نسخة الفيديو النصية
تتدحرج كرة ثلج على منحدر جليدي، وكلما التصق المزيد من الجليد بكرة الثلج، ازدادت كتلتها. يوضح التمثيل البياني كيف يتغير كل من كتلة كرة الثلج وسرعتها. ما مقدار الزيادة في كمية حركة كرة الثلج عندما تغيرت سرعتها من خمسة أمتار لكل ثانية إلى 10 أمتار لكل ثانية؟ ما مقدار الزيادة في كمية حركة كرة الثلج عندما تغيرت سرعتها من خمسة أمتار لكل ثانية إلى 10 أمتار لكل ثانية؛ إذا لم يلتصق بها جليد عند تدحرجها؟
يدور هذا السؤال حول كرة ثلج تتدحرج على منحدر جليدي. وعلمنا من المعطيات أن كرة الثلج هذه تلتصق بالمزيد والمزيد من الجليد أثناء تدحرجها، ومن ثم تزداد كتلتها. لدينا هنا تمثيل بياني لسرعة كرة الثلج وكتلتها أثناء تدحرجها على المنحدر. ويمكننا أن نلاحظ من هذا التمثيل البياني أنه كلما زادت سرعة كرة الثلج، زادت كتلتها أيضًا. إذن، ما يحدث هنا هو أن سرعة كرة الثلج تزداد أكثر فأكثر أثناء تدحرجها على المنحدر. ونعرف أن كتلتها تزداد أيضًا بسبب التصاق المزيد من الجليد بها أثناء تدحرجها.
بوضع ذلك في الاعتبار، دعونا نتناول الجزء الأول من السؤال. ما مقدار الزيادة في كمية حركة كرة الثلج عندما تغيرت سرعتها من خمسة أمتار لكل ثانية إلى 10 أمتار لكل ثانية؟ للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكر أن كمية حركة الجسم، التي أسميناها 𝑃، تساوي كتلة الجسم 𝑚 مضروبة في سرعته 𝑣. مطلوب منا إيجاد الزيادة في كمية حركة كرة الثلج بين نقطتين. النقطة الأولى هي النقطة التي تكون عندها سرعة الكرة خمسة أمتار لكل ثانية، وسنشير إلى هذه السرعة بالحرف السفلي 𝑖؛ حيث يمثل هذا السرعة الابتدائية لكرة الثلج.
النقطة الثانية هي النقطة التي تكون سرعة الكرة عندها تساوي 10 أمتار لكل ثانية. وسنشير إلى هذه السرعة بالحرف السفلي 𝑓؛ حيث يمثل هذا السرعة النهائية لكرة الثلج خلال الفترة الزمنية المحددة في السؤال. التغير في كمية حركة كرة الثلج بين هاتين النقطتين، الذي أسميناه Δ𝑃، يساوي كمية الحركة النهائية 𝑃𝑓، أي كمية حركة كرة الثلج عندما تكون سرعتها 𝑣𝑓، ناقص كمية الحركة الابتدائية 𝑃𝑖، أي كمية حركة كرة الثلج عندما تكون سرعتها 𝑣𝑖. إذن، ما علينا فعله هو إيجاد قيمة كل من 𝑃𝑓 و𝑃𝑖 لكي نتمكن من استخدام هاتين القيمتين لحساب التغير في كمية الحركة Δ𝑃.
بما أن كمية الحركة تساوي الكتلة مضروبة في السرعة، فعلينا إيجاد كتلة كرة الثلج عند قيمتي السرعة هاتين. ويمكننا إيجاد هاتين القيمتين باستخدام التمثيل البياني المعطى. عندما تكون السرعة 𝑣𝑖 تساوي خمسة أمتار لكل ثانية، نتجه لأعلى من القيمة خمسة أمتار لكل ثانية على محور السرعة، وبذلك نجد أن كتلة كرة الثلج عند هذه السرعة تساوي كيلوجرامين. وسنسمي هذه الكتلة 𝑚𝑖. بعد ذلك، سنفعل الشيء نفسه مع السرعة 𝑣𝑓، التي تساوي 10 أمتار لكل ثانية. سنتجه لأعلى على محور السرعة من القيمة 10 أمتار لكل ثانية ثم نتحرك إلى اليسار حتى نصل إلى محور الكتلة الرأسي، وعليه، نجد أنه عند السرعة التي تساوي 10 أمتار لكل ثانية، تكون كتلة كرة الثلج 3.5 كيلوجرامات. وسنسمي ذلك 𝑚𝑓.
نحن الآن مستعدون لحساب كمية الحركة الابتدائية وكمية الحركة النهائية لكرة الثلج. لحساب كمية الحركة الابتدائية 𝑃𝑖، علينا التعويض بقيمتي السرعة الابتدائية 𝑣𝑖 والكتلة الابتدائية 𝑚𝑖 في هذه المعادلة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن 𝑃𝑖 يساوي كيلوجرامين مضروبًا في خمسة أمتار لكل ثانية، وهو ما يساوي 10 كيلوجرام-متر لكل ثانية. للحصول على قيمة كمية الحركة النهائية 𝑃𝑓، سنستخدم قيمتي السرعة النهائية 𝑣𝑓 والكتلة النهائية 𝑚𝑓. بهذا، 𝑃𝑓 يساوي 3.5 كيلوجرامات مضروبة في 10 أمتار لكل ثانية. وهو ما يعطينا 35 كيلوجرام متر لكل ثانية.
يمكننا الآن التعويض بقيمتي كمية الحركة النهائية 𝑃𝑓 وكمية الحركة الابتدائية 𝑃𝑖 في هذه المعادلة لحساب التغير في كمية حركة كرة الثلج Δ𝑃. دعونا نفرغ بعض المساحة للقيام بذلك. عندما نعوض بقيمتي 𝑃𝑖 و𝑃𝑓 في هذه المعادلة، نجد أن التغير في كمية الحركة Δ𝑃 يساوي كمية الحركة النهائية التي تساوي 35 كيلوجرام متر لكل ثانية ناقص كمية الحركة الابتدائية التي تساوي 10 كيلوجرام-متر لكل ثانية. وهذا يساوي 25 كيلوجرام-متر لكل ثانية. وبما أن قيمة التغير في كمية حركة كرة الثلج موجبة، فهذا يعني أن كمية الحركة قد زادت.
إذا فكرنا في تعريف كمية الحركة على أنها الكتلة مضروبة في السرعة، فسنجد أن هذا منطقي؛ لأننا نلاحظ أنه كلما تدحرجت الكرة أسفل المنحدر، زادت سرعتها وكتلتها. ولذلك، فإن إجابة الجزء الأول من السؤال هي أن كمية حركة كرة الثلج تزداد بمقدار 25 كيلوجرام متر لكل ثانية.
والآن، دعونا نفرغ بعض المساحة لنتمكن من الإجابة عن الجزء الثاني من السؤال.
ما مقدار الزيادة في كمية حركة كرة الثلج عندما تغيرت سرعتها من خمسة أمتار لكل ثانية إلى 10 أمتار لكل ثانية؛ إذا لم يلتصق بها جليد عند تدحرجها؟
يخبرنا النص الرئيسي للسؤال أنه بسبب التصاق المزيد من الجليد بكرة الثلج أثناء تدحرجها، فإن كتلتها تزداد. في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا التفكير في الحالة التي لا يلتصق فيها الجليد بكرة الثلج أثناء تدحرجها. ما يعني أن كتلة كرة الثلج لن تتغير.
نعلم من التمثيل البياني أنه عند السرعة التي تساوي خمسة أمتار لكل ثانية، فإن كتلة كرة الثلج تساوي كيلوجرامين. وإذا لم تزدد كتلة كرة الثلج أثناء تدحرجها، فإنه بدلًا من الخط الأزرق الموضح على التمثيل البياني، سيكون لدينا هذا الخط البرتقالي الذي يوضح أنه كلما زادت السرعة، تظل الكتلة ثابتة عند كيلوجرامين. إذن، كما فعلنا في الجزء الأول من السؤال، ستكون المعادلتان اللتان سنحتاج إليهما هما المعادلة حيث كمية الحركة تساوي الكتلة مضروبة في السرعة، والمعادلة حيث التغير في كمية الحركة Δ𝑃 يساوي كمية الحركة النهائية 𝑃𝑓 ناقص كمية الحركة الابتدائية 𝑃𝑖. ومثلما فعلنا في السؤال السابق، سنتناول السرعة الابتدائية 𝑣𝑖 التي تساوي خمسة أمتار لكل ثانية، والسرعة النهائية 𝑣𝑓 التي تساوي 10 أمتار لكل ثانية.
لكن، هذه المرة لدينا قيمة واحدة فقط للكتلة، التي أسميناها 𝑚، لأننا نعلم أن كتلة كرة الثلج تظل ثابتة عند كيلوجرامين. كمية الحركة الابتدائية لكرة الثلج 𝑃𝑖 تساوي الكتلة 𝑚 مضروبة في السرعة الابتدائية 𝑣𝑖. وبالتعويض بقيمتي 𝑚 و𝑣𝑖، نجد أن 𝑃𝑖 يساوي كيلوجرامين مضروبًا في خمسة أمتار لكل ثانية، وهو ما يساوي 10 كيلوجرام متر لكل ثانية. وبالمثل، فإن كمية الحركة النهائية 𝑃𝑓 تساوي الكتلة 𝑚 مضروبة في السرعة النهائية 𝑣𝑓. لذا، نعوض بقيمتي 𝑚 و𝑣𝑓 لنجد أن 𝑃𝑓 يساوي كيلوجرامين مضروبًا في 10 أمتار لكل ثانية، وهو ما يعطينا 20 كيلوجرام متر لكل ثانية.
دعونا نفرغ بعض المساحة لننتقل إلى الخطوة التالية ونعوض بقيمتي كمية الحركة الابتدائية وكمية الحركة النهائية في هذه المعادلة. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة، نجد أن التغير في كمية حركة كرة الثلج Δ𝑃 يساوي كمية حركتها النهائية، أي 20 كيلوجرام متر لكل ثانية، ناقص كمية حركتها الابتدائية، أي 10 كيلوجرام متر لكل ثانية. وهذا يساوي تغيرًا مقداره 10 كيلوجرامات لكل ثانية. مرة أخرى، بما أن هذه القيمة موجبة، فإنها تمثل زيادة في كمية الحركة. إذن، إجابة الجزء الثاني من السؤال هي أنه إذا لم يلتصق الجليد بكرة الثلج عند تدحرجها، فإن كمية حركتها ستزداد بمقدار 10 كيلوجرام متر لكل ثانية.
