فيديو السؤال: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس ومتطابقات المقلوب الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

بسط اثنين جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 زائد واحد على قا تربيع 𝜃.

تبسيط هذا التعبير، الذي يمثل مجموع دوال مثلثية مختلفة، يعني أنه يجب أن نكون قادرين على دمج بعض الحدود معًا، أو يمكننا كتابة المجموع الكلي بدلالة دالة مثلثية واحدة. لنبدأ بتناول الحد الأخير في هذا المجموع، وهو واحد على قا تربيع 𝜃.

حسنًا، نتذكر أولًا أن قا 𝜃 هي إحدى دوال المقلوب. وتعريف قا 𝜃 هو واحد على جتا 𝜃. بمعنى أن قسمة واحد على جتا 𝜃 هو ما يجعل منه مقلوبًا. إذن، قا تربيع 𝜃، الذي يعني ببساطة قا 𝜃 الكل تربيع، يساوي واحدًا على جتا 𝜃 الكل تربيع. وبتربيع كل من بسط هذا الكسر ومقامه على حدة، نجد أن قا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا على جتا تربيع 𝜃.

الآن، نلاحظ أن هذا الحد الأخير لم يعد قا تربيع 𝜃. بل أصبح واحدًا على قا تربيع 𝜃. وهذا يعني واحدًا مقسومًا على المقدار الذي يساوي قا تربيع 𝜃 كما أوضحنا للتو. وعليه، يصبح لدينا واحد مقسومًا على واحد على جتا تربيع 𝜃.

نتذكر أنه للقسمة على كسر، نقلب أو نعكس هذا الكسر. ومن ثم، يصبح البسط هو المقام. والمقام سيصبح هو البسط. بعد ذلك، نستخدم الضرب بدلًا من القسمة. إذن، واحد مقسومًا على واحد على جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا مضروبًا في جتا تربيع 𝜃 على واحد. يبسط هذا الحد إلى جتا تربيع 𝜃. وهكذا، يصبح الحد الأخير في التعبير لدينا هو جتا تربيع 𝜃.

ومن ثم، يمكننا التعويض عن الحد الثالث في المجموع بـ جتا تربيع 𝜃. ونجد أن هذا المجموع يساوي اثنين جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 مرة أخرى. يمكننا جمع كلا الحدين جتا تربيع 𝜃 معًا لنحصل على اثنين جتا تربيع 𝜃. ومنه، يبسط المجموع إلى اثنين جا تربيع 𝜃 زائد اثنين جتا تربيع 𝜃.

الآن، نلاحظ أن هذين الحدين بينهما عامل مشترك يساوي اثنين. لذا، يمكننا التحليل بإخراج العامل المشترك اثنين. وهذا يعطينا اثنين مضروبًا في جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃. وهنا، ينبغي لنا أن نفكر في استخدام إحدى المتطابقات المثلثية؛ والتي تنص على أنه لأي زاوية 𝜃، فإن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا دائمًا.

يمكننا ملاحظة ذلك باستخدام دائرة الوحدة. ‏جا 𝜃 وجتا 𝜃 يمثلان الضعلين الأفقي والرأسي في مثلث قائم الزاوية طول وتره يساوي واحدًا. وبتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا دائمًا. إذن، بالتعويض عن المجموع الموجود داخل القوسين بالقيمة واحد، نحصل على اثنين في واحد، وهو ما يساوي اثنين.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن المجموع اثنين جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 زائد واحد على قا تربيع 𝜃، يبسط، في الواقع، إلى العدد اثنين.