فيديو الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: إيجاد طول ضلع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طول ضلع ناقصًا في مثلث قائم الزاوية من خلال اختيار النسبة المثلثية المناسبة لزاوية معطاة. فما هذه النسب المثلثية؟

عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام النسب المثلثية ليساعدنا على تذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث؛ وهي: الجيب، وجيب التمام، والظل. نحن نقول إن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

ولكن لتطبيق هذه النسب بشكل صحيح، علينا تسمية أضلاع المثلث بشكل صحيح أيضًا. وهذا يعني أننا سنراعي دائمًا الزاوية التي نستخدمها. لدينا هنا الزاوية 𝜃. الضلع المقابل هو الضلع الذي يقابل الزاوية المعنية مباشرة. والضلع المجاور هو الضلع الذي يقع بين الزاوية 𝜃 والزاوية القائمة. أما الوتر فهو دائمًا أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية. ويكون مقابلًا للزاوية القائمة مباشرة.

عندما نتذكر النسب المثلثية ونتمكن من تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية بشكل صحيح، فإننا نكون حينها مستعدين لبدء التفكير في كيفية حساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث القائم الزاوية. دعونا نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد طول ضلع ناقص.

أوجد قيمة ﺱ في الشكل المعطى. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

نلاحظ أولًا أن هذا مثلث قائم الزاوية. ونعرف قياس زاوية وطول ضلع فيه. يعني هذا أنه لكي نحل المسألة، علينا استخدام النسب المثلثية. نتذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث. وهو يوضح أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. تكون نقطة البداية دائمًا هي الزاوية المعطاة. علمنا من المعطيات أن قياسها ٦٨ درجة. ومن ثم، يمكننا أن نشير إلى طول الضلع المقابل بالحرف ﺱ، والضلع المجاور هو الضلع الذي طوله ١١، أما الوتر فيكون دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة.

بمجرد توضيح أطوال هذه الأضلاع، نلاحظ أن لدينا طول الضلع المجاور. ونريد إيجاد طول الضلع المقابل. وبما أننا نتعامل مع الضلع المقابل والضلع المجاور، فسنستخدم نسبة الظل. بما أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فإننا نعوض عن الزاوية بقياسها، وهو ٦٨ درجة. الضلع المقابل هو الضلع الذي نحاول إيجاد طوله؛ أي ﺱ. وطول الضلع المجاور يساوي ١١.

للحل لإيجاد قيمة ﺱ، علينا عزله ليكون في طرف بمفرده. ويمكننا إجراء ذلك بضرب طرفي هذه المعادلة في ١١. ‏١١ في ظا ٦٨ درجة يساوي طول الضلع ﺱ. ولإيجاد الحل، علينا استخدام الآلة الحاسبة. نكتب ١١ في ظا ٦٨، وهذا يعطينا الناتج ٢٧٫٢٢٥٩٥ وهكذا مع توالي الأرقام. وإذا لم تحصل على هذا الناتج في الآلة الحاسبة، فيجب التأكد من ضبطها على وضع الدرجات لا وضع الراديان.

إذن، طول الضلع الناقص ﺱ هو ٢٧٫٢٢٥٩٥. نريد تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. وللتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، ننظر إلى اليمين. بما أن لدينا خمسة في الخانة العشرية الثالثة، فإنه علينا التقريب لأعلى. سنجد أن ﺱ يساوي ٢٧٫٢٣. ونظرًا لأن السؤال لم يعطنا أي وحدات، فلا بأس من ترك الإجابة على هذه الصورة. إذن، ﺱ يساوي ٢٧٫٢٣.

لنتناول مثالًا آخر. لكن هذه المرة لدينا طولا ضلعين ناقصان. وعلينا إيجاد طولي هذين الضلعين الناقصين.

أوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نلاحظ أن هذا مثلث قائم الزاوية. ولدينا في المعطيات قياس زاوية وطول ضلع فيه، وهو ما يعني أنه يمكننا استخدام النسب المثلثية لإيجاد طولي الضلعين الناقصين. نتذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث الذي يوضح أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. مفتاح الحل هنا هو تسمية أضلاع هذا المثلث بشكل صحيح. ولإجراء ذلك، سنستخدم الزاوية المعطاة باعتبارها نقطة البداية.

سنسمي أطوال الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعطاة. ‏‏‏ﺹ هو طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٤٠ درجة. وﺱ هو طول الضلع المجاور للزاوية التي قياسها ٤٠ درجة. ويكون الوتر دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة.

لنحاول أولًا الحل لإيجاد قيمة ﺹ. إذا كنا نريد الحل لإيجاد قيمة ﺹ، ونعرف طول الوتر، فسنستخدم نسبة الجيب؛ لأن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. هذا يعني أنه يمكننا القول إن جا ٤٠ درجة يساوي ﺹ على ١٤. بما أن هدفنا هو الحل لإيجاد قيمة ﺹ، فسنضرب كلا الطرفين في ١٤. وعندئذ، سنجد أن ١٤ في جا ٤٠ درجة يساوي ﺹ. عند كتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٨٫٩٩٩٠٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وإذا لم تحصل على هذا الناتج في الآلة الحاسبة، فيجب التأكد من ضبطها على وضع الدرجات لا وضع الراديان.

نريد تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. لذا، ننظر إلى الخانة العشرية الرابعة؛ حيث يوجد صفر. وهذا يعني أننا سنقرب لأسفل. ومن ثم، فإن ﺹ يساوي ٨٫٩٩٩. وحدة القياس هي السنتيمتر. إذن، يمكننا القول إن ﺹ يساوي ٨٫٩٩٩ سنتيمترات.

بعد ذلك، علينا الحل لإيجاد قيمة ﺱ. يمكننا الحل لإيجاد قيمة ﺱ باستخدام نسبتين مختلفتين. يمكننا استخدام طول كل من الضلع المجاور والوتر، وهو ما يتوافق مع نسبة جيب التمام. ويمكننا بدلًا من ذلك استخدام قيمة ﺹ التي أوجدناها، وهو ما يمثل طول الضلع المقابل. يعني هذا أننا سنستخدم نسبة الظل؛ لأنه سيكون لدينا طول كل من الضلع المقابل والضلع المجاور. لنستخدم هنا الوتر لأنه سيوفر علينا إجراء بعض الخطوات.

نحن نتعامل مع نسبة جيب التمام. لدينا جتا ٤٠ درجة يساوي ﺱ على ١٤. سنضرب كلا الطرفين في ١٤. ‏١٤ في جتا ٤٠ درجة يساوي ﺱ. إذن، ﺱ يساوي ١٠٫٧٢٤٦٢ وهكذا مع توالي الأرقام. التقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية يعني أننا سنقرب لأعلى ليصبح الناتج ١٠٫٧٢٥. مرة أخرى، وحدة القياس هنا هي السنتيمتر. إذن، يمكننا القول إن ﺱ يساوي ١٠٫٧٢٥ سنتيمترات، وﺹ يساوي ٨٫٩٩٩ سنتيمترات، وذلك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نلاحظ أننا في هاتين المسألتين كنا نتعامل مع أطوال الأضلاع الناقصة باعتبارها بسوط الكسر في النسبة. لنتناول الآن مثالًا لدينا فيه طول ضلع في مقام هذه النسبة.

أوجد قيمتي ﺱ وﺹ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

لدينا مثلث قائم الزاوية. ولدينا قياس زاوية وطول ضلع فيه، ومطلوب منا إيجاد طولي الضلعين الناقصين. لإجراء ذلك، علينا استخدام النسب المثلثية. ولكي نتذكر هذه النسب، سنستخدم تذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث. ‏جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. مفتاح حل هذه المسائل دائمًا هو تسمية أضلاع المثلث بشكل صحيح. وسنسميها بالنسبة إلى الزاوية المعطاة. هذه هي نقطة البداية. طول الضلع المقابل هو طول الضلع الذي يقابل هذه الزاوية مباشرة. والضلع المجاور هو الضلع الذي يقع بين هذه الزاوية والزاوية القائمة. ويكون الوتر دائمًا مقابلًا للزاوية القائمة.

بمجرد توضيح أطوال أضلاع المثلث، نكون مستعدين لتحديد النسب التي علينا استخدامها. إذا بدأنا بإيجاد طول الضلع ﺹ، أي طول الوتر، وكنا نعرف بالفعل طول الضلع المقابل، وهو ٢٨ سنتيمترًا، فعلينا استخدام نسبة الجيب؛ لأنها تتضمن طول الضلع المقابل وطول الوتر. وستبدو النسبة كما هو موضح. ‏جا ٤٧ درجة يساوي ٢٨ على ﺹ. وعندما يكون المتغير في المقام، فسيتطلب الأمر إجراء خطوتين لإيجاد قيمته.

نضرب أولًا طرفي المعادلة في ﺹ. وعندئذ، نحصل على: ﺹ في جا ٤٧ درجة يساوي ٢٨. إذا كان الهدف هو عزل ﺹ ليكون في طرف بمفرده، فعلينا في هذه المرحلة قسمة طرفي المعادلة على جا ٤٧ درجة. ومن ثم، سيكون لدينا في الطرف الأيمن ﺹ فقط، أما في الطرف الأيسر، فسيكون لدينا ٢٨ على جا ٤٧ درجة.

عند كتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٨٫٢٨٥١٦ وهكذا مع توالي الأرقام. علينا تقريب الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن، نقرب هذه القيمة لأسفل لتصبح ٣٨٫٢٨٥. تقاس أطوال الأضلاع بالسنتيمتر، لذا فإن وحدة القياس هنا هي السنتيمتر. يعني هذا أننا قد أوجدنا أحد طولي الضلعين الناقصين.

لإيجاد طول الضلع ﺱ، سيكون أمامنا خياران. يمكننا استخدام طول الوتر الذي أوجدناه للتو، وهو ٣٨٫٢٨٥. وإذا فعلنا ذلك، فسيكون علينا أن نتعامل مع الضلع المجاور والوتر، وهو ما يتوافق مع نسبة جيب التمام. بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام الضلع الذي طوله ٢٨ سنتيمترًا. وفي هذه الحالة، سنستخدم طول كل من الضلع المقابل والضلع المجاور، وسنحتاج إلى نسبة الظل.

دعونا نتدرب هنا على وجود المتغير ﺱ في المقام. ‏ظا ٤٧ درجة يساوي ٢٨ على ﺱ. وللحل لإيجاد قيمة ﺱ، علينا أولًا ضرب طرفي المعادلة في ﺱ. إذن، يمكننا القول إن ﺱ في ظا ٤٧ درجة يساوي ٢٨. ولكي نعزل ﺱ، فإننا نقسم طرفي المعادلة على ظا ٤٧ درجة. وبذلك، نقول إن ﺱ يساوي ٢٨ على ظا ٤٧ درجة، وهو ما يعطينا ٢٦٫١١٠٤٢ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نجد أن ﺱ يساوي ٢٦٫١١٠. وحدة القياس هنا هي السنتيمتر. وبذلك، نكون قد أوجدنا طولي الضلعين الناقصين. بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نجد أن ﺱ يساوي ٢٦٫١١٠ سنتيمترًا، وﺹ يساوي ٣٨٫٢٨٥ سنتيمترًا.

دعونا نتناول مثالًا أخيرًا ليس لدينا فيه شكل توضيحي.

أوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ، إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا قائم الزاوية عند ﺏ؛ حيث جا ﺟ يساوي تسعة على ١٦ وﺃﺏ يساوي ١٨ سنتيمترًا.

في هذه الحالة، يجب أن تكون الخطوة الأولى هي رسم مثلث قائم الزاوية يستوفي هذه الشروط. لدينا مثلث قائم الزاوية. والزاوية القائمة هي ﺏ، لذلك سنسمي الزاوية القائمة ﺏ. بعد ذلك، نضيف الزاويتين ﺃ وﺟ. علمنا من السؤال أن طول ﺃﺏ يساوي ١٨ سنتيمترًا. كما أن لدينا معلومة أخرى تفيد بأن جا ﺟ يساوي تسعة على ١٦. وهذا يوضح لنا أن الزاوية التي سنتعامل معها هي الزاوية ﺟ. وإذا فكرنا في تعريفات النسب المثلثية الثلاث، فسنجد أننا نعلم أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر.

إذا كانت الزاوية لدينا هي ﺟ، فإن الضلع المقابل سيكون هو الضلع ﺃﺏ، ويكون الوتر دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة. وهو الضلع ﺃﺟ. وهذه النسبة تساوي تسعة على ١٦. الأمر الأساسي الذي علينا تذكره هنا هو أن هذه العلاقات عبارة عن نسب. وبذلك، فإن جا ﺟ يوضح لنا أنه مقابل كل تسع وحدات من طول الضلع المقابل، ستكون هناك ١٦ وحدة من طول الوتر.

إذن، يمكننا القول إنه إذا كان طول الضلع المقابل يساوي ١٨ سنتيمترًا، فإننا نعلم أن تسعة في اثنين يساوي ١٨. وعند التعامل مع النسب أو الكسور، إذا ضربنا البسط في اثنين، فعلينا أن نضرب المقام في اثنين أيضًا. ‏١٦ في اثنين يساوي ٣٢. وبذلك، يمكننا القول إنه إذا كان طول الضلع المقابل يساوي ١٨، فإن طول الوتر لا بد من أن يساوي ٣٢. إذن، القطعة المستقيمة ﺃﺟ هي الوتر، وطولها يساوي ٣٢ سنتيمترًا.

دعونا نلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية، ونريد إيجاد طول أحد الأضلاع، فعلينا تذكر النسب المثلثية الثلاث، ثم اتباع الخطوات الآتية. أولًا، علينا تسمية أضلاع المثلث بالضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر بالنسبة إلى الزاوية المعلومة. ثانيًا، علينا اختيار النسبة المثلثية الصحيحة التي تربط بين طول الضلع المعلوم وطول الضلع المجهول باستخدام تعريفات النسب المثلثية الثلاث. وأخيرًا، علينا التعويض بالقيم ثم حل المعادلة.