فيديو الدرس: ضرب وحيدات الحد في كثيرات الحدود

نسخة الفيديو النصية

ضرب وحيدات الحد في كثيرات الحدود. نلاحظ هنا أن لدينا وحيدة حد؛ لأن لدينا العدد ثلاثة. وهذه وحيدة حد، لأنها تتكون من حد واحد. ونضربها في كثيرة حدود داخل قوس، التي هي مكونة من أكثر من حد. سنستخدم في هذه المسألة خاصية التوزيع، حيث ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ يساوي ‪𝑎𝑏‬‏ زائد ‪𝑎𝑐‬‏. ويعني ذلك أننا سنضرب ثلاثة أو ‪𝑎‬‏ في الحد الأول. إذن، في هذه المسألة، نضرب ثلاثة في اثنين ‪𝑥‬‏. ثم نضيف إلى ذلك ثلاثة مضروبًا في الحد الثاني. ثلاثة مضروبًا في سالب سبعة. والآن نبسط. نعلم أن ثلاثة في اثنين يساوي ستة، ثم نضع ‪𝑥‬‏؛ لأن لدينا ‪𝑥‬‏ أيضًا. إذن، ستة ‪𝑥‬‏، ثم ثلاثة مضروبًا في سالب سبعة يساوي سالب ‪21‬‏. الحل بسيط؛ كل ما فعلناه هو أننا ضربنا وحيدة الحد في الحد الأول داخل القوس، ثم أضفنا حاصل ضرب وحيدة الحد في الحد الثاني داخل القوس.

لنلق نظرة على مثال آخر. نلاحظ هنا أن لدينا بعض الاختلافات. بداية، وحيدة الحد خارج القوس لا تتكون من عدد ثابت وحسب. بل إن بها متغيرًا وكذلك إشارة سالب. ثم نلاحظ أن لدينا داخل القوس ثلاثة حدود. لا يشكل هذا فرقًا في الحقيقة؛ لأننا سنستخدم الطريقة نفسها بالضبط في فك القوس. سنستخدم خاصية التوزيع. أول ما نبدأ به هو أن نضرب وحيدة الحد في الحد الأول. ثم نضيف إلى ذلك وحيدة الحد سالب خمسة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في الحد الثاني. ولكن انتبه! في الحد الثاني لا تنس إشارة السالب قبل العدد اثنين، لأننا دائمًا نستخدم الإشارة الخاصة بالحد. بذلك، يصبح لدينا هنا سالب خمسة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في سالب اثنين ‪𝑥‬‏. ثم علينا أن نضرب في الحد الأخير، فيصبح لدينا سالب خمسة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في سالب ثمانية.

فلنحاول أن نبسط. لدينا سالب خمسة. ونضربه في ثلاثة. وبذلك نحصل على سالب ‪15‬‏، ونعلم أن ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏. إذن، نحصل على سالب ‪15𝑥‬‏ أس ثلاثة أو ‪𝑥‬‏ تكعيب. ننظر بعد ذلك إلى إشارات الحد التالي. لدينا إشارتا سالب مضروبتان معًا. ستلغي كل منهما الأخرى. وبذلك، يصبح لدينا إشارة موجب. لدينا الآن خمسة في اثنين، وهو ما يساوي ‪10‬‏، ثم ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏، وهو ما يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع. إذن، نضيف ‪10𝑥‬‏ تربيع.

فلننظر مرة أخرى إلى الإشارات. أولًا، لدينا سالب مضروبًا في سالب، ما يعطينا موجبًا. ثم خمسة مضروبًا في ثمانية، يساوي ‪40‬‏. وبعد ذلك، لدينا ‪𝑥‬‏، ومن ثم نضيف ‪40𝑥‬‏. ها قد انتهينا. انتهينا من ضرب القوسين. ضربنا وحيدة الحد هذه في كثيرة الحدود تلك. في المثال التالي، لدينا مسألة لا تحتوي على ‪𝑥‬‏ فقط، بل على ‪𝑦‬‏ أيضًا.

لدينا خمسة ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ثلاثة ‪𝑦‬‏ زائد اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑥𝑦‬‏. مرة أخرى، نلاحظ أن لدينا هنا المتغيرين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، وقد يكون لدينا أي متغيرات أخرى. في جميع الأحوال، سنكرر ما فعلناه بالضبط. نضرب الحد الأول في وحيدة الحد. إذن، خمسة ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ثلاثة ‪𝑦‬‏. ثم نضيف إلى ذلك حاصل ضرب وحيدة الحد في الحد الثاني: خمسة ‪𝑥‬‏ تربيع في اثنين ‪𝑥‬‏. ثم خمسة ‪𝑥‬‏ تربيع في ‪𝑥𝑦‬‏.

وسنتعامل مع الحدود بالترتيب كل على حدة. نتعامل مع الأعداد أولًا. لدينا خمسة مضروبًا في ثلاثة. نعلم أن ذلك يساوي ‪15‬‏. ثم ‪𝑥‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝑦‬‏، إذن ‪15𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. ثم الحد التالي: لدينا خمسة مضروبًا في اثنين، ونعلم أنه يساوي ‪10‬‏. وبالنظر إلى المتغير ‪𝑥‬‏، نجد أن لدينا ‪𝑥‬‏ تربيع، أي ‪𝑥‬‏ في ‪𝑥‬‏، ثم نضرب مرة أخرى في ‪𝑥‬‏. فنحصل على ‪10𝑥‬‏ تكعيب أو ‪10𝑥‬‏ أس ثلاثة. ثم الحد الأخير: لدينا خمسة فقط، لأنه خمسة في واحد. وبالنظر إلى قوى ‪𝑥‬‏، نجد لدينا خمسة ‪𝑥‬‏ أس ثلاثة، ثم ‪𝑦‬‏. إذن، ها نحن أولاء. انتهينا من هذه أيضًا. كل ما فعلناه أننا ضربنا وحيدة الحد في الحدود بالترتيب كل على حدة. فلننتقل إلى المثال الأخير.

قبل أن نشرع في حل هذه المسألة، أريدكم أن تلقوا نظرة وأن تفكروا ما الخطوة الأولى لضرب وحيدة الحد هذه. وآمل ألا تكونوا قد فكرتم في اثنين زائد ثلاثة، لأننا لن نجمع اثنين زائد ثلاثة ثم نضرب الناتج في القوس. بل إن ما لدينا هو اثنان، ثم زائد ثلاثة مضروبًا في كل ما يلي. فسنتعامل مع العدد اثنين وحده ونضيفه في النهاية. إذن، ما سنفعله وما عليك أن تفعله دائمًا في هذه المسائل هو، أولًا، أن تكتب هذا العدد وحده بالأسفل، حتى لا تنسى وتدخله في العملية الحسابية التي ستجريها الآن.

والآن، أصبح أمامنا عملية ضرب بسيطة، ثم نقوم بتجميع الحدود المتشابهة بعد ذلك. لدينا ثلاثة مضروبًا في الحد الأول: إذن، ثلاثة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع، ثم ثلاثة مضروبًا في اثنين ‪𝑥‬‏، ثم ثلاثة مضروبًا في سالب سبعة. لنتعامل مع كل حد على حدة، ونكتب اثنين مرة أخرى بالأسفل كما هو. ونضيف ثلاثة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع، ما يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع. وثلاثة في اثنين ‪𝑥‬‏؛ ثلاثة في اثنين يساوي ستة، فيصبح لدينا ستة ‪𝑥‬‏. ثم ثلاثة مضروبًا في سالب سبعة، وثلاثة في سبعة يساوي ‪21‬‏. وتأكد من وضع إشارة السالب؛ لأن موجب في سالب يعطينا ناتجًا سالبًا. إذن لدينا سالب ‪21‬‏.

ولم ننته بعد، فإن لدينا حدودًا متشابهة علينا تجميعها. ما سنفعله هو أننا سنكتب سالب ‪21‬‏ ونضيف اثنين. إذن، سيكون لدينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪19‬‏. ها نحن أولاء. وقد انتهينا. انتبه إلى أنه عندما يكون لديك مقدار مضاف إلى وحيدة حد مضروبة في كثيرة حدود، فإن الغرض منها هو أن يلتبس عليك الأمر. تأكد من ألا تجمعه أولًا، أو، في حال كانت المسألة مثلًا اثنان ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة مضروبًا في كل من ‪𝑥‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑥‬‏ ناقص سبعة، ألا تتعامل مع المسألة وكأنها عبارة عن ذات حدين مضروبة في كثيرة حدود. فإن ذلك يصعب حل المسألة، وسينتهي بك الأمر مهدرًا الكثير من الوقت في شيء لن تحصل منه على أي درجات. لذلك، كن حذرًا! انتبه إلى الأقواس لتتأكد من أنك تتعامل مع المسألة بالشكل السليم.