نسخة الفيديو النصية
اكتب المعادلات البارامترية للخط المستقيم ﻡ المار بالنقطة ﺏ واحد، التي تساوي ثلاثة، ثلاثة، سالب واحد؛ ونقطة المنتصف بين ﺏ اثنين التي تساوي واحدًا، سالب واحد، واحدًا، وﺏ ثلاثة التي تساوي ثلاثة، خمسة، خمسة. هل هي الخيار (أ) ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﻉ يساوي سالب واحد زائد أربعة ﻥ؟ أم (ب) ﺱ يساوي ثلاثة ناقص اثنين ﻥ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﻉ يساوي سالب واحد زائد أربعة ﻥ؟ أم (ج) ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﻉ يساوي سالب واحد زائد اثنين ﻥ؟ أم (د) ﺱ يساوي سالب اثنين زائد ثلاثة ﻥ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﻉ يساوي سالب واحد زائد أربعة ﻥ. أم (هـ) ﺱ يساوي ثلاثة ناقص اثنين ﻥ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﻉ يساوي سالب واحد زائد اثنين ﻥ.
نبدأ بتذكر أن المعادلات البارامترية للخط المستقيم هي مجموعة غير وحيدة مكونة من ثلاث معادلات تأتي على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﻥﺃ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻥﺏ، وﻉ يساوي ﻉ واحد زائد ﻥﺟ؛ حيث ﺱ واحد، وﺹ واحد، وﻉ واحد هي إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم. وﺃ، ﺏ، ﺟ متجه اتجاه الخط المستقيم، وﻥ هو عدد حقيقي يعرف بأنه البارامتر الذي يتغير من سالب ∞ إلى ∞.
في هذا السؤال، لدينا نقطة تقع على الخط المستقيم. وإحداثياتها ثلاثة، ثلاثة، سالب واحد. سنفترض أن هذه النقطة هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. ونعلم من المعطيات أيضًا أن الخط المستقيم يمر بنقطة المنتصف بين ﺏ اثنين وﺏ ثلاثة. يمكننا إيجاد نقطة المنتصف لأي نقطتين في ثلاثة أبعاد بإيجاد متوسط إحداثياتهما المتناظرة. إحداثيا ﺱ لكل من ﺏ اثنين وﺏ ثلاثة هما واحد وثلاثة، على الترتيب. هذا يعني أن الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف يساوي واحدًا زائد ثلاثة مقسومًا على اثنين.
يمكننا تكرار ذلك مع الإحداثيين ﺹ وﻉ كما هو موضح. واحد زائد ثلاثة يساوي أربعة، وبقسمة ذلك على اثنين نحصل على اثنين. سالب واحد زائد خمسة يساوي أربعة أيضًا، إذن بقسمة هذا على اثنين نحصل على اثنين أيضًا. وأخيرًا، واحد زائد خمسة على اثنين يساوي ثلاثة. إذن، إحداثيات نقطة المنتصف بين ﺏ اثنين وﺏ ثلاثة هي: اثنان، اثنان، ثلاثة.
لدينا الآن إحداثيات نقطتين تقعان على الخط المستقيم. ويمكننا استخدامها لحساب متجه اتجاه. إحدى طرق إجراء ذلك هي طرح المتجه ثلاثة، ثلاثة، سالب واحد من المتجه اثنين، اثنين، ثلاثة. بطرح المركبات المتناظرة، نحصل على المتجه سالب واحد، سالب واحد، أربعة.
سنستخدم هذه القيم لكل من ﺃ، وﺏ، وﺟ في الصورة العامة. أولًا: لدينا ﺱ يساوي ثلاثة زائد سالب واحد ﻥ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة ناقص ﻥ. ولدينا ﺹ يساوي ثلاثة زائد سالب واحد ﻥ أيضًا، وهو ما يمكن تبسيطه مرة أخرى إلى ثلاثة ناقص ﻥ. ﻉ يساوي سالب واحد زائد أربعة ﻥ. إحدى مجموعات المعادلات البارامترية للخط المستقيم ﻡ الذي يمر بالنقطة ﺏ واحد ونقطة المنتصف بين ﺏ اثنين وﺏ ثلاثة، هي ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻥ، وﻉ يساوي سالب واحد زائد أربعة ﻥ. وهذا يتوافق مع الخيار (أ) في السؤال.
تجدر الإشارة هنا إلى حلول أخرى كان بإمكاننا إيجادها من المعطيات الموجودة في السؤال. أولًا: كان بإمكاننا استخدام نقطة المنتصف التي إحداثياتها اثنان، اثنان، ثلاثة على أنها ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. وكان بإمكاننا أيضًا طرح المتجهات بالترتيب المعاكس عند إيجاد متجه الاتجاه. وكان هذا سيعطينا متجه اتجاه يساوي واحدًا، واحدًا، سالب أربعة. وباستخدام أي تركيب من هذه القيم، كنا سنحصل على حل صحيح. ولكن لا يطابق أي منها الخيارات المعطاة في هذا السؤال.
