تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: تطبيق معادلة الاستمرارية على أنبوب متفرع الفيزياء

يسري الماء بانسيابية إلى داخل وعبر أنبوب رئيسي ينقسم إلى أنبوبين ثانويين. يتغير سمك الأنبوبين الثانويين على امتداد طوليهما، كما هو موضح بالشكل. مساحة مقطع الأنبوب عند المنطقة التي ينقسم فيها مطابقة لمساحة مقطعه عند المنطقة التي يسري فيها الماء إلى داخله. يسري الماء بسرعة ‪0.25 m/s‬‏ خارج الأنبوب الثانوي ذي المخرج الأكبر في مساحة المقطع. يسري الماء بسرعة ‪1.0 m/s‬‏ خارج الأنبوب الثانوي ذي المخرج الأصغر في مساحة المقطع. ما الفرق بين مساحتي المقطع للأنبوبين الثانويين في المنطقة التي يدخل عندها الماء إليهما؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

١١:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

يسري الماء بانسيابية إلى داخل وعبر أنبوب رئيسي ينقسم إلى أنبوبين ثانويين. يتغير سمك الأنبوبين الثانويين على امتداد طوليهما، كما هو موضح بالشكل. مساحة مقطع الأنبوب عند المنطقة التي ينقسم فيها مطابقة لمساحة مقطعه عند المنطقة التي يسري فيها الماء إلى داخله. يسري الماء بسرعة 0.25 متر لكل ثانية خارج الأنبوب الثانوي ذي المخرج الأكبر في مساحة المقطع. يسري الماء بسرعة 1.0 متر لكل ثانية خارج الأنبوب الثانوي ذي المخرج الأصغر في مساحة المقطع. ما الفرق بين مساحتي المقطع للأنبوبين الثانويين في المنطقة التي يدخل عندها الماء إليهما؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

في الشكل الذي لدينا، نلاحظ أنبوبًا ينقسم إلى أنبوبين منفصلين. يسري الماء هنا عبر فتحة عرضها 1.00 متر مربع، ثم بعد أن يقطع مسافة معينة ينقسم إلى هذين الأنبوبين المنفصلين. ونعرف من المعطيات مساحة المقطع لنقطة مخرج كل أنبوب. إضافة إلى ذلك، نعرف أيضًا سرعتي خروج الماء من كل أنبوب. بمعلومية كل هذه المعطيات، نريد إيجاد الفرق بين مساحتي مقطع الأنبوبين الثانويين في النقطة التي يدخل عندها الماء إليهما. يمكننا ملاحظة أن هذه النقطة تقع على طول هذا الخط المتقطع هنا. إذا كانت مساحة مقطع هذا الأنبوب العلوي عند هذه النقطة تساوي ‪𝐴‬‏ واحدًا، وكانت مساحة مقطع مدخل الأنبوب السفلي تساوي ‪𝐴‬‏ اثنين، فعلينا إيجاد الفرق بينهما. بما أن ‪𝐴‬‏ اثنين أكبر بشكل ملحوظ من ‪𝐴‬‏ واحد، فسنطرح ‪𝐴‬‏ اثنين من ‪𝐴‬‏ واحد.

لتسهيل إيجاد هذه القيمة، سنستخدم علاقة تسمى معادلة الاستمرارية للموائع. حينما يسري مائع غير قابل للانضغاط، مثل الماء الذي لدينا هنا، عبر حاوية، فإن معادلة الاستمرارية تنطبق عليه. وهي تنص على أنه عند أي مقطع للحاوية، المشار إليه بالرقم السفلي واحد في هذا الشكل، يكون حجم المائع الذي يسري عبر هذا المقطع خلال وحدة زمنية معينة مساويًا لحجم المائع نفسه الذي يمر عبر مقطع آخر للحاوية خلال الوحدة الزمنية نفسها. بعبارة أخرى، معدل السريان الحجمي للمائع عبر الحاوية ثابت.

تكتب معادلة الاستمرارية للموائع عادة على هذه الصورة. ومع ذلك، علينا الانتباه إلى كيفية تطبيقها لأنها تربط بين مقطعين في حاوية يسري نفس المائع عبرهما. على سبيل المثال، يمكننا استخدام مقطع هنا في الأنبوب ومقطع آخر هنا. تنطبق معادلة الاستمرارية في هذه الحالة؛ لأن هذين المقطعين جزء من مسار السريان نفسه. ومع ذلك، يمكننا أن نلاحظ في أعلى الشكل أن ‪𝐴‬‏ واحدًا و‪𝐴‬‏ اثنين ليسا جزءًا من مسار السريان نفسه؛ فالماء الذي يسري عبر إحدى هاتين المساحتين لا يسري عبر الأخرى.

في هذه الحالة، يمكننا القول إن هذا المقطع هنا عند مدخل الأنبوب وهذين المقطعين هنا عند نقطتي مخرج الأنبوبين جزء بالفعل من مسار السريان نفسه. والسبب في ذلك أن أي ماء سيدخل من هنا لا بد أن يخرج إما من هنا عبر الأنبوب الأول وإما من هنا عبر الأنبوب الثاني. يمكننا قول الشيء نفسه عن مساحة المقطع الابتدائية هذه ومجموع ‪𝐴‬‏ واحد زائد ‪𝐴‬‏ اثنين هنا، ولكننا لن نطبق معادلة الاستمرارية بين هذين المقطعين؛ لأننا لا نعلم سوى القليل حول نقطة التقسيم هذه حيث ينقسم الأنبوب إلى اثنين. لا نعرف بعد سرعتي الماء عبر أي من هذين الأنبوبين، ولا نعرف قيمة ‪𝐴‬‏ واحد و‪𝐴‬‏ اثنين.

لذلك، سنبدأ بدلًا من ذلك بتطبيق معادلة الاستمرارية بين هذا المقطع، الذي نعرف مساحته، والمقطع الذي يتضمن نقطتي مخرجي الأنبوبين. نعرف مساحتي كل من الأنبوبين عند نقطتي مخرجيهما، إضافة إلى سرعة الماء عند سريانه خلالهما.

دعونا الآن نتذكر أن معادلة الاستمرارية تركز في المقام الأول على معدل السريان الحجمي للموائع. لتوضيح ذلك، يمكننا ملاحظة أنه إذا كانت المساحة في كلا طرفي هذه المعادلة معبرًا عنها بوحدة المتر المربع، والسرعات معبرًا عنها بوحدة المتر لكل ثانية، فإن الوحدة المستخدمة في كلا طرفي معادلة الاستمرارية هي المتر المكعب لكل ثانية. وبالطبع فإننا نتناول معدل سريان حجم المائع عبر حاوية. بمعلومية ذلك عند كتابة المعادلة بين هذه النقطة، وسنسمي هذا المقطع ‪𝑎‬‏، والنقطة عند المقطع الثاني على طول نقطتي مخرجي الأنبوبين، الذي سنسميه المقطع ‪𝑏‬‏، فإن معادلة الاستمرارية ستبدو على هذه الصورة.

لدينا هنا ‪𝐴𝑎‬‏، وهي مساحة مقطع الأنبوب عند مدخله. و‪𝑣𝑎‬‏ هي سرعة الماء عند دخوله عبر هذا المقطع. على الجانب الآخر، لدينا ‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑏‬‏، وهي مساحة مقطع الأنبوب العلوي عند النقطة ‪𝑏‬‏. و‪𝑣‬‏ واحد ‪𝑏‬‏ هو سرعة خروجها عند تلك النقطة. وهي تساوي 0.25 متر لكل ثانية. وبالمثل، ‪𝐴‬‏ اثنان ‪𝑏‬‏ هي مساحة مقطع الأنبوب الثاني عند نقطة الخروج فيه. و‪𝑣‬‏ اثنان ‪𝑏‬‏ هي سرعة الماء عند خروجه من هذا الأنبوب، وتساوي 1.0 متر لكل ثانية. بالنظر إلى هذا المقدار بأكمله، نجد أننا نعلم قيمة ‪𝐴𝑎‬‏. وهي 1.00 متر مربع. ونعلم كذلك قيم ‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑏‬‏، و‪𝑣‬‏ واحد ‪𝑏‬‏، و‪𝐴‬‏ اثنين ‪𝑏‬‏، و‪𝑣‬‏ اثنين ‪𝑏‬‏. وهذه القيم موضحة على الشكل لدينا. ‏‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑏‬‏ يساوي 0.75 متر مربع، و‪𝐴‬‏ اثنان ‪𝑏‬‏ يساوي 0.50 متر مربع، و‪𝑣‬‏ واحد ‪𝑏‬‏ يساوي 0.25 متر لكل ثانية، و‪𝑣‬‏ اثنين ‪𝑏‬‏ يساوي 1.0 متر لكل ثانية.

المجهول الوحيد لدينا في هذه المعادلة هو ‪𝑣𝑎‬‏. وتذكر أن هذا المجهول هو سرعة دخول الماء في الأنبوب. وسيكون مفيدًا لنا إيجاد قيمة ‪𝑣𝑎‬‏. لتنفيذ ذلك، يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على ‪𝐴𝑎‬‏، ما يحذف هذا العامل من الطرف الأيسر، ثم التعويض بعد ذلك بكل القيم في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. ‏‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑏‬‏ قيمته 0.75 متر مربع. و‪𝑣‬‏ واحد ‪𝑏‬‏ قيمته 0.25 متر لكل ثانية. و‪𝐴‬‏ اثنان ‪𝑏‬‏ قيمته 0.50 متر مربع. و‪𝑣‬‏ اثنان ‪𝑏‬‏ قيمته 1.0 متر لكل ثانية. أخيرًا، ‪𝐴𝑎‬‏ قيمته 1.00 متر مربع. ونظرًا لأن مقداره يساوي واحدًا، فسنلاحظ أنه لن يؤدي إلى تغيير مقدار الناتج.

عند حساب هذا الكسر، نحصل على ناتج دقيق قيمته 0.6875 متر لكل ثانية. وهذا الناتج أدق مما نحتاج إليه في الإجابة النهائية. ولكن بما أن هذا الناتج خطوة وسيطة نحو الإجابة النهائية، فسنحتفظ بكل هذه الأرقام في الوقت الحالي. سنضع هذا الناتج جانبًا، ودعونا الآن نفكر في كيفية استخدام ‪𝑣𝑎‬‏ لإيجاد قيمة ‪𝐴‬‏ واحد و‪𝐴‬‏ اثنين. في الشكل لدينا، يمكننا ملاحظة أنه عند النقطة التي ينقسم فيها الأنبوب إلى أنبوبين منفصلين، مساحة المقطع عند هذه النقطة تحديدًا تساوي مساحة المقطع ‪𝐴‬‏. هذا يعني أن السرعة التي يسري الماء بها في هذين الأنبوبين عند انقسامهما تساوي السرعة التي يسري بها في الأنبوب الأول عند المقطع ‪𝐴‬‏. بعبارة أخرى، عند مساحتي المقطعين الفعليين، ‪𝐴‬‏ واحد و‪𝐴‬‏ اثنين، تساوي سرعة الماء ‪𝑣𝑎‬‏.

هذا مفيد لأنه يعني أننا نستطيع الآن تطبيق معادلة الاستمرارية على هذا القسم من الأنبوب الموضح باللون الأخضر. تنص المعادلة على أن ‪𝐴‬‏ واحدًا مضروبًا في ‪𝑣𝑎‬‏ يساوي ‪𝐴‬‏ واحدًا ‪𝑏‬‏ مضروبًا في ‪𝑣‬‏ واحد ‪𝑏‬‏. تذكر أننا نعلم القيم في الطرف الأيمن من هذا المقدار. والآن نعلم أيضًا قيمة ‪𝑣𝑎‬‏. وبناء عليه، بقسمة كلا الطرفين على ‪𝑣𝑎‬‏، تحذف هذه السرعة من الطرف الأيسر. ويصبح لدينا الآن مقدار لإحدى المساحتين اللتين نريد إيجادهما. لاحظ أننا نعلم كل قيم هذه المعادلة في الطرف الأيمن. ‏‪𝐴‬‏ واحد ‪𝑏‬‏ يساوي 0.75 متر مربع، و‪𝑣‬‏ واحد ‪𝑏‬‏ يساوي 0.25 متر لكل ثانية.

بالتعويض بالقيمة المعلومة لدينا لـ ‪𝑣𝑎‬‏، نحصل على ناتج يساوي 0.27 دوري متر مربع. مثلما فعلنا مع ‪𝑣𝑎‬‏، دعونا نضع هذه القيمة جانبًا. سنطبق الآن معادلة الاستمرارية على هذا الجزء من الأنبوب الثاني لكي نوجد قيمة مساحة المقطع ‪𝐴‬‏ اثنين. في الطرف الأيسر، لدينا ‪𝐴‬‏ اثنان مضروبًا في ‪𝑣𝑎‬‏. وفي الجانب الأيمن، لدينا ما رمزنا له بالرمز ‪𝐴‬‏ اثنين ‪𝑏‬‏ مضروبًا في ‪𝑣‬‏ اثنين ‪𝑏‬‏. بقسمة كلا الطرفين مرة أخرى على ‪𝑣𝑎‬‏ لعزل ‪𝐴‬‏ اثنين، يمكننا الآن التعويض بالقيم في الطرف الأيمن ضمن هذا المقدار. ‏‪𝐴‬‏ اثنان ‪𝑏‬‏ يساوي 0.50 متر مربع، و‪𝑣‬‏ اثنان ‪𝑏‬‏ يساوي 1.0 متر لكل ثانية.

بحساب هذا الكسر، نحصل مرة أخرى على رقم عشري دوري، وهو هذه المرة 0.72 دوري متر مربع. هذه قيمة ‪𝐴‬‏ اثنين. بذلك نكون جاهزين الآن لحساب الفرق بين هاتين المساحتين. ‏‪𝐴‬‏ اثنان ناقص ‪𝐴‬‏ واحد يساوي 0.72 دوري متر مربع ناقص 0.27 دوري متر مربع، وهو ما يساوي 0.45 دوري متر مربع. ولكن هذه ليست إجابتنا النهائية؛ إذ يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. يمكننا ملاحظة أن العدد 0.45 دوري يساوي 0.45454545 وهكذا مع توالي الأرقام. لذا، لكتابة إجابتنا لأقرب منزلتين عشريتين، سننظر إلى المنزلة العشرية الثالثة. بملاحظة أن هذا الرقم أقل من خمسة، سنقرب إجابتنا إلى 0.45 متر مربع. وهذا هو الفرق بين مساحتي مقطعي الأنبوبين الثانويين في المنطقة التي يدخل عندها الماء إليهما.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.