فيديو: قسمة كثيرات الحدود: القسمة التركيبية

يوضح الفيديو خطوات عملية القسمة التركيبية، وكيفية استخدامها لقسمة كثيرات الحدود على ثنائية الحد (ذات الحدين)، من خلال أمثلة توضيحية.

١٤:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن قسمة كثيرات الحدود، وبالأخصّ عن القسمة التركيبية. بالنسبة للقسمة التركيبية، فهي طريقة بسيطة نقدر نقسم بيها كثيرة حدود، على كثيرة حدود مكوّنة من حدين. واللي بنسمّيها ذات حدين، أو ثنائية الحدّ. هنبدأ بأول حاجة، إن إحنا نعرف خطوات القسمة التركيبية.

هنبدأ بأول خطوة من خطوات القسمة التركيبية. شكل القسمة التركيبية بيكون في الشكل ده. أول خطوة فيه، إن إحنا بنكتب معاملات المقسوم، بعد ما نكون رتّبنا حدوده ترتيب تنازلي، تبعًا للدرجة بتاعة الحدود دي. وبنكتب معاملات المقسوم، في المكان ده. وكمان هنتأكد بعد كده، إن المقسوم عليه على الصورة: س ناقص أ. بعد كده هنكتب الثابت أ ده، في الصندوق ده. أمّا بالنسبة للمعامل الأول، واللي هو ده، فإحنا بنكتبه تحت الخط الأفقي ده. يعني بنكتبه هنا كده.

بعد كده هنيجي للخطوة التانية. في الخطوة التانية بنضرب المعامل الأول في أ. وبنكتب الناتج تحت المعامل اللي بعديه، يعني هنا كده. بعد كده هتيجي الخطوة التالتة، واللي هنجمع فيها ناتج الضرب ده، مع المعامل اللي فوقيه، ونكتب الناتج هنا. بعد كده في الخطوة الرابعة، هنكرر الخطوتين اتنين وتلاتة، على ناتج الجمع في الخطوة اللي قبل كده، واللي هو ده. لحدّ ما نوصل لناتج جمع العددين في العمود الأخير، واللي هيكون مكانه هنا.

بالنسبة للأعداد اللي هتكون في الصف الأخير، فهي هتمثّل معاملات ناتج القسمة. واللي بيكون فيها درجة الحدّ الأول، أقل بواحد من درجة المقسوم. أمّا بالنسبة للعدد الأخير ده، فهيمثل باقي القسمة. وهي دي خطوات القسمة التركيبية. هنبدأ نشوف أمثلة، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا مثال.

في المثال اللي عندنا، عايزين نستخدم القسمة التركيبية، علشان نجيب ناتج … اتنين س تكعيب، ناقص تلتاشر س تربيع، زائد ستة وعشرين س، ناقص أربعة وعشرين؛ على س ناقص أربعة. أول حاجة هنتأكد إن حدود المقسوم مترتّبة ترتيب تنازلي، حسب درجاتها. فهنلاقي فعلًا إن المقسوم، حدوده مترتّبة ترتيب تنازلي حسب درجاتها. وكمان هنتأكد إن المقسوم عليه على الصورة: س ناقص أ. وفعلًا المقسوم عليه على الصورة: س ناقص أ.

هنبدأ بعد كده نستخدم الشكل بتاع القسمة التركيبية. هنبدأ نكتب معاملات المقسوم. فالمعاملات هي: اتنين، بعد كده سالب تلتاشر، بعد كده ستة وعشرين، وآخر حاجة سالب أربعة وعشرين. وهنكتب في الصندوق، الثابت. واللي هو كان أ. واللي بتمثّله هنا الأربعة. فهنكتب أربعة في الصندوق. بعد كده هنكتب المعامل الأول، تحت الخط الأفقي اللي عندنا، يعني هنكتبه هنا.

بعد كده هنيجي للخطوة التانية، واللي هنضرب فيها المعامل الأول، في الثابت. يعني هنضرب الاتنين في أربعة. هنلاقي بتساوي تمنية. وهنكتب ناتج الضرب ده، تحت المعامل التاني، يعني هنكتبه هنا. بعد كده هنجمع ناتج الضرب، واللي هو تمنية، مع المعامل التاني. فلمّا هنجمع، هنلاقي إن سالب تلتاشر زائد تمنية، بيساوي سالب خمسة. فهنكتب ناتج الجمع هنا.

بعد كده هنضرب المجموع، واللي هو سالب خمسة، في الثابت. يعني هنضرب سالب خمسة في أربعة. سالب خمسة في أربعة، بيساوي سالب عشرين. هنكتب سالب عشرين تحت المعامل اللي بعد كده. يعني هنكتب سالب عشرين هنا. بعد كده هنجمع ستة وعشرين وسالب عشرين. ستة وعشرين زائد سالب عشرين، بيساوي ستة. هنكتب ناتج الجمع هنا.

بعد كده هنضرب المجموع، واللي هو ستة، في الثابت. يعني هنضرب ستة في أربعة. هنلاقي إن الناتج هو أربعة وعشرين. هنكتبه تحت المعامل اللي بعد كده. يعني هنكتبه هنا. بعد كده هنجمع سالب أربعة وعشرين مع أربعة وعشرين. فهنلاقي إن ناتج الجمع هو صفر، هنكتبه هنا.

بالنسبة للأعداد اللي موجودة في الصف الأخير، فهتمثل معاملات ناتج القسمة. واللي بيكون فيها درجة الحدّ الأول، أقلّ بواحد من درجة المقسوم. أمّا بالنسبة للعدد الأخير ده، فهيمثل الباقي بتاع القسمة. معنى كده إن الاتنين، هتبقى معامل س تربيع. وإن السالب خمسة، هتبقى معامل الـ س. أمّا الستة فتبقى الثابت. وبالتالي هيبقى ناتج القسمة هو: اتنين س تربيع، ناقص خمسة س، زائد ستة. أمّا الباقي، فهيبقى صفر.

نقدر نتأكد من الحل بتاعنا، لمّا نضرب ناتج القسمة اللي عندنا، في المقسوم عليه؛ فيبقى الناتج هو المقسوم. هنبدأ نتأكد من الحل بتاعنا. فهنضرب ناتج القسمة، واللي هو: اتنين س تربيع، ناقص خمسة س، زائد ستة؛ في المقسوم عليه، واللي هو: س ناقص أربعة. هنبدأ نضرب الـ س في، اتنين س تربيع ناقص خمسة س زائد ستة. فهنلاقي س في اتنين س تربيع، باتنين س تكعيب. س في سالب خمسة س، سالب خمسة س تربيع. س في ستة، زائد ستة س.

بعد كده هنضرب سالب أربعة في، اتنين س تربيع ناقص خمسة س زائد ستة. فسالب أربعة في اتنين س تربيع، هيبقى سالب تمنية س تربيع. سالب أربعة في سالب خمسة س، يبقى موجب عشرين س. سالب أربعة في ستة، بسالب أربعة وعشرين. بعد كده هنجمع. فهنلاقي إن الناتج هو اتنين س تكعيب، ناقص تلتاشر س تربيع، زائد ستة وعشرين س، ناقص أربعة وعشرين. يعني ناتج الضرب هيبقى: اتنين س تكعيب، ناقص تلتاشر س تربيع، زائد ستة وعشرين س، ناقص أربعة وعشرين. واللي هو المقسوم. يعني الحل مظبوط.

هنشوف مثال كمان في صفحة تانية. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا المثال. في المثال ده، عايزين نستخدم طريقة القسمة التركيبية، علشان نجيب ناتج … تلاتة س أُس أربعة، ناقص خمسة س تكعيب، زائد س تربيع، زائد سبعة س؛ على تلاتة س زائد واحد.

علشان نستخدم القسمة التركيبية، فلازم يكون المقسوم عليه على الصورة: س ناقص أ. يعني معامل الـ س يبقى واحد. فلمّا يبقى معامل الـ س في المقسوم عليه ما بيساويش الواحد، هنبقى محتاجين إن إحنا نعيد كتابة المقدار اللي عندنا. علشان نستخدم القسمة التركيبية. ففي المثال اللي عندنا، هنلاحظ إن معامل الـ س في المقسوم عليه، ما بيساويش الواحد؛ لأنه بيساوي تلاتة. وبالتالي محتاجين نعيد كتابة المقدار اللي عندنا، علشان نقدر نستخدم القسمة التركيبية.

فإحنا هنكتب المقدار مرة كمان. بعد كده علشان نخلّي معامل الـ س اللي في المقام، بيساوي واحد. فإحنا هنقسم البسط والمقام، على تلاتة. ناخد بالنا إن إحنا لمّا نقسم البسط على تلاتة، والمقام على تلاتة؛ فإحنا بنقسم كثيرة حدود على وحيدة حدّ. يعني هنقسم كل حدّ موجود في البسط، على تلاتة؛ وكل حدّ موجود في المقام، على تلاتة.

يعني المقدار هيساوي س أُس أربعة، ناقص خمسة على تلاتة س تكعيب، زائد واحد على تلاتة س تربيع، زائد سبعة على تلاتة س. على س زائد، واحد على تلاتة. كده إحنا وصلنا إن معامل الـ س، اللي موجود في المقسوم عليه، بقى واحد. يعني نقدر نستخدم القسمة التركيبية دلوقتي.

قبل ما هنستخدم القسمة التركيبية، فيه حاجة عايزين نوضّحها. وهي لمّا يكون فيه حدّ مش موجود في كثيرة الحدود اللي في المقسوم، بنحطّ مكانه صفر. فبالنسبة للمثال اللي عندنا، هنلاقي إن المقسوم ما فيهوش حدّ ثابت. وبالتالي هنحطّ مكانه صفر. وإحنا عندنا حدود المقسوم، مترتّبة ترتيب تنازلي، حسب درجاتها. فهنبدأ نكتب المعاملات. وهتبقى: واحد، بعد كده سالب خمسة على تلاتة، بعد كده واحد على تلاتة، بعد كده سبعة على تلاتة، وبعد كده صفر. وده مكان الحدّ الثابت اللي مش موجود.

بعد كده هنكتب في الصندوق، الثابت اللي موجود في المقسوم عليه، واللي هو أ. بس لازم يكون المقسوم عليه في الشكل: س ناقص أ. فبالنسبة للمقسوم عليه، هو: س زائد تِلت. وَ س زائد تِلت بيساوي س ناقص سالب واحد على تلاتة. معنى كده إن الثابت اللي عندنا، هيساوي سالب واحد على تلاتة. فهنكتب في الصندوق سالب واحد على تلاتة. بعد كده هنكتب معامل الحدّ الأول، تحت الخط الأفقي. معامل الحدّ الأول هو واحد.

الخطوة اللي بعد كده، هنضرب الواحد في، سالب واحد على تلاتة. ونكتب ناتج الضرب تحت المعامل سالب خمسة على تلاتة. واحد في، سالب واحد على تلاتة، بسالب واحد على تلاتة. بعد كده هنجمع سالب خمسة على تلاتة، وسالب واحد على تلاتة. هنلاقيه بيساوي سالب ستة على تلاتة؛ يعني سالب اتنين. هنكتب ناتج الجمع هنا.

بعد كده نضرب سالب اتنين في، سالب واحد على تلاتة. وهنكتب ناتج الضرب تحت واحد على تلاتة. فسالب اتنين في، سالب واحد على تلاتة، هيساوي اتنين على تلاتة. هنكتبه هنا. بعد كده هنجمع واحد على تلاتة، واتنين على تلاتة. هنلاقيه بيساوي تلاتة على تلاتة؛ واللي هي واحد. هنكتب الواحد هنا. بعد كده هنضرب الواحد ده في، سالب واحد على تلاتة. ونكتب الناتج تحت سبعة على تلاتة. هيطلع واحد في، سالب واحد على تلاتة، بسالب واحد على تلاتة.

بعد كده هنجمع سبعة على تلاتة، وسالب واحد على تلاتة. هنلاقي بتساوي ستة على تلاتة؛ واللي هي اتنين. بعد كده هنضرب الاتنين في، سالب واحد على تلاتة. ونكتب الناتج تحت الصفر. اتنين في، سالب واحد على تلاتة، بسالب اتنين على تلاتة. هنكتبه هنا. بعد كده هنجمع صفر وسالب اتنين على تلاتة، ونكتب الناتج بتاع الجمع في خانة الباقي. فصفر زائد، سالب اتنين على تلاتة، هيساوي سالب اتنين على تلاتة. فهنكتب هنا سالب اتنين على تلاتة. معنى كده إن ناتج القسمة هو: س تكعيب، ناقص اتنين س تربيع، زائد س، زائد اتنين. أمّا الباقي فهو: سالب اتنين على تلاتة.

هنكمّل المثال في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. كنا وصلنا لناتج القسمة هو: س تكعيب، ناقص اتنين س تربيع، زائد س، زائد اتنين. وإن الباقي هو: سالب اتنين على تلاتة. وبكده هيبقى الناتج عبارة عن: س تكعيب، ناقص اتنين س تربيع، زائد س، زائد اتنين. ناقص اتنين على تلاتة؛ على س زائد، واحد على تلاتة.

هنبدأ نبسّط الكسر ده. فهنكتبه مرة كمان. الكسر هو: اتنين على تلاتة؛ على س زائد، واحد على تلاتة. هنضرب البسط والمقام في تلاتة. فهنلاقي إن الكسر بيساوي اتنين على، تلاتة س زائد واحد. وبكده بعد تبسيط الكسر، نقدر نقول إن الناتج هو: س تكعيب، ناقص اتنين س تربيع، زائد س زائد، اتنين؛ ناقص اتنين على، تلاتة س زائد واحد.

نقدر نتأكد من ناتج القسمة، من خلال استخدام القسمة المطولة. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا الناتج اللي إحنا وصلنا له. لمّا هنيجي نستخدم القسمة المطولة، علشان نقسم تلاتة س أُس أربعة، ناقص خمسة س تكعيب، زائد س تربيع، زائد سبعة س. على تلاتة س زائد واحد. هنلاقي إن خارج القسمة هو: س تكعيب، ناقص اتنين س تربيع، زائد س، زائد اتنين. وإن الباقي هو سالب اتنين. زيّ ما هيظهر لنا.

لمّا هنيجي نقارن بين معاملات الحدود اللي موجودة في خارج القسمة بتاع القسمة المطولة. هنلاقيها هي نفس المعاملات، اللي كانت موجودة تحت الخط الأفقي بتاع القسمة التركيبية. وكمان لمّا هنكتب الناتج بتاع القسمة المطولة، هنلاقيه هو هوّاه نفس الناتج بتاع القسمة التركيبية. فيه حاجة مهمة لازم ناخد بالنا منها. وهي إن إحنا لمّا بنعمل القسمة التركيبية، بنجمع الحدود، ومش بنطرحها زيّ القسمة المطولة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزَّاي نقدر نستخدم القسمة التركيبية؛ علشان نوجد ناتج قسمة كثيرة حدود، على ثنائية الحدّ أو ذات الحدين. وكمان عرفنا الأربع خطوات، اللي بنطبّقها في القسمة التركيبية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.