فيديو السؤال: بحث اتصال دالة كسرية على مجالها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ابحث اتصال الدالة ﺩ، إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة على ﺱ زائد اثنين. لدينا خياران وهما: (أ) الدالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ما عدا المجموعة سالب اثنين (ب) الدالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ.

الاختلاف الوحيد بين هذين الخيارين هو ما إذا كان سالب اثنين يدخل ضمن المجموعة التي تكون الدالة ﺩ متصلة عليها. فهل الدالة ﺩ تكون متصلة عندما يساوي ﺱ سالب اثنين؟ تذكر أننا نقول إن الدالة ﺩ تكون متصلة عند عدد ﺟ إذا كانت نهاية الدالة ﺩﺱ عندما تقترب ﺱ من ﺟ تساوي قيمة الدالة ﺩ عند ﺟ‎.

والشرط غير المعلن نسبيًّا هنا هو أنه لا بد من وجود الكميات في كلا طرفي المعادلة. لذا، لا بد من أن تكون نهاية الدالة ﺩﺱ موجودة عندما تقترب ﺱ من ﺟ، ولا بد أيضًا من أن تكون الدالة ﺩ عند ﺟ معرفة. إذن، يجب أن يكون العدد ﺟ ضمن مجال الدالة ﺩ.

وإذا نظرنا إلى قاعدة تعريف الدالة ﺩﺱ، فيمكننا أن نرى أن سالب اثنين لا يقع ضمن مجال الدالة ﺩ. وإذا حاولنا استخدام القاعدة لحساب الدالة ﺩ عند سالب اثنين، فإننا نحصل على الصيغة غير المعرفة، صفر على صفر. وبما أن سالب اثنين لا يقع ضمن مجال الدالة ﺩ، فلا يمكن أن تكون ﺩ متصلة عند سالب اثنين. ولهذا، فإن سالب اثنين لا يدخل ضمن المجموعة التي تكون عندها الدالة ﺩ متصلة. لذا، فإن إجابتنا هي الخيار (أ)، الدالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا سالب اثنين.

ويمكننا أن نتأكد — إذا أردنا — من أن الدالة ﺩ متصلة بالفعل على مجموعة الأعداد الحقيقية فيما عدا سالب اثنين. لكننا لا نحتاج إلى الاختيار من بين الخيارين اللذين لدينا. ولكي نفعل هذا، يمكننا أن نستخدم الحقيقة التي مفادها أن الدالة الكسرية متصلة على مجالها.

ويمكننا إثبات ذلك باستخدام قوانين النهايات ومجال الدالة الكسرية لدينا وهو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص العدد الحقيقي الواحد، وهو ما يجعل المقام يساوي صفرًا. ذلك هو سالب اثنين.

ربما تكون قد فكرت في تحليل بسط هذه الدالة الكسرية، وهو عبارة عن حساب الفرق بين مربعين، ثم حذف العامل المشترك ﺱ زائد اثنين، بحيث لا يتبقى لدينا سوى ﺱ ناقص اثنين. إذا قلنا إن ﻕﺱ يساوي ﺱ ناقص اثنين، إذن الدالة ﺩﺱ يساوي ﻕﺱ، حيث ﺱ يساوي أي قيمة فيما عدا سالب اثنين، و ﻕ في سالب اثنين تساوي سالب أربعة.

وإذا كنت قد بسطت الدالة ﺩﺱ إلى ﺱ ناقص اثنين، فربما تعتقد أن الدالة ﺩ سالب اثنين تساوي سالب أربعة كذلك. وعلى الأرجح، ستعتقد بعد ذلك أن الخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة، وأن الدالة ﺩﺱ كانت متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقة ﺡ بأكملها. لكن ذلك ليس صحيحًا. إن قيمة الدالة ﺩ عند سالب اثنين ليست قيمة غير معرفة تمامًا. حتى مع تبسيطها بطريقة أو بأخرى، ستظن أن القيمة يجب أن تكون سالب أربعة.

مع ذلك، يمكننا استخدام ﻕ في ﺱ لنوضح أن نهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب اثنين هو سالب أربعة. بينما الدالة ﺩ في سالب اثنين لا تساوي ﻕ في سالب اثنين، ونهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب اثنين تساوي نهاية ﻕﺱ حين تقترب ﺱ من سالب اثنين.