نسخة الفيديو النصية
أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين ﻝ واحد: ﺱ يساوي خمسة ناقص ثمانية ﻙ، ﺹ يساوي سالب ثلاثة ناقص أربعة ﻙ، ﻉ يساوي خمسة زائد ستة ﻙ، وﻝ اثنين: ﺱ ناقص خمسة على ثلاثة يساوي ﺹ زائد خمسة على سالب ستة يساوي ﻉ ناقص اثنين على سالب اثنين، مقربًا الناتج لأقرب ثانية.
يطلب السؤال إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين في فضاء، وبما أن الزاوية بينهما هي الزاوية المحصورة بين متجهي اتجاهيهما، علينا أولًا إيجاد متجهي اتجاهيهما. ومن ثم، يمكننا استخدام الصيغة الموضحة لإيجاد الزاوية المحصورة بين هذين المستقيمين. جتا 𝜃 يساوي مقدار حاصل الضرب القياسي لـ ﻫ واحد في ﻫ اثنين مقسومًا على معيار ﻫ واحد مضروبًا في معيار ﻫ اثنين.
في هذا السؤال المستقيم ﻝ واحد معطى على الصورة البارامترية، حيث ﺱ يساوي ﺱ واحدًا زائد 𝜆ﺃ، وﺹ يساوي ﺹ واحدًا زائد 𝜆ﺏ، وﻉ يساوي ﻉ واحدًا زائد 𝜆ﺟ. من ناحية أخرى المستقيم ﻝ اثنين معطى على الصورة الكارتيزية، حيث ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﺟ، حيث 𝜆 كمية قياسية. ويمر المستقيم بالنقطة 𝐴 ذات الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، ومتجه اتجاهه ﻫ يساوي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ.
في المستقيم ﻝ واحد، قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي سالب ثمانية وسالب أربعة وستة، على التوالي. إذن ﻫ واحد يساوي سالب ثمانية ﺱ ناقص أربعة ﺹ زائد ستة ﻉ، وهو ما يمكن كتابته في صورة سالب ثمانية، سالب أربعة، ستة كما هو موضح. بالنظر إلى الصورة الكارتيزية للمستقيم ﻝ اثنين، نجد أن ﺃ يساوي ثلاثة، وﺏ يساوي سالب ستة، وﺟ يساوي سالب اثنين. إذن متجه اتجاه المستقيم ﻫ اثنين يساوي ثلاثة، سالب ستة، سالب اثنين.
يمكننا الآن إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين ومعياريهما. إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين يعني إيجاد مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة. من ثم يكون لدينا سالب ثمانية مضروبًا في ثلاثة زائد سالب أربعة مضروبًا في سالب ستة زائد ستة مضروبًا في سالب اثنين. يبسط ذلك إلى سالب ٢٤ زائد ٢٤ زائد سالب ١٢، وهو ما يساوي سالب ١٢. بعد ذلك، نوجد معيار كل من ﻫ واحد وﻫ اثنين. وهذا يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات كل مركبة على حدة. إذن معيار متجه الاتجاه ﻫ واحد يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٤ زائد ١٦ زائد ٣٦، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١١٦. بما أن ١١٦ يساوي أربعة مضروبًا في ٢٩، فإنه باستخدام قوانين الجذور، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة اثنين جذر ٢٩.
وباتباع الطريقة نفسها، نجد أن معيار ﻫ اثنين يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سالب ستة تربيع زائد سالب اثنين تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لتسعة زائد ٣٦ زائد أربعة، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٩، وذلك يساوي سبعة. بملاحظة أنه يجب حساب مقدار حاصل الضرب القياسي، الذي يساوي موجب ١٢، يمكننا التعويض بالقيم التي لدينا في صيغة جتا 𝜃. يصبح لدينا ١٢ مقسومًا على اثنين جذر ٢٩ مضروبًا في سبعة. يبسط الطرف الأيسر إلى ١٢ على ١٤ جذر ٢٩، ويمكننا بعد ذلك حساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا الطرفين. وهذا يعطينا ٨٠٫٨٤١٤٢٥ درجة مع توالي الأرقام.
مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب ثانية. إحدى طرق إجراء ذلك هي استخدام زر الدرجات والدقائق والثواني في الآلة الحاسبة، ومن ثم تكون الإجابة: ٨٠ درجة، ٥٠ دقيقة، ٢٩ ثانية، لأقرب ثانية. ثمة طريقة أخرى لإيجاد الدقائق والثواني لهذه الزاوية، حيث يمكننا أن نضرب الجزء العشري على التوالي في ٦٠. وباستخدام أي من الطريقتين، نجد أن قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين ﻝ واحد، ﻝ اثنين يساوي ٨٠ درجة، ٥٠ دقيقة، ٢٩ ثانية.
