نسخة الفيديو النصية
هل الدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة زوجية أو فردية أو ليست زوجية ولا فردية؟
حسنًا، تكون الدالة ﺩﺱ زوجية إذا كان ﺩ لسالب ﺱ يساوي ﺩﺱ، وتكون الدالة ﺩﺱ فردية إذا كان ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ. لاحظ أن الفرق الوحيد بين تعريفي الدالة الزوجية والدالة الفردية هو إشارة السالب الموجودة هنا.
كيف يمكننا إذن معرفة إذا ما كانت الدالة زوجية أو فردية؟ علينا إيجاد الدالة ﺩ لسالب ﺱ. حسنًا، ما الذي فعلناه هنا؟ لقد كتبنا الدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة، وعوضنا عن كل ﺱ بسالب ﺱ. وعليه، ﺱ هنا يصبح سالب ﺱ، وﺱ هنا يصبح سالب ﺱ.
إذن، إنها ببساطة الخطوات نفسها التي نتبعها عند التعويض بعدد ما في أي دالة لإيجاد قيمتها. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه الدالة؛ لأن أربعة في سالب ﺱ يساوي سالب أربعة ﺱ، ونحتفظ بناقص ثلاثة.
يمكننا الآن التفكير فيما إذا كانت الدالة ﺩﺱ زوجية. حسنًا، تكون الدالة زوجية إذا كان ﺩ لسالب ﺱ يساوي ﺩﺱ. فهل سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة؟ لا، هذا غير صحيح.
تذكر أننا لا نكتب معادلة بهدف إيجاد قيمة ﺱ. بل لنسأل إذا ما كانت هاتان الدالتان متساويتين. هل يتحقق هذا لجميع قيم ﺱ؟ في بعض الأحيان، نستخدم علامة يساوي بثلاث شرطات لتوضيح ذلك؛ أي إننا نحتاج إلى تحقق ذلك لجميع قيم ﺱ وليس فقط لقيمة واحدة أو قيمتين.
هذا لا يتحقق مع جميع قيم ﺱ. على سبيل المثال، لا يتحقق ذلك عند ﺱ يساوي واحدًا. عند ﺱ يساوي واحدًا، نجد أن الطرف الأيمن يساوي سالب سبعة، والطرف الأيسر يساوي واحدًا. إذن، لا يمكن أن تكون هاتان الدالتان متساويتين؛ لأنهما تأخذان القيمة المدخلة واحدًا وتعطياننا قيمتين مخرجتين مختلفتين.
إذن، ﺩﺱ ليست دالة زوجية. في حالة إثبات أن العدد الكلي ليس عددًا زوجيًّا، نجد أن ذلك يعني أن هذا العدد الكلي لا بد أن يكون فرديًّا. لكن هذا لا ينطبق على الدوال؛ فالدالة قد لا تكون زوجية ولا فردية. إذن، علينا التحقق مما إذا كانت الدالة ﺩﺱ فردية. إننا لا نستطيع أن نجزم بأن الدالة فردية لكونها غير زوجية.
كيف نتحقق إذن من أن الدالة ﺩﺱ دالة فردية؟ حسنًا، سنقارن بين ﺩ لسالب ﺱ وسالب ﺩﺱ. وهنا، استخدمنا تعريف الدالة ﺩﺱ وجعلناها سالبة لإيجاد سالب ﺩﺱ، والآن يمكننا التبسيط.
لقد حرصنا على وضع إشارة زائد هنا لأننا نحسب سالب قوس يحتوي على علامة سالب؛ وهو ما يعطينا إشارة زائد. حسنًا، سيكشف لنا السؤال التالي عما إذا كانت الدالة ﺩﺱ دالة فردية. هل سالب أربعة ﺱ زائد ثلاثة يساوي سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة؟ مرة أخرى، تذكر أننا نتحدث هنا على مستوى الدالة، إذن هل تتساوى الدالتان تمامًا لجميع قيم ﺱ؟ ومجددًا، الإجابة هي لا. جرب أي قيمة لـ ﺱ، ولن يتحقق ذلك. لا بد أن ينطبق ذلك على جميع قيم ﺱ؛ إذن هذه الدالة ليست فردية.
حسنًا، لقد عرفنا أن هذه الدالة ليست زوجية ولا فردية، وقد تثير هذه الحقيقة دهشتنا إذا كنا نفكر في الأعداد الكلية التي تكون دائمًا إما زوجية وإما فردية. لقد أثبتنا حقيقة أن الدالة ليست زوجية ولا فردية باستخدام التعريف الذي يتضمن ﺩ لسالب ﺱ، لكن كان بإمكاننا أيضًا معرفة ذلك من خلال رسم تمثيل بياني. سنفعل ذلك الآن.
لدينا هنا رسم تقريبي للتمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة، سنجد هنا أن لدينا مستقيمًا يقطع المحور ﺱ عند ناقص ثلاثة وميله يساوي أربعة. لعلك تعلم أن الدالة تكون زوجية إذا كان تمثيلها البياني له تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ. وإذا نظرنا هنا إلى التمثيل البياني، فسنلاحظ أنه ليس له تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ. ومجددًا، نستنتج أن هذه الدالة غير زوجية.
تكون الدالة فردية إذا كان تمثيلها البياني له تماثل دوراني بزاوية قياسها ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل أو إذا كانت من الدرجة الثانية. إذن، إذا قمنا بتدوير هذا التمثيل البياني حول نقطة الأصل بزاوية قياسها ١٨٠ درجة، فهل سنحصل على التمثيل البياني نفسه؟ بالطبع لا، نستنتج هنا مرة أخرى أن الدالة ليست دالة فردية.
إذن، باستخدام التعريف الذي يتضمن ﺩ لسالب ﺱ، وجدنا بالنظر إلى التمثيل البياني أن الدالة ﺩﺱ ليست زوجية ولا فردية.
