فيديو: نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال السادس

نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال السادس

١١:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

أيّ من المنحنيات الآتية محدَّب لأسفل لجميع قيم س اللي بتنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية؟ مُعطى أربع منحنيات؛ منحنى أ: تلاتة ناقص س أُس اتنين. منحنى ب: تلاتة ناقص س أُس تلاتة. منحنى ج: تلاتة ناقص س أُس أربعة. منحنى د: تلاتة زائد س أُس أربعة.

لو افترضنا إن عندنا أيّ دالة، ولتكن الدالة ر س. فمن خلال المشتقَّة الأولى للدالة ر س نقدر نوجد فترات تزايُد وتناقُص الدالة، والقيم القُصوى المحلِّية، والقيم القُصوى المطلَقة. ومن خلال المشتقَّة التانية للدالة ر س نقدر نحدِّد فترات تحدُّب منحنى الدالة ونقاط الانقلاب. فبما إننا عايزين نحدّد أيّ المنحنيات الآتية محدَّب لأسفل، فهنستخدم المشتقَّة التانية للدالة. وهنكون محتاجين ننفِّذ بعض الخطوات، اللي هتكون؛ أول خطوة هي إيجاد المشتقَّة التانية للدالة د س. وتاني خطوة هي حلّ معادلة إن المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. يعني هنوجد قيم س اللي بتجعل المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. تالت خطوة: هندرس إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. فلو كانت المشتقَّة التانية للدالة د س أكبر مِ الصفر فهيكون منحنى الدالة محدَّب لأسفل. ولو كانت المشتقَّة التانية للدالة د س أصغر مِ الصفر فهيكون منحنى الدالة محدَّب لأعلى.

وبتنفيذ الخطوات، فبالنسبة لمنحنى الدالة المعطى في الاختيار أ، اللي هو تلاتة ناقص س أُس اتنين. هنفرض إن الدالة د س هتكون بتساوي تلاتة ناقص س أُس اتنين. فعلشان نقدر نوجد المشتقَّة التانية للدالة د س هنوجد المشتقَّة الأولى للدالة د س. مشتقَّة تلاتة بالنسبة لِـ س هتساوي صفر. ومشتقَّة سالب س أُس اتنين بالنسبة لِـ س هتساوي سالب اتنين س. وهنوجد المشتقَّة التانية للدالة د س. فاشتقاق سالب اتنين س بالنسبة لِـ س هتساوي سالب اتنين. يبقى كده نكون قدرنا نوجد أول خطوة.

بالنسبة لتاني خطوة، محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. يعني محتاجين نوجد قيم س اللي بتجعل المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. هنلاحظ إن المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون بتساوي سالب اتنين لجميع قيم س اللي بتنتمى لمجموعة الأعداد الحقيقية. فبدراسة إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س، هنجد إن المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون سالبة لجميع قيم س. يعني منحنى الدالة هيكون محدَّب لأعلى. وبالتالي بالنسبة للمنحنى المعطى في الاختيار أ. فهيكون عندنا منحنى تلاتة ناقص س أُس اتنين يكون محدَّبًا لأعلى في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية. يعني يكون محدَّبًا لأعلى في ح. وبالتالي المنحنى اللي في الاختيار أ هيكون اختيار مستبعَد.

وبالنسبة للمنحنى اللي في الاختيار ب، اللي بيساوي تلاتة ناقص س أُس تلاتة. فهنفرض إن د س هتساوي تلاتة ناقص س أُس تلاتة. فأول خطوة هنوجد المشتقَّة التانية للدالة د س. فهنوجد الأول المشتقَّة الأولى للدالة د س، واللي هتكون بتساوي … اشتقاق تلاتة بالنسبة لِـ س هيساوي صفر. واشتقاق سالب س أُس تلاتة بالنسبة لِـ س هيساوي سالب تلاتة في س أُس اتنين. وبالنسبة للمشتقَّة التانية للدالة د س، فاشتقاق سالب تلاتة س أُس اتنين بالنسبة لِـ س هيساوي سالب ستة س. يبقى كده قدرنا نوجد المشتقَّة التانية للدالة د س.

تاني خطوة هنحلّ المعادلة إن المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. يعني هنساوي المشتقَّة التانية للدالة د س بصفر. فهيكون عندنا سالب ستة س بيساوي صفر. يعني هنجد إن س هتساوي صفر. وبكده نكون قدرنا ننفِّذ تاني خطوة.

بالنسبة لتالت خطوة، محتاجين ندرس إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. فمن خلال الجدول الآتي، أول صفّ هيكون عندنا قيم س. تاني صفّ هيكون عندنا إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. تالت صفّ هيكون عندنا تحدُّب منحنى الدالة. بالنسبة لقيم س، قدرنا نوجد إن المشتقَّة التانية للدالة د س هتساوي صفر عند س بتساوي صفر. وهيكون عندنا بداية ونهاية الفترة، اللي هي سالب ما لا نهاية وما لا نهاية. وهنلاحظ إن هيكون عندنا فترتين؛ أول فترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، وتاني فترة من صفر لما لا نهاية.

فبالنسبة لأول فترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. عشان نقدر ندرس إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة، هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة. ولتكن مثلًا عند س بتساوي سالب واحد. وهنوجد قيمة المشتقَّة التانية للدالة د س لمَّا س تكون بتساوي سالب واحد. فهتكون بتساوي سالب ستة مضروبة في سالب واحد. يعني هتساوي ستة. فهنلاحظ إن إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر هتكون موجبة. يعني المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون أكبر مِ الصفر. يعني منحنى الدالة هيكون محدَّب لأسفل. يعني هيكون بالشكل ده.

وبالنسبة لتاني فترة من صفر لما لا نهاية، هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة. ولتكن مثلًا عند س بتساوي واحد. وقيمة المشتقَّة التانية للدالة د س لمَّا س تكون بتساوي واحد هتساوي سالب ستة مضروبة في واحد. يعني هتساوي سالب ستة. فإشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة من صفر لما لا نهاية هتكون سالبة. يعني المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون أصغر مِ الصفر. يعني منحنى الدالة هيكون محدَّب لأعلى. يعني هيكون بالشكل ده.

وبالتالي هنلاحظ إن المنحنى تلاتة ناقص س أُس تلاتة يكون محدَّبًا لأسفل في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. ويكون محدَّبًا لأعلى في الفترة المفتوحة من صفر لما لا نهاية. يعني المنحنى اللي في الاختيار ب هيكون أيضًا منحنى مستبعَد.

وبالنسبة للمنحنى اللي في الاختيار ج، فهنفرض إن د س هتساوي تلاتة ناقص س أُس أربعة. وأول خطوة هنوجد المشتقَّة التانية للدالة د س. فهنوجد الأول المشتقَّة الأولى للدالة د س، واللي هتكون بتساوي … اشتقاق تلاتة بالنسبة لِـ س هيساوي صفر. واشتقاق سالب س أُس أربعة بالنسبة لِـ س هيساوي سالب أربعة في س أُس تلاتة. ويبقى المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون بتساوي … اشتقاق سالب أربعة س أُس تلاتة بالنسبة لِـ س هيساوي سالب اتناشر في س أُس اتنين. يبقى كده قدرنا نوجد أول خطوة.

بالنسبة لتاني خطوة، محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقَّة التانية للدالة د س تكون بتساوي صفر. فلما نساوي المشتقَّة التانية للدالة د س بصفر، هيكون عندنا سالب اتناشر في س أُس اتنين بيساوي صفر. يعني هنجد إن س هتساوي صفر. وبكده نكون قدرنا نوجد تاني خطوة.

محتاجين ندرس إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. فمن خلال الجدول الآتي، الصفّ الأول هيكون عندنا قيم س. والصفّ التاني إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. والصفّ التالت تحدُّب منحنى الدالة. قدرنا نوجد إن س هتساوي صفر لمَّا تكون المشتقَّة التانية للدالة د س هتساوي صفر. يعني هيكون عندنا قيم س هي صفر، وبداية ونهاية الفترة، اللي هي سالب ما لا نهاية وما لا نهاية. وبالتالي هيكون عندنا فترتين؛ أول فترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. وتاني فترة من صفر لما لا نهاية.

عشان نقدر نوجد إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة الأولى، اللي هي من سالب ما لا نهاية إلى صفر. هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن عند س بتساوي سالب واحد. وهنوجد قيمة المشتقَّة التانية للدالة د س عند س بتساوي سالب واحد. فهتكون بتساوي سالب اتناشر مضروبة في سالب واحد أُس اتنين. يعني هتساوي سالب اتناشر. يعني إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر هتكون سالبة. وبما إن المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون أصغر مِ الصفر، فمنحنى الدالة هيكون محدَّب لأعلى، يعني هيكون بالشكل ده.

وبالنسبة للفترة من صفر لما لا نهاية، هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن عند س بتساوي واحد. وهنوجد قيمة المشتقَّة التانية للدالة د س عند س بتساوي واحد. فهيكون عندنا سالب اتناشر مضروبة في واحد أُس اتنين. يعني هتساوي سالب اتناشر. فهنلاحظ إن إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون أيضًا سالبة. وبما إن المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون أصغر مِ الصفر، فمنحنى الدالة هيكون محدَّب لأعلى، يعني هيكون بالشكل ده. فهنلاحظ … فهنلاحظ إن منحنى الدالة هيكون محدَّب لأعلى في الفترتين من سالب ما لا نهاية إلى صفر، ومن صفر لما لا نهاية. وبالتالي المنحنى تلاتة ناقص س أُس أربعة يكون محدَّبًا لأعلى في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية. يعني المنحنى هيكون محدَّبًا لأعلى في مجموعة الأعداد الحقيقية ح. المنحنى اللي في الاختيار ج هيكون أيضًا اختيار مستبعَد.

بالنسبة لمنحنى الدالة اللي في الاختيار د، هنفرض إن د س هتساوي تلاتة زائد س أُس أربعة. فأول خطوة هنوجد المشتقَّة التانية للدالة د س. فهنوجد الأول المشتقَّة الأولى للدالة د س. مشتقَّة تلاتة بالنسبة لِـ س هتساوي صفر. ومشتقَّة س أُس أربعة بالنسبة لِـ س هتساوي أربعة في س أُس تلاتة. والمشتقَّة التانية للدالة د س هتكون بتساوي … مشتقَّة أربعة في س أُس تلاتة بالنسبة لِـ س هتساوي اتناشر في س أُس اتنين. يبقى كده قدرنا نوجد أول خطوة.

بالنسبة لتاني خطوة، محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقَّة التانية للدالة د س تكون بتساوي صفر. يعني هيكون عندنا اتناشر في س أُس اتنين هتساوي صفر. يعني هنجد إن س هتكون بتساوي صفر. كده نكون قدرنا نوجد تاني خطوة.

محتاجين ندرس إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. فمن خلال الجدول الآتي أول صفّ هيكون عندنا قيم س. تاني صفّ إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. تالت صفّ تحدُّب منحنى الدالة. بالنسبة لقيم س، قدرنا نوجد إن المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون بتساوي صفر، عند س بتساوي صفر. فهيكون عندنا س بصفر وبداية ونهاية الفترة. يعني سالب ما لا نهاية وما لا نهاية. فهنجد إن عندنا فترتين؛ أول فترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. تاني فترة من صفر لما لا نهاية.

بالنسبة لأول فترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، عشان نقدر نوجد إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س، هنعوَّض بأيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة. مثلًا عند س بتساوي سالب واحد. فالمشتقَّة التانية للدالة د س عند س بتساوي سالب واحد هتكون بتساوي اتناشر مضروبة في سالب واحد أُس اتنين. يعني هتساوي اتناشر. وبالتالي إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر هتكون موجبة. يعني المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون قيمتها أكبر مِ الصفر. يعني منحنى الدالة هيكون محدَّب لأسفل، فهيكون بالشكل ده.

وبالنسبة للفترة من صفر لما لا نهاية، هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن عند س بتساوي واحد. وهنوجد قيمة المشتقَّة التانية للدالة د س عند س بتساوي واحد. فهيكون عندنا اتناشر مضروبة في واحد أُس اتنين. يعني هتساوي اتناشر. فإشارة المشتقَّة التانية في الفترة من صفر لما لا نهاية هتكون أيضًا موجبة.

وبما إن المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون أكبر مِ الصفر، فمنحنى الدالة هيكون محدَّب لأسفل، يعني منحنى الدالة هيكون بالشكل ده. فهنلاحظ إن منحنى الدالة د س هيكون محدَّب لأسفل في الفترتين من سالب ما لا نهاية إلى صفر ومن صفر لما لا نهاية. وبالتالي المنحنى تلاتة زائد س أُس أربعة يكون محدَّبًا لأسفل في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية. يعني المنحنى تلاتة زائد س أُس أربعة يكون محدَّبًا لأسفل في مجموعة الأعداد الحقيقية. وبالتالي المنحنى اللي في الاختيار د هيكون هو الاختيار الصحيح.

يبقى قدرنا نحدِّد أيّ من المنحنيات الآتية محدَّب لأسفل لجميع قيم س اللي بتنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية. وكان هو المنحنى تلاتة زائد س أُس أربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.