فيديو السؤال: إيجاد صيغة للمجموع من واحد إلى ﻥ لـ ﺭ الرياضيات

أكمل الآتي: المجموع من (ﺭ = ١) ^(ﻥ) ﺭ = _.

٠٦:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

أكمل الآتي. المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي (فراغ).

نحن نحاول إيجاد مقدار جبري للمجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ. فإذا أردنا كتابة هذا المجموع حدًّا بحد، نجد أنه يساوي واحدًا زائد اثنين زائد ثلاثة وهكذا إلى ﻥ ناقص واحد زائد ﻥ. حسنًا، لإيجاد الصيغة التي نبحث عنها، توجد طريقة جيدة لذلك، وهي كتابة هذا المجموع بطريقتين. يمكننا تبديل ترتيب الحدود وكتابة ذلك على نحو مكافئ على الصورة ﻥ زائد ﻥ ناقص واحد زائد ﻥ ناقص اثنين، وصولًا إلى زائد اثنين زائد واحد.

قد نلاحظ الآن أنه عند تبديل ترتيب الحدود، يظل مجموع كل حدين موجودين في كل موضع هو نفسه دائمًا. ففي كل مرة، المجموع يساوي ﻥ زائد واحد. إذا جمعنا هذين التعبيرين للمجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ معًا، فسوف نحصل على اثنين في المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ﻥ زائد واحد زائد ﻥ زائد واحد زائد ﻥ زائد واحد وهكذا. وفي الواقع، نحن نجمع ﻥ زائد واحد عدد ﻥ من المرات، وهو ما يمكن كتابته جبريًّا على الصورة ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد.

نريد إيجاد تعبير للمجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ، لكن لدينا الآن اثنان مضروبًا في هذا المجموع. ومن ثم، يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين لنحصل على المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد على اثنين. وهذه هي الإجابة. المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ، وهو مجموع الأعداد الصحيحة من واحد إلى ﻥ، يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد على اثنين. يجب أن نتذكر هذه النتيجة، لكن علينا أيضًا تذكر كيفية استنتاجها.

هيا نتناول طريقة بديلة يمكننا اتباعها لحل هذا السؤال. سوف نتناول مفكوك ذات الحدين لـ ﺭ ناقص واحد الكل تربيع. وسيتضح سبب ذلك أثناء الحل بهذه الطريقة. ‏ﺭ ناقص واحد تربيع يساوي ﺭ تربيع ناقص اثنين ﺭ زائد واحد. وبإعادة الترتيب، نجد أن اثنين ﺭ ناقص واحد يساوي ﺭ تربيع ناقص ﺭ ناقص واحد تربيع. وبما أن هذين التعبيرين متساويان، فإن المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ للمتسلسلتين على صورة حدها العام، متساو أيضًا.

لنتناول المجموع الموجود في الطرف الأيسر أولًا. إذا كتبنا هذا المجموع بالتفصيل حدًّا بحد، فسيصبح لدينا واحد تربيع ناقص صفر تربيع زائد اثنين تربيع ناقص واحد تربيع زائد ثلاثة تربيع ناقص اثنين تربيع، وهكذا إلى ﻥ تربيع ناقص ﻥ ناقص واحد تربيع. نلاحظ أن العديد من الحدود ستلغى معًا. ففي البداية، نضيف واحدًا تربيع، ثم نطرح واحدًا تربيع. بعد ذلك نضيف اثنين تربيع، ثم نطرح اثنين تربيع وهكذا. وإذا واصلنا بهذه الطريقة، فسيكون الحدان المتبقيان فقط هما سالب صفر تربيع عند ﺭ يساوي واحدًا، وﻥ تربيع عند ﺭ يساوي ﻥ. وبالطبع صفر تربيع يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن المجموع بأكمله يبسط إلى ﻥ تربيع.

لنتناول بعد ذلك المجموع الموجود في الطرف الأيمن. باستخدام الخاصية الخطية للتجميع، فإن المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لاثنين ﺭ ناقص واحد يساوي اثنين مضروبًا في المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ ناقص المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لواحد. في الحد الثاني هذا، نجمع ببساطة القيمة واحدًا عدد ﻥ من المرات. ومن ثم، فإن قيمة المجموع الثاني هي واحد مضروبًا في ﻥ، وهو ما يساوي ﻥ. عند مساواة تعبيري المجموعين في طرفي المعادلة، نحصل على اثنين مضروبًا في المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ ناقص ﻥ يساوي ﻥ تربيع.

نريد إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد تعبير للمجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ. نبدأ بإضافة ﻥ إلى كلا الطرفين لنحصل على اثنين مضروبًا في المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ﻥ تربيع زائد ﻥ. ويمكن تحليل هذا بأخذ العامل المشترك ﻥ لنحصل على ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد. الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي المعادلة على اثنين، فنحصل على المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد، الكل على اثنين، وهي الصيغة نفسها التي أوجدناها باستخدام الطريقة السابقة.

إذن، بدأنا باستخدام طريقة جيدة للحل، وهي كتابة المتسلسلة بترتيبين مختلفين، وطريقة أخرى بتناول مفكوك ذات الحدين للمقدار ﺭ ناقص واحد تربيع، وأوجدنا أن المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد على اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.