فيديو السؤال: إيجاد عزم ازدواج ناتج عن قوى مؤثرة على مثلث متساوي الساقين الرياضيات

في المثلث ﺃﺏﺟ، ﺃﺏ = ﺏﺟ = ٣٢ سم، ﻕ∠ﺏ = ١٢٠°. وتؤثر قوى مقاديرها ٢، ٢، ٢ جذر ٣ نيوتن على ﺃﺏ، ﺏﺟ، ﺟﺃ على الترتيب. إذا كان النظام يكافئ ازدوجًا، فأوجد معيار عزمه، علمًا بأن اتجاهه الموجب هو ﺃﺏﺟ.

٠٦:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

في المثلث ﺃﺏﺟ، ﺃﺏ يساوي ﺏﺟ يساوي ٣٢ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ١٢٠ درجة. وتؤثر قوى مقاديرها اثنان واثنان واثنان جذر ثلاثة نيوتن على ﺃﺏ وﺏﺟ وﺟﺃ، على الترتيب. إذا كان النظام يكافئ ازدواجًا، فأوجد معيار عزمه، علمًا بأن اتجاهه الموجب هو ﺃﺏﺟ.

حسنًا، لنفترض أن هذا هو المثلث ﺃﺏﺟ، ونعلم من المعطيات أن قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٢٠ درجة. ونعلم أيضًا أن طولي الضلعين ﺃﺏ وﺏﺟ متساويان. هذا يعني أننا نتعامل مع مثلث متساوي الساقين؛ لذا هذه الزاوية الداخلية تساوي هذه الزاوية. إذا أسمينا هذه الزاوية 𝜃، يمكننا القول: إن اثنين في 𝜃 زائد ١٢٠ درجة يساوي ١٨٠ درجة. وإذا حللنا هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃، نجد أنها تساوي ٣٠ درجة. وبمعلومية هندسة هذا المثلث، نعرف أيضًا من المعطيات القوى التي تؤثر على أضلاعه. توجد قوة مقدارها اثنان نيوتن تؤثر على الضلع الممتد من ﺃ إلى ﺏ، وقوة مماثلة مقدارها اثنان نيوتن تؤثر على الضلع الممتد من ﺏ إلى ﺟ، ثم من ﺟ إلى ﺃ، تؤثر قوة مقدارها اثنان جذر ثلاثة نيوتن.

نعرف من المعطيات أن نظام القوى هذا يكافئ ازدواجًا. هذا يعني أن القوة الكلية المؤثرة على هذا المثلث تساوي صفرًا. لكن ثمة عزمًا نشأ حول مركزه. وفي الواقع، معيار هذا العزم هو ما نسعى لإيجاده. للبدء في إيجاده، دعونا نفرغ بعض المساحة. ولكي نبدأ في تحليل القوى المتضمنة هنا، سنرسم نظامًا إحداثيًّا. لنفترض أن الركن ﺃ في هذا المثلث هو نقطة الأصل لهذا الإطار الإحداثي، وأن المحور ﺹ يتحرك رأسيًّا لأعلى، والمحور ﺱ يتحرك أفقيًّا إلى اليمين.

الآن، كما لاحظنا، توجد ثلاث قوى تؤثر على هذا المثلث. تؤثر إحداها في اتجاه المحور ﺱ فقط. في حين أن القوتين الأخريين؛ أي هاتين القوتين اللتين تؤثران على الضلعين الآخرين بمقدار اثنين نيوتن، يمكن تحليلهما إلى مركبتيهما الرأسية والأفقية. ما نقوله هنا هو إن القوة التي مقدارها اثنان نيوتن تؤثر بالفعل عند هذه النقطة، وهي نقطة الأصل، بينما تؤثر هذه القوة الأخرى التي مقدارها اثنان نيوتن فعليًّا عند النقطة ﺟ. إذن باختيار نقطتي منشأ القوتين هاتين، اللتين يمكننا أن نسميهما ﺃ وﺟ في المثلث، نستطيع تمثيل كل القوى المتضمنة باعتبارها ازدواجًا.

عندما نحسب مركبتي هاتين القوتين اللتين مقدار كل منهما اثنان نيوتن، يمكننا تذكر أنه في المثلث القائم الزاوية؛ حيث تسمى إحدى الزاويتين الداخليتين الأخريين، 𝜃، فإن جيب هذه الزاوية يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر، ويساوي جيب التمام طول الضلع المجاور على طول الوتر. إذن إذا فكرنا في جميع القوى المؤثرة أفقيًّا على المثلث، أولًا: نجد مركبة القوة التي مقدارها اثنان نيوتن. هذه المركبة تساوي اثنين في جتا ٣٠ درجة. ثانيًا: لدينا مركبة القوة الأخرى التي مقدارها اثنان نيوتن. وهي تساوي أيضًا اثنين في جتا ٣٠ درجة.

وأخيرًا: لدينا هذه القوة المؤثرة من النقطة ﺟ إلى النقطة ﺃ في المثلث. بناء على الطريقة التي رسمنا بها المحور ﺱ، ستكون هذه القوة سالبة. إذا تذكرنا أن جتا ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، نحصل على اثنين جذر ثلاثة على اثنين زائد اثنين جذر ثلاثة على اثنين ناقص اثنين جذر ثلاثة. وهذا يساوي صفرًا كما نتوقع. لكن الأمر الأهم الذي نريد التوصل إليه هو أن جميع مركبات القوة الأفقية هذه تقع على طول خط العمل نفسه. هذا يعني أنه نظرًا لأن مجموعها يساوي صفرًا، فإنها لا تنتج أي عزم حول مركز المثلث. بعبارة أخرى: لا تساهم مركبات القوة الأفقية في إحداث هذا العزم.

بعد ذلك، لننظر إلى المركبتين الرأسيتين للقوى المتضمنة هنا. أولًا: نرى هذه المركبة الرأسية التي يمكننا تسميتها القوة الأولى التي مقدارها اثنان نيوتن. وهي تساوي اثنين في جا ٣٠ درجة. بعد ذلك لدينا المركبة الرأسية الثانية هنا. وهي تساوي سالب اثنين في جا ٣٠ درجة. وهكذا، كما نتوقع، فإن محصلة القوى في الاتجاه الرأسي تساوي صفرًا. لكن لاحظ أن هاتين القوتين لا تؤثران على خط العمل نفسه. وعليه، سينتج عنهما عزم على هذا المثلث، وسيعتمد معياره على المسافة العمودية بين هذا الخط المتقطع الذي يمر عبر مركز هذا المثلث وخطي عمل القوتين الرأسيتين. يمكننا أن نسمي هذه المسافة العمودية ﻑ. ونلاحظ أنها تساوي نصف طول أطول ضلع في المثلث.

بتذكر أن طول الضلعين القصيرين في المثلث يساوي ٣٢ سنتيمترًا، يمكننا القول: إن المسافة ﻑ تساوي ٣٢ في جتا ٣٠ درجة. وهذا يساوي ٣٢ في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، أو ببساطة يساوي ١٦ جذر ثلاثة. نحن الآن جاهزون لحساب معيار العزم الناتج عن القوتين الرأسيتين. مقدار كل من هاتين القوتين يساوي اثنين نيوتن في جا ٣٠ درجة. ونضرب هذا في المسافة العمودية بين خطي عمل هاتين القوتين ومحور الدوران في الشكل لدينا. وإجمالًا، نجد أن هذا العزم يساوي ٣٢ في الجذر التربيعي لثلاثة. وفيما يتعلق بالوحدات، فإن القوى مقيسة بالنيوتن والمسافات بالسنتيمتر. إذن معيار العزم الناتج عن نظام القوى هذا يساوي ٣٢ في الجذر التربيعي لثلاثة نيوتن سنتيمتر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.