نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم العمليات على المتجهات، وخصائص المتجهات لحل مسائل تتضمن أشكالًا هندسية. سنبدأ بتذكر بعض الخصائص الأساسية التي سنستخدمها في هذا الفيديو.
عند جمع متجهين أو طرحهما، فإننا نجمع مركباتهما أو نطرحها. نعلم أن المتجهين يكونان متوازيين إذا كانا مضاعفين قياسيين أحدهما للآخر. فالمتجهان ﺃ وﺏ يكونان متوازيين إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏ، حيث ﻙ ثابت لا يساوي صفرًا. ويكون المتجهان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. يمكننا استخدام هاتين الخاصتين لحل المسائل التي تتضمن خطوطًا متوازية أو متعامدة في الأشكال الهندسية. نعلم أنه إذا كان هناك متجهان متساويين، فسيكون لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه. إذا انطبق هذا على ضلعين في شكل هندسي، فسيكون الضلعان متوازيين ومتساويين في الطول.
سنتناول الآن بعض الأمثلة، أولها يتضمن إيجاد إحداثيات رءوس مستطيل.
ﺃﺏﺟﺩ مستطيل فيه إحداثيات النقاط ﺃ وﺏ وﺟ هي سالب ١٨، سالب اثنين؛ وسالب ١٨، سالب ثلاثة؛ وسالب ثمانية، ﻙ، على الترتيب. استخدم المتجهات لإيجاد قيمة ﻙ وإحداثيات النقطة ﺩ.
إحدى طرق حل هذه المسألة هي رسم مستطيل على المستوى الإحداثي؛ لكن المطلوب هو استخدام المتجهات. من المنطقي إذن أن نفكر في بعض خصائص المستطيل. المستطيل به زوجان من الأضلاع المتوازية والمتساوية في الطول. هذا يعني أن المتجه ﺃﺏ سيساوي المتجه ﺩﺟ. وبالمثل، المتجه ﺩﺃ سيساوي المتجه ﺟﺏ. نحن نعلم كذلك أن زوايا المستطيل تكون زوايا قائمة. هذا يعني أن المتجه ﺃﺏ عمودي على المتجه ﺟﺏ. وينطبق الأمر نفسه على الأضلاع الأخرى التي تتقابل عند زوايا قائمة.
نتذكر أنه لحساب المتجه ﺃﺏ، فإننا نطرح المتجه ﺃ من المتجه ﺏ. في هذا السؤال، المتجه ﺃﺏ يساوي سالب ١٨، سالب ثلاثة ناقص سالب ١٨، سالب اثنين. سالب ١٨ ناقص سالب ١٨ يعادل سالب ١٨ زائد ١٨. وهذا يساوي صفرًا. سالب ثلاثة ناقص سالب اثنين يساوي سالب واحد. وعليه، فإن المتجه ﺃﺏ يساوي صفرًا، سالب واحد. المتجه ﺟﺏ يساوي المتجه ﺏ ناقص المتجه ﺟ. هذا يساوي سالب ١٨، سالب ثلاثة ناقص سالب ثمانية، ﻙ. وهذا يساوي سالب ١٠، سالب ثلاثة ناقص ﻙ.
نعلم أنه إذا كان هناك متجهان متعامدان، فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. هذا يعني أن حاصل الضرب القياسي لـ ﺃﺏ وﺟﺏ يساوي صفرًا. إذن، صفر مضروبًا في سالب ١٠ زائد سالب واحد مضروبًا في سالب ثلاثة ناقص ﻙ يساوي صفرًا. يبسط ذلك إلى صفر يساوي ثلاثة زائد ﻙ. وبطرح ثلاثة من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﻙ يساوي سالب ثلاثة. إذن، قيمة ﻙ تساوي سالب ثلاثة، ما يعني أن إحداثيات ﺟ هي سالب ثمانية، سالب ثلاثة.
إذا افترضنا أن إحداثيات النقطة ﺩ هي ﺱ، ﺹ، فإن المتجه ﺩﺟ يساوي سالب ثمانية، سالب ثلاثة ناقص ﺱ، ﺹ. وهذا يساوي سالب ثمانية ناقص ﺱ، سالب ثلاثة ناقص ﺹ. بما أن المتجهين ﺃﺏ وﺩﺟ لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه، فلا بد أن يكونا متساويين. هذا يعني أن الصفر لا بد أن يساوي سالب ثمانية ناقص ﺱ. وسالب واحد لا بد أن يساوي سالب ثلاثة ناقص ﺹ. بحل المعادلة الأولى، نحصل على ﺱ يساوي سالب ثمانية. وبحل المعادلة الثانية، نحصل على ﺹ يساوي سالب اثنين. إذن، إحداثيات النقطة ﺩ هي سالب ثمانية، سالب اثنين.
في السؤال التالي، سنتناول مثلثًا.
في المثلث ﺃﺏﺟ، تقع ﺩ على القطعة المستقيمة ﺏﺟ، حيث النسبة بين ﺏﺩ وﺩﺟ تساوي اثنين إلى ثلاثة. إذا كان ثلاثة مضروبًا في المتجه ﺃﺏ زائد اثنين مضروبًا في المتجه ﺃﺟ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺃﺩ، فأوجد قيمة ﻙ.
سنبدأ بتناول المثلث ﺃﺏﺟ. نعلم أن النقطة ﺩ تقع على ﺏﺟ، وأن النسبة بين ﺏﺩ إلى ﺩﺟ هي اثنان إلى ثلاثة. هذا يعني أن المتجه ﺏﺩ يساوي خمسي المتجه ﺏﺟ. لننظر الآن إلى المعادلة المعطاة. ثلاثة مضروبًا في المتجه ﺃﺏ زائد اثنين مضروبًا في المتجه ﺃﺟ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺃﺩ. إننا نعلم أن المتجه ﺃﺟ يساوي ﺃﺏ زائد ﺏﺟ. هذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة الطرف الأيمن للمعادلة على الصورة ثلاثة ﺃﺏ زائد اثنين مضروبًا في ﺃﺏ زائد ﺏﺟ. يمكننا توزيع الأقواس لنحصل على اثنين ﺃﺏ زائد اثنين ﺏﺟ. بتجميع الحدين المتشابهين، يصبح لدينا خمسة ﺃﺏ زائد اثنين ﺏﺟ.
لنتناول الآن الطرف الأيسر من المعادلة. المتجه ﺃﺩ يساوي ﺃﺏ زائد ﺏﺩ. إذن، الطرف الأيسر يساوي ﻙ مضروبًا في ﺃﺏ زائد ﺏﺩ. نعرف أن ﺏﺩ يساوي خمسي ﺏﺟ. يمكننا بعد ذلك توزيع الأقواس. هذا يعطينا ﻙ مضروبًا في المتجه ﺃﺏ زائد خمسي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏﺟ. يمكننا الآن مساواة المعاملات. خمسة لا بد أن يساوي ﻙ. واثنان لا بد أن يساوي خمسي ﻙ. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على خمسين، نحصل على ﻙ يساوي خمسة. إذن، قيمة ﻙ، إذا كان ثلاثة مضروبًا في المتجه ﺃﺏ زائد اثنين مضروبًا في المتجه ﺃﺟ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺃﺩ، هي خمسة.
في السؤال التالي، سنلقي نظرة على خصائص مربع.
ﺃﺏﺟﺩ مربع فيه إحداثيات النقاط ﺃ وﺏ وﺟ هي واحد، سالب ثمانية؛ وثلاثة، سالب ١٠؛ وخمسة، سالب ثمانية. استخدم المتجهات لإيجاد إحداثيات النقطة ﺩ ومساحة المربع.
نعلم أن المربع له أربعة أضلاع متساوية في الطول، وأن جميع زواياه هي زوايا قائمة. ونعلم أن المتجهين يكونان متساويين إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه. هذا يعني أن المتجه ﺃﺏ في هذه الحالة يساوي المتجه ﺩﺟ. نعلم أن المتجه ﺃﺏ يساوي المتجه ﺏ ناقص المتجه ﺃ. في هذا السؤال، علينا طرح المتجه واحد، سالب ثمانية من المتجه ثلاثة، سالب ١٠. ثلاثة ناقص واحد يساوي اثنين، وسالب ١٠ ناقص سالب ثمانية يساوي سالب اثنين.
يمكننا تكرار ذلك مع المتجه ﺩﺟ؛ حيث إحداثيات النقطة ﺩ هي ﺱ، ﺹ. علينا طرحﺱ، ﺹ من خمسة، سالب ثمانية. ذلك يعطينا خمسة ناقص ﺱ وسالب ثمانية ناقص ﺹ. بما أن المتجهين ﺃﺏ وﺩﺟ متساويان، يمكننا الآن مساواة المركبتين. اثنان يساوي خمسة ناقص ﺱ، وسالب اثنين يساوي سالب ثمانية ناقص ﺹ. يمكن إعادة ترتيب هاتين المعادلتين بحيث يصبح ﺱ يساوي خمسة ناقص اثنين وﺹ يساوي سالب ثمانية زائد اثنين. خمسة ناقص اثنين يساوي ثلاثة، وسالب ثمانية زائد اثنين يساوي سالب ستة. إذن، إحداثيات النقطة ﺩ هي ثلاثة، سالب ستة.
في الجزء الثاني من هذا السؤال، علينا إيجاد مساحة المربع. لكي نفعل ذلك، علينا إيجاد طول أحد الأضلاع. وهذا هو نفسه مقدار المتجه. مقدار أي متجه ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. إذن، نأخذ الجذر التربيعي لمجموع مربع كل مركبة. في هذا السؤال، مقدار ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد سالب اثنين تربيع. اثنان تربيع وسالب اثنين تربيع كلاهما يساوي أربعة. إذن، مقدار المتجه ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لثمانية. هذا يعني أن طول كل ضلع في المربع يساوي الجذر التربيعي لثمانية.
نعلم أنه لكي نحسب مساحة المربع، نقوم بتربيع طول الضلع، وهو في هذه الحالة، جذر ثمانية تربيع. وبما أن التربيع والجذر التربيعي عمليتان عكسيتان إحداهما للأخرى، فإن مساحة المربع تساوي ثماني وحدات مربعة.
في السؤال الأخير، سنتناول شبه منحرف.
ﺃﺏﺟﺩ شبه منحرف رءوسه ﺃ: أربعة، ١٤؛ وﺏ: أربعة، سالب أربعة؛ وﺟ: سالب ١٢، سالب أربعة؛ وﺩ: سالب ١٢، تسعة. إذا كان المتجه ﺃﺏ يوازي المتجه ﺩﺟ، والمتجه ﺃﺏ عمودي على المتجه ﺟﺏ، فأوجد مساحة شبه المنحرف.
لنفكر فيما أخبرنا به السؤال عن شبه المنحرف. نعلم أن المتجه ﺃﺏ يوازي المتجه ﺩﺟ. ونعلم أيضًا أن المتجه ﺃﺏ عمودي على المتجه ﺟﺏ. وهذا يعني أنهما يلتقيان عند زاوية قائمة. ومن ثم، فإن المتجه ﺩﺟ بدوره يلتقي مع المتجه ﺟﺏ عند زاوية قائمة. نعلم أنه يمكن إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام الصيغة ﺃ زائد ﺏ على اثنين مضروبًا في ﻉ، حيث ﺃ وﺏ هما الضلعان المتوازيان، وﻉ هو الارتفاع العمودي. علينا إيجاد طول الضلعين ﺃﺏ وﺩﺟ والارتفاع العمودي ﺟﺏ.
لحساب طول الضلعين، علينا إيجاد مقدار المتجهين. سنبدأ بحساب مقدار ﺃﺏ. هذا يساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص أربعة تربيع زائد سالب أربعة ناقص ١٤ تربيع. أربعة ناقص أربعة يساوي صفرًا. وسالب أربعة ناقص ١٤ يساوي سالب ١٨. تربيع هذا يعطينا ٣٢٤، ثم نحسب الجذر التربيعي للناتج لنحصل على ١٨. إذن، مقدار المتجه ﺃﺏ يساوي ١٨. يمكننا تكرار هذه العملية لحساب مقدار المتجه ﺩﺟ. هذا يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٢ ناقص سالب ١٢ تربيع زائد سالب أربعة ناقص تسعة تربيع. هذا يعطينا الناتج ١٣.
وبما أن مقدار ﺃﺏ أكبر من مقدار ﺩﺟ، يمكننا أن نرى أن الرسم ليس بمقاييس رسم مضبوطة. ولذا، سيكون منطقيًا أكثر أن نعيد تسميته كما هو موضح. يظل المتجه ﺃﺏ موازيًا للمتجه ﺩﺟ، والمتجه ﺃﺏ عموديًا على المتجه ﺟﺏ. يمكننا الآن إضافة طوليهما على الشكل. علينا الآن حساب مقدار المتجه ﺏﺟ. باستخدام الطريقة نفسها، نلاحظ أنه يساوي ١٦. لدينا الآن طول الضلعين المتوازيين، وكذلك طول الارتفاع العمودي، لشبه المنحرف. إذن، المساحة تساوي ١٣ زائد ١٨ على اثنين مضروبًا في ١٦. ١٣ زائد ١٨ يساوي ٣١. وعند ضرب ٣١ على اثنين في ١٦، نحصل على ٢٤٨. إذن، مساحة شبه المنحرف تساوي ٢٤٨ وحدة مربعة.
والآن، نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الأساسية. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا استخدام العمليات على المتجهات، وخصائص المتجهات لحل مسائل تتضمن أشكالًا هندسية. فنستخدم حقيقة أن المتجهين يكونان متوازيين إذا كانا مضاعفين قياسيين أحدهما للآخر. ومن ثم، فإن المتجه ﺃ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏ. نستخدم أيضًا حقيقة أن المتجهين يكونان عموديين إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. ورأينا أيضًا أنه إذا كان المتجه ﺃ يحتوي على المركبتين ﺱ، ﺹ، فإن مقدار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. واستطعنا من خلال ذلك حل مسائل تتضمن مساحة مربع وشبه منحرف ومستطيل ومثلث.
