فيديو السؤال: حل معادلة مصفوفية عن طريق إيجاد المعكوس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان حاصل ضرب مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة عناصرها سالب واحد، سالب ستة، سالب ستة، صفر، سالب اثنين، سالب أربعة، اثنان، أربعة، سبعة في متجه عناصره ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏، ‪𝑧‬‏ يساوي المتجه الذي عناصره سالب ثمانية، اثنان، سالب تسعة، فأوجد قيم ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏، ‪𝑧‬‏.

نعلم أنه في حالة ضرب المصفوفة ‪𝐴‬‏ في المتجه ‪𝐗‬‏ وكان حاصل الضرب يساوي المتجه ‪𝐁‬‏، فإن المتجه ‪𝐗‬‏ يساوي معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏ مضروبًا في المتجه ‪𝐁‬‏. لا بد أن نتذكر أيضًا أن الترتيب مهم. فلا يمكننا ضرب ‪𝐁‬‏ في معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏. يجب أن تكون عملية الضرب بالترتيب الآتي: معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝐁‬‏. وهذا يعني أن خطوتنا الأولى هي إيجاد معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏.

يمكننا استخدام آلة حاسبة بيانية لكي تساعدنا في إجراء هذه الخطوة. لكننا سنلقي نظرة على كيفية إجراء الخطوات يدويًّا دون استخدام الآلة الحاسبة البيانية. إن إيجاد معكوس المصفوفة عملية متعددة الخطوات، وهي الجزء الأكثر تعقيدًا في حل هذا السؤال.

الخطوة الأولى في إيجاد معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏، إن وجد، هي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة، ‪𝐶‬‏، التي تساوي المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، ‪𝐶𝑖𝑗‬‏، التي عناصرها محددات المصفوفات الصغرى المناظرة لكل عنصر مضروبة في سالب واحد أس ‪𝑖‬‏ زائد ‪𝑗‬‏. بعد ذلك، ندور مصفوفة العوامل المرافقة لإيجاد المصفوفة الملحقة. بعد ذلك، سنحسب محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ ونضرب المصفوفة الملحقة في مقلوب المحدد. بما أن ‪𝐴‬‏ مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، فعلينا استخدام الصيغة الآتية لإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.

علينا الانتباه لنمط الإشارات المتناوب بين الموجب والسالب أمام كل محدد. إذا كتبنا إشارة خطأ لعنصر واحد، فقد يغير ذلك الناتج النهائي تمامًا.

في البداية، نوجد المحدد الذي يقع في تقاطع الصف الأول والعمود الأول. ننظر إلى المصفوفة ‪𝐴‬‏ لإيجاد العناصر الأربعة الموجودة في المواضع ‪𝑒‬‏، ‪𝑓‬‏، ‪ℎ‬‏، ‪𝑖‬‏. وهي سالب اثنين، سالب أربعة، أربعة، سبعة. لحساب قيمة المحدد، نضرب العنصر الأعلى اليسار في العنصر الأسفل اليمين. بعد ذلك، نطرح منه حاصل ضرب العنصر الأسفل اليسار في العنصر الأعلى اليمين. من ثم، نجد أن العنصر الأول في مصفوفة العوامل المرافقة يساوي سالب اثنين في سبعة ناقص أربعة في سالب أربعة، أي سالب 14 ناقص سالب 16، وهو ما يساوي موجب اثنين. إذن، العنصر الأعلى اليسار في المصفوفة الجديدة يساوي موجب اثنين.

وهكذا، نجد أن قيمة المحدد الذي يقع في تقاطع الصف الأول والعمود الثاني هي صفر في سبعة ناقص اثنين في سالب أربعة، وهو ما يساوي صفرًا ناقص سالب ثمانية، أي موجب ثمانية. لكن نلاحظ أن علينا إضافة إشارة سالبة نظرًا لموضعه في مصفوفة العوامل المرافقة. إذن، العنصر الذي يقع في تقاطع الصف الأول والعمود الثاني يساوي سالب ثمانية.

سنوجد الآن العنصر الذي يقع في تقاطع الصف الأول والعمود الثالث، وهو صفر في أربعة ناقص اثنين في سالب اثنين. هذا يساوي موجب أربعة. دعونا نكرر هذه العملية لإيجاد الصف الثاني من مصفوفة العوامل المرافقة. إن إشارات هذا الصف سالب، موجب، سالب. المحدد الأول في هذا الصف يساوي سالب 18. لكن علينا وضع إشارة سالبة أمام سالب 18. من ثم، يصبح لدينا موجب 18 في موضع العنصر الواقع في تقاطع الصف الثاني والعمود الأول.

في تقاطع الصف الثاني والعمود الثاني، لدينا موجب خمسة. المحدد الذي يقع في تقاطع الصف الثاني والعمود الثالث يساوي موجب ثمانية. لكن علينا وضع إشارة سالبة أمام هذه القيمة. وبذلك نجد أن هذا العنصر يساوي سالب ثمانية.

وأخيرًا، سنحسب محددات الصف الثالث مع وضع إشارة موجبة أولًا، ثم إشارة سالبة، ثم إشارة موجبة مرة أخرى. بالنسبة إلى العنصر الذي يقع في تقاطع الصف الثالث والعمود الأول، نجد أنه يساوي موجب 12. العنصر الذي يقع في تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني يساوي أربعة. لكن علينا وضع إشارة سالبة، مما يعطينا سالب أربعة. أما العنصر الذي يقع في الموضع الأخير، فيساوي موجب اثنين.

لدينا الآن مصفوفة العوامل المرافقة بالكامل. خطوتنا التالية هي إيجاد المصفوفة الملحقة. ولفعل ذلك، علينا أن ندور الصفوف والأعمدة. يبدو هذا انعكاسًا حول القطر. تظل العناصر الموجودة على طول القطر كما هي. لكننا سنعكس موضع سالب ثمانية وموجب 18، وسنعكس موضع أربعة و 12، وسنعكس موضع سالب ثمانية وسالب أربعة. بذلك نجد أن عناصر المصفوفة الملحقة للمصفوفة ‪𝐴‬‏ هي اثنان، 18، 12، سالب ثمانية، خمسة، سالب أربعة، أربعة، سالب ثمانية، اثنان.

خطوتنا الأخيرة هي ضرب المصفوفة الملحقة في مقلوب محدد المصفوفة الأصلية ‪𝐴‬‏. لحساب قيمة المحدد، نستخدم هذه الصيغة. سنضرب كل عنصر من عناصر الصف العلوي في العوامل المرافقة المناظرة له التي أوجدناها في الخطوة السابقة. محدد الصف الأول، العمود الأول يساوي اثنين. ومحدد الصف الأول، العمود الثاني يساوي ثمانية. ومحدد الصف الأول، العمود الثالث يساوي أربعة. يمكن تبسيط هذا المقدار إلى سالب اثنين زائد 48 ناقص 24. من ثم، نجد أن محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ يساوي 22. إذن، مقلوب محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ يساوي واحدًا على 22. من ثم، معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏ يساوي واحدًا على 22 مضروبًا في المصفوفة الملحقة.

بعد ضرب كل عنصر في واحد على 22، يبدو حاصل الضرب على هذا النحو. كما قلنا في البداية، لحل هذا النظام، علينا حساب حاصل ضرب معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏ في ‪B‬‏. ستحتوي الشبكة المصفوفة الناتجة على ثلاثة عناصر: قيمة لـ ‪𝑥‬‏، وقيمة لـ ‪𝑦‬‏، وقيمة لـ ‪𝑧‬‏.

لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، نضرب سالب ثمانية في واحد على 11، ونضرب اثنين في تسعة على 11، ونضرب سالب تسعة في ستة على 11، ثم نوجد مجموع حواصل الضرب هذه. يمكن تبسيط هذا المقدار إلى سالب 44 على 11. إذن، قيمة ‪𝑥‬‏ تساوي سالب أربعة.

نوجد قيمة ‪𝑦‬‏ بحساب سالب ثمانية في سالب أربعة على 11 زائد اثنين في خمسة على 22 زائد سالب تسعة في سالب اثنين على 11، وهو ما يمكن تبسيطه إلى 55 على 11. إذن، قيمة ‪𝑦‬‏ تساوي موجب خمسة.

وأخيرًا، لإيجاد قيمة ‪𝑧‬‏، علينا حساب سالب ثمانية في اثنين على 11 زائد اثنين في سالب أربعة على 11 زائد سالب تسعة في واحد على 11. يمكن تبسيط هذا المقدار إلى سالب 33 على 11. إذن، قيمة ‪𝑧‬‏ تساوي سالب ثلاثة.

وعليه، في هذا السؤال، ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة، ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة، ‪𝑧‬‏ يساوي سالب ثلاثة.