نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة التكامل المحدد من سالب اثنين إلى واحد لـ ﻉ زائد اثنين في ﻉ زائد واحد بالنسبة إلى ﻉ.
في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد قيمة التكامل المحدد لحاصل ضرب دالتين خطيتين. نعلم أن هذا سيعطينا دالة تربيعية. ونعلم أن التكامل المحدد يمثل المساحة أسفل منحنى. لكننا لا نعرف كيف نوجد بطريقة مباشرة المساحة أسفل منحنى دالة تربيعية. سيكون علينا إذن إجراء ذلك باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.
لعلنا نتذكر الجزء التالي من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. إذا كانت د متصلة على فترة مغلقة من ﺃ إلى ﺏ، وﻕ شرطة ﻉ تساوي دﻉ، فإن التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ لـ دﻉ بالنسبة إلى ﻉ يساوي ﻕ ﺏ ناقص ﻕ ﺃ. بعبارة أخرى، إذا كانت الدالة التي سيتم تكاملها متصلة على فترة التكامل ويمكننا إيجاد المشتقة العكسية له، فيمكننا إيجاد قيمة التكامل المحدد بحساب قيمة المشتقة العكسية.
أول ما علينا فعله هو التحقق من أنه يمكننا استخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل على هذا التكامل. نلاحظ أن الحد السفلي للتكامل يساوي سالب اثنين، والحد العلوي يساوي واحدًا. سنجعل ﺃ يساوي سالب اثنين وﺏ يساوي واحدًا. بعد ذلك، علينا أن نضع الدالة التي سيتم تكاملها في الصورة دﻉ. لاستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، علينا التحقق من أن الدالة التي سيتم تكاملها متصلة على فترة التكامل. وهي في هذه الحالة الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى واحد.
في هذه الحالة، نلاحظ أن ما سيتم تكامله هو حاصل ضرب دالتين خطيتين. ونعلم أن هذا سيعطينا دالة تربيعية. والدالة التربيعية هي مثال على كثيرة حدود. ونعرف أن كثيرات الحدود كلها متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. ومن ثم ستكون متصلة على أي فترة مغلقة. هذا يعني أن كل ما علينا فعله الآن لإيجاد قيمة هذا التكامل المحدد هو حساب المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها.
وأسهل طريقة لفعل ذلك هي أن نتذكر أن التكامل المحدد لـ ﻉ زائد اثنين في ﻉ زائد واحد بالنسبة إلى ﻉ، سيعطينا المشتقة العكسية العامة لهذه الدالة. إذن، علينا فقط إيجاد قيمة هذا التكامل المحدد. وسنفعل ذلك عن طريق توزيع الأقواس. بتوزيع الأقواس والتبسيط، نحصل على تكامل ﻉ تربيع زائد ثلاثة ﻉ زائد اثنين بالنسبة إلى ﻉ.
وهذا يمثل تكامل كثيرة حدود. ويمكننا إجراء هذا حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للتكامل. سنضيف واحدًا إلى أسي ﻉ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. وهذا يعطينا ﻉ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ﻉ تربيع على اثنين زائد اثنين ﻉ. وتذكر أن علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. وهذه ستكون المشتقة العكسية لما تم تكامله لأي قيمة ﺙ. لكن لتطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا استخدام أي مشتقة عكسية. لذا يمكننا اختيار قيمة ﺙ. سنختار ﺙ يساوي صفرًا.
نحن الآن جاهزون لإيجاد قيمة التكامل باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. أولًا، نعيد كتابة الدالة التي سيتم تكاملها لتصبح ﻉ تربيع زائد ثلاثة ﻉ زائد اثنين. بعد ذلك، باستخدام قاعدة القوة للتكامل، استطعنا إيجاد المشتقة العكسية ﻉ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ﻉ تربيع على اثنين زائد اثنين ﻉ. ونعرف أنه باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكننا إيجاد قيمة التكامل المحدد من خلال حساب قيمة المشتقة العكسية عند الحدين العلوي والسفلي للتكامل. إذن، كل ما علينا فعله هو حساب قيمة المشتقة العكسية عند واحد ثم نطرح منها قيمة المشتقة العكسية عند سالب اثنين.
سنبدأ بالتعويض بـ ﻉ يساوي واحدًا. هذا يعطينا واحدًا تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة في واحد تربيع على اثنين زائد اثنين في واحد. ويمكننا ببساطة حساب هذا التعبير. إنه يساوي ٢٣ على ستة. ومن ثم، علينا أن نطرح قيمة المشتقة العكسية عند سالب اثنين. بالتعويض بـ ﻉ يساوي سالب اثنين، نحصل على سالب اثنين تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة في سالب اثنين تربيع على اثنين زائد اثنين في سالب اثنين. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على سالب اثنين على ثلاثة.
إذن، يمكن تبسيط ذلك كله لنحصل على ٢٣ على ستة ناقص سالب اثنين على ثلاثة. ويمكننا حساب أن ذلك يساوي تسعة على اثنين، وهي إجابتنا النهائية. إذن، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة القوة للتكامل، تمكنا من إيجاد أن قيمة التكامل المحدد من سالب اثنين إلى واحد لـ ﻉ زائد اثنين في ﻉ زائد واحد بالنسبة إلى ﻉ تساوي تسعة على اثنين.
