات، وهو ما يساوي اثنين في ﻝ اثنين، وﺏﺟ يساوي أربعة سنتيمترات أو اثنين في ﻝ واحد. توضح لنا هاتان العلاقتان أن ﻝ اثنين يساوي خمسة على اثنين سنتيمتر، وﻝ واحد يساوي اثنين سنتيمتر.

بالتعويض بهاتين القيمتين مع حذف وحدة السنتيمتر، نجد أن ﻕ اثنين يساوي ٣٥ نيوتن في اثنين على خمسة أنصاف، وهو ما يمكن تبسيطه إلى أربعة أخماس في ٣٥ نيوتن أو ٢٨ نيوتن. إذن، بما أن ﻕ اثنين يساوي ٢٨ نيوتن وﻕ واحد يساوي ٣٥ نيوتن، فإن مجموعهما يساوي ٦٣ نيوتن. هذا هو مجموع مقداري القوتين في الازدواجين.

لنتناول الآن مثالًا لقوى لا تصنع زاوية قياسها ٩٠ درجة مع محور النظام.

في الشكل التالي، ﻕ واحد يساوي ثلاثة نيوتن، وﻕ واحد وﻕ اثنان تصنعان ازدواجًا. أوجد القياس الجبري لعزم ذلك الازدواج.

بالنظر إلى الشكل، نرى القوتين ﻕ اثنين وﻕ واحد، اللتين تؤثران في اتجاه يصنع زاوية قياسها ٤٥ درجة مع محور هذا النظام. علمنا من المعطيات أن هاتين القوتين تصنعان ازدواجًا، ونلاحظ أنهما تؤثران على مسافة سبعة جذر اثنين سنتيمتر من بعضهما البعض. نريد حساب العزم الذي تولده قوتا الازدواج، وسوف نحسب هذا العزم حول نقطة منتصف هذا الخط الأسود.

وفقًا لاتجاه كل من ﻕ واحد وﻕ اثنين، يمكننا أن نلاحظ أنهما ستحدثان عزمًا عكس اتجاه عقارب الساعة حول هذه النقطة. وكما هو متعارف عليه، فإن العزوم في هذا الاتجاه تكون موجبة. والآن للإجابة عن هذا السؤال، علينا حساب مقدار هذا العزم. لنتذكر أن العزم الناتج عن قوتي ازدواج، يمكن أن نسميه ﺟﻭ، يساوي اثنين في المركبة العمودية لمقدار إحدى قوتي الازدواج مضروبًا في المسافة بين موضع هذه القوة ومحور الدوران.

في هذه الحالة، ستكون المسافة هي طول هذا الخط الوردي. وسواء كنا نتحدث عن القوة ﻕ واحد أو ﻕ اثنين، فإن المسافة هي نفسها. وبما أن ﻕ واحد وﻕ اثنين تصنعان ازدواجًا، يمكن أن نتعامل مع إحداهما فقط ونستخدمها في حساب قيمة ﺟﻭ. لنختر استخدام القوة ﻕ اثنين. وبما أن هذه القوة تصنع ازدواجًا مع ﻕ واحد، فلا بد أن مقدارها يساوي ثلاثة نيوتن. علينا أن نضرب مركبة هذه القوة العمودية على الخط الأسود في المسافة، التي سنسميها ﻝ، الواقعة بين موضع القوة ونقطة الدوران.

أما فيما يتعلق بالمركبة العمودية للقوة ﻕ اثنين، فبما أن قياس هذه الزاوية يساوي ٤٥ درجة، لا بد أن هذه الزاوية هنا تساويها في القياس. وذلك لأننا نعلم أن مجموعهما يساوي ٩٠ درجة. وإذا أطلقنا على المركبة ﻕ اثنين اسم ﻕ اثنين العمودية، فيمكننا القول إنها تساوي ثلاثة نيوتن في cos ٤٥ درجة. ‏cos ٤٥ درجة يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. إذن، مركبة ﻕ اثنين العمودية على محور النظام تساوي ثلاثة جذر اثنين على اثنين نيوتن. هذه هي القيمة التي سنستخدمها في المعادلة لحساب عزم الازدواج.

‏ﺟﻭ يساوي اثنين في المركبة العمودية لـ ﻕ اثنين مضروبًا في ﻝ؛ حيث ﻝ هي هذه المسافة. ونلاحظ أن المسافة تساوي سبعة جذر اثنين على اثنين سنتيمتر. بعد التعويض بكل هذه القيم لحساب ﺟﻭ، نجد أن العاملين اثنين وجذر اثنين يلغي أحدهما الآخر. وهكذا، نحصل في النهاية على ثلاثة في سبعة أو ٢١ نيوتن سنتيمتر. هذا هو عزم الازدواج.

لنتناول الآن مثالًا فيه القوى معطاة على صورة متجهات.

إذا كانت القوتان ﻕ واحد يساوي سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ وﻕ اثنان تؤثران على النقطتين ﺃ: اثنين، اثنين، وﺏ: سالب اثنين، سالب اثنين، على الترتيب، لتشكلا ازدواجًا، فأوجد المسافة العمودية بين القوتين.

في البداية، دعونا نحدد على الرسم النقطتين ﺃ وﺏ اللتين تؤثر عليهما كلتا القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين. لدينا المحوران ﺱ وﺹ محددة عليهما وحدات اختيارية. نعرف أن النقطة ﺃ تقع هنا؛ عند اثنين، اثنين. والنقطة ﺏ تقع هنا عند سالب اثنين، سالب اثنين. كما نعلم من المعطيات أن القوة ﻕ واحد تؤثر عند النقطة ﺃ. ووفقًا لمركبتيها، يمكننا القول إن ﻕ واحد تؤثر على هذا الخط المار بالنقطة واحد، أربعة. ولتحديد موضع القوة ﻕ اثنين، نعلم أن هذه القوة، بالإضافة إلى القوة ﻕ واحد، تكونان ازدواجًا. ونتذكر أن قوتي الازدواج لهما المقدار نفسه لكن تؤثران في اتجاهين متعاكسين.

وعليه، إذا بدأنا من النقطة ﺏ وتحركنا في الاتجاه المعاكس للقوة ﻕ واحد، فإن ﻕ اثنين ستبدو بهذا الشكل؛ حيث تمر بالنقطة سالب واحد، سالب أربعة. يقول السؤال ما طول المسافة العمودية بين هاتين القوتين؟ هذا يعني أنه إذا رسمنا خطي عمل هاتين القوتين، هنا خط عمل ﻕ اثنين، وهنا خط عمل ﻕ واحد، فعلينا إيجاد المسافة العمودية بين هذين الخطين. يمكننا قياس هذه المسافة هنا أو هنا أو هنا أو في أي مكان على طول هذين الخطين ما دامت هذه المسافة عمودية على خطي العمل المتوازيين.

وبما أن خطي العمل هنا خطان مستقيمان، دعونا نطلق عليهما اسمين وفقًا لتلك الخاصية. لنسم خط عمل القوة ﻕ واحد ﺹ واحد، وخط عمل القوة ﻕ اثنين ﺹ اثنين. ولنتذكر أن في المستوى ﺱﺹ، الصيغة العامة للخط المستقيم هي الإحداثي ﺹ يساوي ميل الخط مضروبًا في الإحداثي ﺱ زائد الجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط.

إذن، فيما يتعلق بـ ﺹ واحد وﺹ اثنين، وهما خطا عمل هاتين القوتين، دعونا نحل معادلتي هذين الخطين. أولًا، فلنفكر في ميل الخطين. لحسن الحظ، بما أنهما متوازيان، فإن لهما نفس الميل. عندما نفكر مرة أخرى في مركبتي القوة ﻕ واحد، نجد أنه كلما زادت قيمة ﺱ بمقدار واحد، تقل قيمة ﺹ بمقدار اثنين. ومن ثم، فإن ميل هذا الخط يساوي سالب اثنين. وكما ذكرنا، هذا ينطبق على ميل ﺹ اثنين، لأن الخطين متوازيان.

والآن لننظر إلى الموضع الذي يقطع فيه هذان الخطان المحور ﺹ. نبدأ بالخط ﺹ اثنين، إذا تتبعنا خط العمل هذا، فسنلاحظ أنه يقطع المحور ﺹ عند سالب ستة. وبذلك، أصبحت لدينا معادلة الخط ﺹ اثنين كاملة. فيما يتعلق بالخط ﺹ واحد، فإنه يقطع المحور ﺹ عند نقطة تقع خارج المنحنى الذي رسمناه. لكن بمعلومية النقطتين اللتين يمر بهما هذا الخط، النقطة ﺃ والنقطة: واحد، أربعة، نرى أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، ﺹ يجب أن يساوي موجب ستة.

والآن، لدينا معادلتا المستقيمين المتوازيين، ونريد إيجاد المسافة العمودية بينهما. للبدء في ذلك، يمكننا كتابة معادلة مستقيم ثالث، سنسميه ﺹ العمودي وهو عمودي على ﺹ واحد وﺹ اثنين. الخاصية الأساسية لأي خط عمودي على خط آخر، ﺹ اثنان مثلًا، هي أن ميل أحد الخطين يساوي سالب المعكوس الضربي لميل الخط الآخر.

في هذه الحالة، بما أن ميل خطي العمل يساوي سالب اثنين، فهذا يعني أن ميل الخط العمودي سيكون سالب المعكوس الضربي لهذه القيمة. بعبارة أخرى، سيساوي موجب نصف. وكما ذكرنا من قبل، لا يهم أين يقع الجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط العمودي لأنه إن كان هنا أو هنا أو في أي مكان آخر، فإن المسافة التي نريد حسابها ستكون هي نفسها. لذا، يمكن أن نترك ﺹ العمودي كما هو.

والآن ما نريد فعله هو إيجاد الموضع الذي يقطع فيه ﺹ العمودي ﺹ واحد، وموضع تقاطعه مع ﺹ اثنين. هيا نبدأ بموضع تقاطع ﺹ العمودي مع ﺹ واحد. لكي نوجد نقطة هذا التقاطع، علينا أن نساويهما. سالب اثنين ﺱ زائد ستة يساوي نصف ﺱ. وإذا أضفنا اثنين ﺱ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، فسنحصل على خمسة أنصاف ﺱ يساوي ستة، وهو ما يعني أن ﺱ يساوي ١٢ على خمسة. هذه القيمة التي حصلنا عليها هي الإحداثي ﺱ للنقطة التي عندها ﺹ واحد يساوي ﺹ العمودي.

لإيجاد الإحداثي ﺹ المناظر لهذه النقطة، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيمة ﺱ هذه عن ﺱ في معادلة ﺹ العمودي أو ﺹ واحد. إذا فعلنا ذلك، فسنجد أن ﺹ يساوي نصفًا في ١٢ على خمسة أو ستة أخماس. إذا حددنا هذه النقطة على الرسم، فستقع في مكان ما هنا. وكما لاحظنا، إحداثياتها هي: ١٢ على خمسة، وستة أخماس. المستقيم الذي يمر بهذه النقطة ويكون عموديًّا على خطي العمل سيتقاطع أيضًا مع المستقيم ﺹ اثنين.

والآن، نريد إيجاد موضع نقطة التقاطع. كما فعلنا سابقًا، سنساوي ﺹ اثنين بـ ﺹ العمودي، وهو ما يعني أن سالب اثنين ﺱ ناقص ستة يساوي نصف ﺱ. وبإضافة اثنين ﺱ إلى كلا الطرفين، نجد أن خمسة على اثنين ﺱ يساوي سالب ستة، وهو ما يخبرنا بأن قيمة ﺱ لنقطة التقاطع تساوي سالب ١٢ على خمسة. بالتعويض عن ﺱ بهذه القيمة هنا، نجد أن قيمة ﺹ المناظرة هي سالب ستة أخماس.

والآن، لدينا نقطتا التقاطع بين خطي العمل والخط العمودي عليهما. لحساب المسافة ﻝ التي تفصل بين خطي العمل، كل ما علينا فعله هو حساب المسافة بين هاتين النقطتين. بوجه عام، المسافة بين نقطتين في المستوى ﺱﺹ تساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الفرق بين إحداثيي ﺱ‎، أو 𝛥ﺱ، والفرق بين إحداثيي ﺹ، أو‎ 𝛥ﺹ.

‏𝛥ﺱ هنا تساوي الإحداثي ﺱ للنقطة الأولى، ١٢ على خمسة، ناقص الإحداثي ﺱ للنقطة الأخرى، سالب ١٢ على خمسة، وهو ما يعطينا ٢٤ على خمسة. وبالمثل، التغير في الإحداثي ﺹ، أي 𝛥ﺹ، يساوي ستة أخماس ناقص سالب ستة أخماس أو ١٢ على خمسة. بكتابة هذه القيم على الجانب، يمكننا القول إن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٤ على خمسة تربيع زائد ١٢ على خمسة تربيع. يمكننا أخذ الخمس عاملًا مشتركًا من أسفل الجذر التربيعي. وإذا حسبنا الجذر التربيعي لـ ٢٤و ١٢ وجمعناهما معًا، فسنحصل على ٧٢٠.

ويمكن أن نكتب ٧٢٠ على صورة ١٤٤ مضروبًا في خمسة. ونعلم أن ١٤٤ يساوي ١٢ تربيع؛ وهو ما يعني أنه يمكننا إخراج ١٢ من الجذر التربيعي، والحصول على نتيجة مبسطة وهي:١٢ على خمسة في الجذر التربيعي لخمسة. وهكذا نكون قد حسبنا المسافة، وإجابتنا النهائية هي: ١٢ على خمسة في الجذر التربيعي لخمسة من وحدات الطول. هذه هي المسافة العمودية بين خطي عمل القوتين.

لننه هذا الدرس بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، رأينا أن الازدواج عبارة عن قوتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الاتجاه، تؤثران على خطي عمل مختلفين. بالإضافة إلى ذلك، رأينا أن الازدواج ينتج عزمًا. هذا العزم يساوي اثنين في المركبة العمودية لإحدى قوتي الازدواج مضروبًا في المسافة بين موضع هذه القوة ومحور الدوران. وهذا هو ملخص عزم الازدواج.