فيديو: إيجاد القِيَم العُظمى والصُّغرى المحلية لدالة كسرية تتضمَّن استخدام قاعدة خارج القسمة

أوجد متى يكون (إذا وُجِد) للدالة د(ﺱ) = (ﺱ^٢ − ١٥ﺱ − ١٥)/(ﺱ + ١) قيمة عظمى وقيمة صغرى محلية.

٠٦:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد متى يكون — إذا وُجد — للدالة د س تساوي س تربيع ناقص خمستاشر س ناقص خمستاشر، على س زائد واحد، قيمة عظمى وقيمة صغرى محلية.

وهنتكلم سريعًا عن القيم العظمى والصغرى المحلية. فمثلًا إذا كانت الدالة د س بالشكل اللي قدامي أو بأي شكل آخر، ولكن على سبيل المثال. وكانت متصلة زي ما أنا شايف وهو واضح قدامي إن ما فيش أي ثقب في المنحنى. فإذا وجدت نقطة على الدالة د س بحيث تصنع المماسَّات على النقط القريبة جدًّا منها، وعلى يسارها زوايا حادَّة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، وزوايا منفرجة على يمينها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. فإنه يُقال أن قيمة الدالة عند س تساوي واحد هي قيمة عظمى محلية.

أما إذا كانت المماسات على يسار النقطة تصنع زوايا منفرجة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، وعلى يمين النقطة تصنع زوايا حادّة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. فإنه يُقال أن قيمة الدالة عند س اتنين هي قيمة صغرى محلية. ولأن المماس عند النقطة س واحد وعند النقطة س اتنين يوازي محور السينات، وبالتالي قيمة المشتقة الأولى بصفر. فهيكون مطلوب مني إني أبحث إشارة المشتقة الأولى على يمين ويسار النقط اللي بتحقق إن المشتقة الأولى تساوي صفر. وده بعد التأكد إن الدالة متصلة عند النقط اللي بختبر عندها.

وبالتالي هتكون البداية إني أستنتج مجال الدالة د س. وألاحظ إن د س هي دالة كسرية. وبالتالي هيكون مجالها هو مجال البسط، والبسط عندي دالة كثيرة حدود، وبالتالي مجالها ح. تقاطع مجال المقام، وهو أيضًا كثيرة حدود، وبالتالي هيكون مجالها ح. فرق أصفار المقام، وأصفار المقام هي قِيَم المقام التي تجعل الدالة تساوي صفر.

وبمجرد النظر هلاحظ إن القيمة دي هي س تساوي سالب واحد. وَ ح تقاطع ح هو أيضًا ح. وبالتالي هيكون مجال الدالة هو ح فرق سالب واحد. وعلشان أقدر أختبر إشارة المشتقة الأولى على يمين ويسار النقط التي تحقق أن المشتقة الأولى تساوي صفر. بالتالي هتكون الخطوة الجاية إني أشتق الدالة وأساويها بالصفر وأختبر الإشارة يمين ويسار تلك النقط.

ومشتقة الدالة الكسرية بتكون هي مشتقة المقام مضروبًا في البسط، ناقص مشتقة البسط مضروبًا في المقام، على مربع المقام. ومشتقة البسط هي ببساطه اتنين س؛ لأني بنزل الأُس وأقلل من الأُس واحد، ناقص خمستاشر. دي كده مشتقة البسط. مضروب في المقام، اللي هو س زائد واحد. ناقص مشتقة المقام اللي هو واحد مضروب في البسط. واحد مش هكتبه طبعًا. يبقى س تربيع ناقص خمستاشر س ناقص خمستاشر. وهقسم على مربع المقام س زائد واحد الكل تربيع.

وبعد التبسيط هتكون د شرطة س بتساوي س تربيع زائد اتنين س، على س زائد واحد الكل تربيع. وبمساواة د شرطة س بالصفر، إذن س تربيع زائد اتنين س، على س زائد واحد الكل تربيع، يساوي صفر. ولأي دالة كسرية لكي تساوي صفر، فإن البسط يساوي صفر؛ لأن صفر على أي مقدار بيساوي صفر.

وبالتالي س تربيع زائد اتنين س هتساوي صفر. وده اللي بيجعل الدالة د شرطة س تساوي صفر. وبأخذ س من المقدارين عامل مشترك، إذن س في س زائد اتنين يساوي صفر. إذن مجموعة الحل هتكون س تساوي صفر، أو س تساوي سالب اتنين. إذن للدالة قِيَم عظمى أو صُغرى عند س تساوي صفر، وَ س تساوي سالب اتنين.

وعلشان أقدر أعرف مين فيهم الصغرى ومين فيهم العظمى، هلجأ لاختبار إشارة المشتقة الأولى. وما أنساش إني عند بحث إشارة المشتقة الأولى ما أقدرش أعوّض بالقيمة سالب واحد في الـ س؛ لأنها خارج مجال الدالة، وأيضًا هي خارج مجال د شرطة.

وبِعَمل جدول بسيط من صفين؛ الصف الأول هو س، والصف التاني هو د شرطة س. وهتكون النقط اللي هبحث إشارة د شرطة س على يمينها ويسارها، هي سالب اتنين وصفر؛ لأن دول القيمتين اللي بيحققوا إن د شرطة س تساوي صفر. وما أنساش إن القيمة سالب واحد هي خارج مجال الدالة، خارج مجال د شرطة س. وبالتالي هستثنيها من السينات ومن بحث الإشارة. وهختار أي قيم للسينات على يمين ويسار سالب اتنين، ويمين ويسار الصفر. فهيكون على يسار سالب اتنين أقدر أختار سالب تلاتة. وعلى يسار الصفر أقدر أختار سالب نص؛ لأني ما أقدرش أختار سالب واحد. وعلى يمين الصفر أقدر أختار واحد مثلًا. والمشتقة الأولى كانت بتساوي س تربيع زائد اتنين س على س زائد واحد الكل تربيع. إذن قيمة المشتقة الأولى عند س تساوي سالب تلاتة، اللي هي د شرطة سالب تلاتة، هتساوي تلاتة على أربعة، ودي قيمة موجبة. إذن إشارة المشتقة الأولى على يسار سالب اتنين موجبة.

أما د شرطة س سالب نص تساوي سالب تلاتة، بالتعويض المباشر أيضًا. وبالتالي تكون إشارة المشتقة الأولى على يمين سالب اتنين وعلى يسار الصفر هي سالبة. أما د شرطة واحد تساوي تلاتة على أربعة، وهي موجبة. وبالتالي فإن قيمة المشتقة الأولى على يمين الصفر هي قيمة موجبة. وبما أن إشارة د شرطة س على يسار سالب اتنين موجبة، وعلى يمين سالب اتنين سالبة. إذن يوجد قيمة عظمى محلية عند سالب اتنين. وبما أن على يسار س تساوي صفر المشتقة الأولى إشارتها سالبة، وعلى يمين س تساوي صفر المشتقة الأولى إشارتها موجبة. وبالتالي فإن عند س تساوي صفر يوجد قيمة صغرى محلية.

إذن للدالة قيمة عظمى محلية عند س تساوي سالب اتنين، وقيمة صغرى محلية عند س تساوي صفر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.