نسخة الفيديو النصية
أوجد نهاية سالب خمسة ﺱ ناقص تسعة على سالب اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة حين تقترب ﺱ من ∞.
دعونا نكتب هذه النهاية مجددًا. إننا نبحث عما يحدث للدالة حين تقترب ﺱ من ∞ — أي، عندما تصبح ﺱ أكبر فأكبر دون حدود. ومن الطرق التي يمكن أن نلاحظ بها ما يحدث لهذه الدالة عندما تصبح ﺱ أكبر فأكبر هي أن ننظر إلى التمثيل البياني خاصتها.
وعندما ننظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أنه مع زيادة قيمة ﺱ، تقل قيمة الدالة التي يمثلها المحور ﺹ، وتقترب أكثر فأكثر من الصفر. ويمكن أن نتخيل استمرار هذا النسق بزيادة قيمة ﺱ إلى ∞، بالرغم من أن هذا غير موضح في التمثيل البياني. وبالتالي، يمكن أن نخمن أن قيمة النهاية التي نبحث عنها هي صفر وسوف يكون هذا التخمين صحيحًا. لكن هذه الطريقة تعتمد على أن يكون لدينا كمبيوتر أو حاسبة تخطيطية، كما تعتمد أيضًا على أن يكون التمثيل البياني الذي يتم إعداده بمساعدة الكمبيوتر أو الحاسبة التخطيطية دقيقًا ويمكن تفسيره بدقة.
وعلاوة على هذا، فإن هذه الطريقة لا تخبرنا بالسبب في كون هذه النهاية تساوي صفرًا أو تمدنا بأي أفكار عن النهايات بصفة عامة. ولهذا، نحتاج إلى استخدام طريقة جبرية. والطريقة الجبرية التي يمكننا بها معرفة قيمة هذه النهاية تتمثل في قسمة كل من البسط والمقام على أكبر حدود ﺱ الموجودة لدينا.
وأكبر حدود ﺱ في هذه الحالة هو ﺱ تربيع. فلنقسم إذن كلًّا من البسط والمقام على ﺱ تربيع. وبعد هذا، نستطيع التبسيط. فعلى سبيل المثال، في البسط، نفصل سالب خمسة ناقص تسعة على ﺱ تربيع إلى عملية طرح بين كسرين. بعد هذا، نلاحظ أنه يمكننا تبسيط الكسر الأول من خلال استخدام ﺱ كعامل مشترك لكل من البسط والمقام. وبهذا نحصل على ما نراه أمامنا هنا. ونفعل شيئًا مماثلًا في المقام أيضًا.
بعد ذلك، يمكننا تطبيق أحد قوانين النهايات، والذي ينص على أن نهاية خارج قسمة الدوال هو خارج قسمة نهايات الدوال، طالما أن نهاية المقام لا تساوي صفرًا. والآن لدينا نهايتان: واحدة في البسط وأخرى في المقام. والآن، ربما تستطيع تخمين ماهية هاتين النهايتين.
ولكن لكي نقنع أي متشكك، فربما نحتاج إلى استخدام المزيد من قوانين النهايات، مثل القانون الذي يوضح أن نهاية مجموع الدوال تساوي مجموع نهايات الدوال. وينطبق الأمر نفسه على طرح الدوال. والآن، لدينا أربع نهايات يتعين علينا إيجاد قيمتها. إحداها هي نهاية دالة ثابتة مع اقتراب ﺱ من ∞. ونهاية دالة ثابتة مثل سالب اثنين هي هذا الثابت فحسب. لذا، في هذه الحالة، النهاية تساوي سالب اثنين. أما النهايات الثلاث الأخرى، فهي تتخذ الصيغة نهاية ﺟ على ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ حين تقترب ﺱ من ∞.
ونحن نعرف من قانون آخر من قوانين النهايات أن نهاية الدالة المضروبة في عدد ثابت حين تقترب ﺱ من قيمة معينة تساوي هذا العدد الثابت مضروبًا في نهاية الدالة. وهذه النهاية، نهاية واحد على ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ، حيث يكون ﻥ أي عدد صحيح، حين تقترب ﺱ من ∞، يمكننا ربطها بنهاية مقلوب الدالة من خلال استخدام قانون آخر من قوانين النهايات، وهو أن نهاية الدالة المرفوعة لقوة ما هو رفع نهاية الدالة إلى نفس القوة. والآن، فكل ما علينا إيجاده هو نهاية واحد على ﺱ، أي مقلوب الدالة، حين تقترب ﺱ من ∞.
ويمكن أن ننظر إلى أن قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا باعتبارها قانونًا آخر من قوانين النهايات. ولذا، فإن نهاية أي دالة بالصيغة ﺟ على ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ حين تقترب ﺱ من ∞ تساوي ﺟ في صفر مرفوعًا للقوة ﻥ وهو ما يساوي صفرًا. وهكذا، نكون قد انتهينا من إيجاد قيمة النهايات الأربع من خلال هذا السطر الأخير؛ فقد أوجدنا قيمة واحدة قبل ذلك، والثلاث الأخرى موجودة في الصيغة التي ناقشناها، لذلك، فهي تساوي صفرًا. وأخيرًا، فعند حساب هذا المقدار، نجد أن النهاية التي نبحث عنها تساوي صفرًا.
يمكنك أن تقول بالطبع إنك تستطيع معرفة هذا مباشرة من خلال التمثيل البياني للدالة. لكن هل كنت ستتمكن من إقناع أحد المتشككين بأن ٠٫٠٠٠٠١، أو أن الدالة لم تبدأ في الزيادة مجددًا فيما يتعلق بقيم ﺱ التي تتجاوز القيم الموضحة على التمثيل البياني؟ فمن خلال الطريقة الجبرية، وطالما أن المتشكك يقبل بجميع قوانين النهايات التي استخدمناها، وطالما نستطيع إثبات هذه القوانين، يمكن أن نتفق على أن قيمة النهاية التي نبحث عنها هي صفر.
وكذلك، ليس من الصعب أن نرى أن الخطوات التي اتبعناها تنطبق على أي دالة كسرية تكون فيها درجة البسط أقل من درجة المقام. لذا، في أي دالة كسرية تكون فيها درجة البسط أقل من درجة المقام، فإن نهاية الدالة حين تقترب ﺱ من ∞ تساوي صفرًا. وكان من الصعب للغاية الوصول إلى هذا الاستنتاج من مجرد النظر إلى التمثيل البياني الذي يصف الدالة الكسرية الوحيدة الموضحة في المثال.
