فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين مستويين | نجوى فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين مستويين | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين مستويين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد المسافة بين المستويين −ﺱ − ٢ﺹ − ٢ﻉ = −٢، −٢ﺱ − ٤ﺹ − ٤ﻉ = ٣.

٠٩:٢٣

نسخة الفيديو النصية

أوجد المسافة بين المستويين سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب اثنين، وسالب اثنين ﺱ ناقص أربعة ﺹ ناقص أربعة ﻉ يساوي ثلاثة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المسافة بين المستويين المعطيين. ولفعل ذلك، قد نتساءل أولًا عن المقصود بالمسافة بين مستويين. عندما يطلب منا السؤال إيجاد المسافة بين مستويين أو مستقيمين أو بين نقاط ومستويات أو نقاط ومستقيمات، فيقصد بذلك دائمًا إيجاد البعد العمودي. هذا لأن البعد العمودي بين أي عنصرين من هذه العناصر يكون دائمًا أقصر مسافة بين هذين العنصرين. ومن المفيد معرفة أقصر مسافة بين عنصرين.

لكننا لا نعرف كيفية إيجاد البعد العمودي بين مستويين. لذا علينا فهم ما يحدث. في الواقع، هناك ثلاثة احتمالات. الاحتمال الأول هو أن يكون لدينا مستويان منطبقان تمامًا. وبالطبع إذا كان لدينا مستويان منطبقان تمامًا، فإن هذين المستويين يتقاطعان عند كل نقطة لأنهما متطابقان. إذن، المسافة ستساوي صفرًا.

الاحتمال الثاني هو أن يكون لدينا مستويان غير متوازيين. وكما هو الحال مع المستقيمين غير المتوازيين، إذا كان المستويان غير متوازيين، فإنهما سيتقاطعان. وفي الواقع، سيتقاطعان عبر مستقيم بأكمله. إذن، في هذه الحالة، المسافة ستساوي صفرًا أيضًا. إحدى طرق إثبات ذلك هي حل هاتين المعادلتين باعتبارهما معادلتين آنيتين. بعد ذلك، يمكننا إيجاد معادلة مستقيم التقاطع.

الاحتمال الثالث هو أن يكون لدينا مستويان متوازيان. تجدر الإشارة هنا إلى أنه عندما نقول إن المستويين متوازيان، فإننا نعني أيضًا أنهما ليسا منطبقين، وقد تناولنا الانطباق بالفعل في الاحتمال الأول. هذا الاحتمال الثالث أصعب قليلًا. كيف يمكننا إيجاد المسافة بين مستويين متوازيين؟ نظرًا لأن المستويين متوازيان، فإننا نعرف تحديدًا أنهما لن يتقاطعا، لذا يجب أن تكون المسافة بينهما أكبر من صفر. إذا حددنا نقطة على أي من المستويين لدينا، فيمكننا حساب البعد العمودي بين هذه النقطة والمستوي فقط باستخدام صيغة حساب المسافة بين نقطة ومستوى.

ولكن قد يطرح هذا سؤالًا جديدًا. كيف نعرف النقطة التي علينا تحديدها؟ في الواقع، يمكننا إثبات أنه لا يهم أي نقطة سنحدد. جميع النقاط تقع على نفس المسافة من المستوى الآخر. تخيل أننا حددنا نقطة مختلفة على المستوى بدلًا من تلك النقطة. مرة أخرى، يمكننا حساب البعد العمودي باستخدام الصيغة لدينا. نحن نعلم أن هذين البعدين يصنعان زاويتين قائمتين مع المستوى، لأن هذا بعد عمودي. بعد ذلك، علينا التفكير في الشكل الرباعي الذي سنحصل عليه عند توصيل هذه الرءوس الأربعة معًا. باستخدام حقيقة أن هذين المستقيمين متوازيان، وأيضًا حقيقة أنهما متعامدان على البعدين العموديين، يمكننا أن نثبت أيضًا أن هذه الزوايا قائمة. إذن، هذا شكل مستطيل. ونحن نعرف أن كل ضلعين متقابلين في المستطيل يجب أن يكونا متساويين. ومن ثم لا يهم أي نقطة سنحدد. وعليه، يمكننا تحديد أي نقطة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا أن نحدد أي هذه الاحتمالات الثلاثة ينطبق هنا. ولفعل ذلك قد يكون من الأسهل كتابة كلا المستويين لدينا على الصورة المتجهة. دعونا نبدأ بالمستوى الأول، سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب اثنين. أولًا: يمكننا إيجاد متجه عمودي على المستوى لدينا عن طريق أخذ معاملات ﺱ،‏ ﺹ،‏ ﻉ. لذا، سنحصل على المتجه العمودي سالب واحد، سالب اثنين، سالب اثنين. وهذا يماثل تمامًا قولنا إن المتجه ﺭ هو المتجه ﺱ،‏ ﺹ،‏ ﻉ. والآن يمكننا أن نلاحظ من هذه المعادلة أن حاصل الضرب القياسي لـ ﺭ والمتجه العمودي يجب أن يساوي سالب اثنين. إذن، هذا يعطينا الصورة المتجهة للمستوى الأول، وهي ﺭ ضرب قياسي سالب واحد، سالب اثنين، سالب اثنين يجب أن يساوي سالب اثنين.

يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع المستوى الآخر. وعندما نفعل ذلك، نحصل على المعادلة المتجهة لهذا المستوى، وهي ﺭ ضرب قياسي سالب اثنين، سالب أربعة، سالب أربعة يساوي ثلاثة. علينا الآن تحديد أي الاحتمالات الثلاثة ينطبق هنا. وأسهل طريقة لفعل ذلك هي البدء بالتحقق إذا ما كان المستويان لدينا متوازيين. ولكي نفعل ذلك، علينا أن نتذكر كيف نتحقق إذا ما كان المستويان متوازيين من صورتيهما المتجهة.

لعلنا نتذكر أن المستويين يكونان متوازيين إذا كان كل متجه من متجهيهما العموديين مضاعفًا قياسيًّا غير صفري للآخر. ويمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق هنا بالفعل. إذا افترضنا أن الكمية القياسية تساوي نصفًا، فإن نصفًا مضروبًا في المتجه سالب اثنين، سالب أربعة، سالب أربعة يساوي المتجه سالب واحد، سالب اثنين، سالب اثنين. ومن ثم يمكننا استبعاد الاحتمال الثاني؛ لأننا نعلم أن المستويين يشيران في الاتجاه نفسه. لكن علينا أن ننتبه. ما زال علينا التحقق من أن المستويين غير منطبقين.

أسهل طريقة لفعل ذلك هي ضرب طرفي المعادلة الثانية في الكمية القياسية نصف. إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في نصف، فسنحصل على المعادلة الموضحة للمستوى. تذكر أن نصفًا مضروبًا في المتجه العمودي لأحد المستويين يساوي المتجه العمودي للمستوى الآخر. لكننا نلاحظ أن ثلاثة مضروبًا في نصف لا يساوي سالب اثنين. ومن ثم، فإن هاتين المعادلتين لا تمثلان المستوى نفسه. لذا، فإن المستويين متوازيان. إذن كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد المسافة بين أي نقطة تقع على أحد المستويين والمستوى الآخر. ولفعل ذلك، نفرغ بعض المساحة.

علينا الآن تذكر كيفية إيجاد البعد العمودي بين نقطة ومستوى. لعلنا نتذكر أن البعد العمودي بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد والمستوى ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد 𝑐ﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا يعطى بالصيغة: المسافة، التي يرمز إليها بـ ﻝ، تساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. في هذه الحالة، النقطة ﻡ يمكن أن تكون أي نقطة على أي من المستويين لدينا.

ليس علينا سوى إيجاد نقطة على أي من المستويين. ويمكننا فعل ذلك عن طريق حل أي من المعادلتين. يمكننا جعل ﺱ يساوي صفرًا، ﺹ يساوي واحدًا، ﻉ يساوي صفرًا في المستوى الأول. وبالتعويض بهذه القيم في المستوى، نجد أن سالب اثنين يساوي سالب اثنين. ومن ثم تقع هذه النقطة على المستوى لدينا. لذا سنجعل قيمة ﺱ واحد تساوي صفرًا، وقيمة ﺹ واحد تساوي واحدًا، وقيمة ﻉ واحد تساوي صفرًا. نحن الآن مستعدون تقريبًا لاستخدام الصيغة لدينا لإيجاد هذه المسافة. كل ما علينا فعله هو إيجاد قيم ﺃ،‏ ﺏ،‏ ﺟ،‏ ﺩ.

يمكننا فعل ذلك مباشرة من المعادلة الكارتيزية للمستوى الثاني. نلاحظ أن ﺃ يساوي سالب اثنين، ﺏ يساوي سالب أربعة، ﺟ يساوي سالب أربعة. ولكن علينا أن ننتبه؛ لأن الثابت ﺩ معطى في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. ولكن، في الصيغة لدينا، يوجد هذا الثابت في الطرف الأيمن من المعادلة. لذا، علينا تبديل إشارة هذا الثابت. وعليه، فإن قيمة ﺩ ستساوي سالب ثلاثة.

والآن كل ما علينا فعله هو التعويض في الصيغة لدينا بقيم ﺃ، ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ وكذلك قيمتا ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. ومن ثم نجد أن المسافة، المشار إليها بﻝ، تساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين في صفر زائد سالب أربعة في واحد زائد سالب أربعة مضروبًا في صفر ناقص ثلاثة، الكل مقسوم على الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد سالب أربعة تربيع زائد سالب أربعة تربيع. بحساب المقدار الموجود في البسط، نحصل على القيمة المطلقة لسالب سبعة. وبحساب المقدار الموجود في المقام، نحصل على الجذر التربيعي لـ ٣٦.

القيمة المطلقة لسالب سبعة تساوي سبعة، والجذر التربيعي لـ ٣٦ يساوي ستة. إذن، نحصل على سبعة على ستة. تذكر أن هذه القيمة تمثل المسافة؛ لذا يمكننا القول إن هذه القيمة تساوي سبعة على ستة وحدة طول. وبذلك، نكون قد تمكننا من إثبات أن المسافة بين المستويين سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب اثنين، وسالب اثنين ﺱ ناقص أربعة ﺹ ناقص أربعة ﻉ يساوي ثلاثة، تساوي سبعة على ستة وحدة طول.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية