فيديو الدرس: المعادلات التربيعية: المعاملات والجذور الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نعرف العلاقة بين معاملات معادلة تربيعية وجذريها. ونحن نعلم أن الدالة التربيعية هي دالة على الصورة ﺩﺱ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد حقيقية وﺃ لا يساوي صفرًا.

دعونا نتناول إحدى المعادلات التربيعية. بشكل عام، هذه المعادلة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. حسنًا، لنلق نظرة على المعادلة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ١٠ يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة؛ أو بعبارة أخرى إيجاد جذريها، بتحليل الطرف الأيمن. وبما أن معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، فإن الحل واضح إلى حد ما. نحن نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي ١٠ ومجموعهما هو سالب سبعة.

حسنًا، هذان العددان هما سالب اثنين وسالب خمسة. إذن، يمكن تحليل الطرف الأيمن من المعادلة إلى ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص خمسة. وبما أن حاصل ضرب المقدارين داخل الأقواس يساوي صفرًا، يمكننا القول إن أحد هذين المقدارين لا بد أن يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إما أن ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا، وإما أن ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. وبحل المعادلتين لإيجاد قيمة ﺱ، نحصل على حلين للمعادلة الأصلية، وهما؛ ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي خمسة.

لكن دعونا نفكر في عملية التحليل بشكل عكسي. نلاحظ هنا أن الجذرين المتمثلين في العددين السالبين اللذين اخترناهما، حاصل ضربهما هو ١٠ ومجموعهما هو سالب سبعة. حسنًا، إذا افترضنا أن الجذرين هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، فيمكننا القول إن سالب ﺱ واحد في سالب ﺱ اثنين يساوي ١٠، وسالب ﺱ واحد زائد سالب ﺱ اثنين يساوي سالب سبعة. بعبارة أخرى، إننا نبدأ الحل بافتراض أن معاملات المعادلة التربيعية توضح بعض المعلومات عن جذري المعادلة. ويمكننا التحقق من صحة ذلك في هذا المثال؛ حيث نعرف أن الجذرين هما ﺱ واحد يساوي اثنين وﺱ اثنان يساوي خمسة. سالب اثنين في سالب خمسة يساوي ١٠، وسالب اثنين زائد سالب خمسة يساوي سالب سبعة.

لكن، هل ينطبق هذا على أي معادلة تربيعية؟ ما العلاقة بين معاملات أي معادلة تربيعية وجذريها؟ حسنًا، دعونا نبدأ بمعادلة تربيعية بسيطة على صورة أعم من تلك التي رأيناها للتو. ‏ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. نفترض أنه يمكننا تحليل هذه المعادلة إلى المقدار ﺱ ناقص ﺱ واحد في ﺱ ناقص ﺱ اثنين. جذرا هذه المعادلة التربيعية هما ﺱ واحد وﺱ اثنان. لكن، سنفترض أننا سنفك هذه الأقواس. سنحصل من ذلك على ﺱ تربيع ناقص ﺱ اثنين ﺱ ناقص ﺱ واحد ﺱ زائد ﺱ واحد ﺱ اثنين يساوي صفرًا. ويمكننا تحليل الحدين الأوسطين لنحصل على سالب ﺱ في ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين.

والآن، سنقارن معاملات هذه المعادلة بمعاملات المعادلة الأصلية. يمكننا القول إن ﺟ يساوي ﺱ واحد ﺱ اثنين، وﺏ يساوي سالب مجموع ﺱ واحد وﺱ اثنين. بعبارة أخرى، المعادلات التربيعية على الصورة المعطاة، والتي جذراها هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، يجب أن تحقق المعادلتين ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي سالب ﺏ، وﺱ واحد في ﺱ اثنين يساوي ﺟ.

دعونا نعمم ذلك أكثر، وذلك بالتفكير في المعادلات التربيعية التي لا يكون المعامل الرئيسي بها يساوي واحدًا. يمكننا إجراء عملية جبرية على هذه المعادلة لنجعل معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. ومن ثم، نجد أن لدينا ﺱ تربيع زائد ﺏ على ﺃﺱ زائد ﺟ على ﺃ يساوي صفرًا. كل ما فعلناه هنا هو القسمة على ﺃ. يمكننا الآن استخدام النتيجتين السابقتين للربط بين معاملات أي معادلة تربيعية وجذريها. لأي معادلة تربيعية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا وجذراها هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، يجب أن يحقق الجذران المعادلة ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي سالب ﺏ على ﺃ، والمعادلة ﺱ واحد في ﺱ اثنين يساوي ﺟ على ﺃ. وبالطبع في المعادلات التربيعية البسيطة حيث معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، يمكن تبسيط ذلك كما هو موضح.

المفيد في الأمر هو أن هاتين الصيغتين تنطبقان على جميع المعادلات التربيعية، حتى وإن كان جذراها مركبين أو متكررين. ويمكننا الحصول على نفس الصيغتين باستخدام القانون العام. في المثال الأول، سنوضح كيف يمكن أن تساعدنا هذه النظرية في إيجاد مجموع جذري معادلة دون حلها.

بدون حل المعادلة سالب ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٦ﺱ زائد ٦٣ يساوي صفرًا، أوجد مجموع جذريها.

تذكر أنه إذا كانت لدينا معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، وجذراها هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، فلا بد أن يحقق الجذران النظرية التي تنص على أن مجموع الجذرين يساوي سالب ﺏ على ﺃ وحاصل ضربهما يساوي ﺟ على ﺃ. إذن، لكي نتمكن من إيجاد مجموع جذري المعادلة التربيعية، علينا تحديد قيمتي ﺏ وﺃ.

حسنًا، إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن معامل ﺱ تربيع يخبرنا بقيمة ﺃ. إنها سالب ثلاثة. كما أن معامل ﺱ يخبرنا بقيمة ﺏ. وهي سالب ١٦. أما ﺟ، فهو الثابت في هذه المعادلة. ويساوي ٦٣. نحن نريد إيجاد مجموع جذري هذه المعادلة. حسنًا، إذا حددنا أن الجذرين وفقًا للصيغة العامة هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، فإننا نعلم أن مجموعهما يساوي سالب ﺏ مقسومًا على ﺃ. وفي هذه الحالة، هذا يساوي سالب سالب ١٦ على سالب ثلاثة. ونحن نعرف أن قسمة عدد سالب على عدد سالب آخر تعطينا عددًا موجبًا. وبذلك، نحصل على ١٦ على ثلاثة، ثم نضيف الإشارة السالبة. إذن، ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي سالب ١٦ على ثلاثة. نلاحظ الآن أننا تمكنا، من دون حل المعادلة التربيعية، من إيجاد مجموع جذريها. وهو سالب ١٦ على ثلاثة.

حسنًا، لقد أوضحنا في هذا المثال كيفية استخدام معادلة لإيجاد معلومات عن جذريها. ولكن يمكننا عكس هذه العملية. بعبارة أخرى، إذا كنا نعلم جذري معادلة ما، يمكننا استخدام العلاقة بين معاملات المعادلة وجذريها لإيجاد المعادلة الأصلية نفسها. في هذه الحالة، من المنطقي أن نبدأ بأبسط صورة للمعادلة؛ حيث معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، وتكون المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ومن ثم، إذا كان أي من المعاملين الأخيرين ﺏ وﺟ كسرًا، يمكننا ببساطة ضرب طرفي المعادلة في مقام مشترك لتبسيطها. دعونا نوضح ذلك في المثال التالي.

إذا كان سالب واحد وسالب ستة حلي المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، فأوجد قيمة كل من ﺏ وﺟ‏.

لعلنا نتذكر أنه لأي معادلة تربيعية على الصورة ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، وجذراها هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، فإن مجموع هذين الجذرين يساوي سالب ﺏ وحاصل ضربهما يساوي ﺟ. حسنًا، علمنا من السؤال أن جذري المعادلة هما سالب واحد وسالب ستة. إذن، دعونا نحدد أن ﺱ واحد يساوي سالب واحد، وﺱ اثنين يساوي سالب ستة. نحن نعلم أن مجموع هاتين القيمتين يعطينا سالب ﺏ. وعليه، يصبح لدينا سالب واحد زائد سالب ستة يساوي سالب ﺏ. ومن ثم، سالب سبعة يساوي سالب ﺏ، وهذا يعني أن ﺏ يساوي سبعة.

يمكننا إجراء عملية مشابهة لإيجاد قيمة ﺟ. لكن هذه المرة سنستخدم حاصل ضرب الجذرين. لدينا سالب واحد في سالب ستة. حسنًا، سالب واحد في سالب ستة يساوي ستة. إذن، لا بد أن ﺟ يساوي ستة. بالرغم من أن السؤال لم يطلب إيجاد المعادلة التربيعية الأصلية، لكن يمكننا استخدام هذين الناتجين لإيجادها. المعادلة الأصلية هي ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ستة يساوي صفرًا.

والآن، يمكننا التحقق من صحة الناتجين بحل هذه المعادلة. بتحليل الطرف الأيمن، نحصل على ﺱ زائد واحد في ﺱ زائد ستة، وهو ما يعطينا حلي المعادلة أو جذريها سالب واحد وسالب ستة، كما هو مطلوب. إذن، ﺏ يساوي سبعة وﺟ يساوي ستة.

الأمر الجيد فيما أوضحناه هو أنه ينطبق على جميع أنواع الجذور. بل ينطبق حتى على الجذور المركبة. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

ما المعادلة التربيعية التي جذراها ﺱ يساوي اثنين زائد أو ناقص ﺕ؟ (أ) ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. (ب) ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. (ج) ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. (د) ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. (هـ) ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا.

في هذا السؤال، يمكننا استخدام بعض الطرق مثل إكمال المربع أو القانون العام لحل كل معادلة على حدة. ولكننا لدينا طريقة تربط بين معاملات المعادلة التربيعية وجذريها. دعونا نفكر تحديدًا في معادلة تربيعية معامل ﺱ تربيع فيها يساوي واحدًا. سنفترض أن جذري المعادلة هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، ومعامل ﺱ هو ﺏ، والحد الثابت هو ﺟ. نحن نعرف أن مجموع الجذرين يساوي سالب ﺏ، وحاصل ضربهما يساوي ﺟ.

إذن، من خلال ما نعرفه عن الجذرين، يمكننا إيجاد قيمة سالب ﺏ بجمع الجذرين، وإيجاد قيمة ﺟ بضربهما. حسنًا، سالب ﺏ يساوي اثنين زائد ﺕ زائد اثنين ناقص ﺕ. وبالطبع يمكننا جمع زوجين من الأعداد المركبة بجمع الجزأين الحقيقيين على حدة ثم جمع الجزأين التخيليين على حدة أيضًا. وبذلك، يصبح لدينا اثنان زائد اثنين زائد ﺕ ناقص ﺕ‏. ‏ﺕ ناقص ﺕ يساوي صفرًا، وبذلك نحصل على القيمة الحقيقية أربعة. وبما أن سالب ﺏ يساوي أربعة، يمكننا القول إن ﺏ، وهو معامل ﺱ في هذه المعادلة، لا بد أن يساوي سالب أربعة. وهذا جيد؛ حيث يمكننا الآن استبعاد الخيارين (ب) و(د) من الحلول الممكنة. وذلك لأن معامل ﺱ فيهما هو موجب أربعة.

بعد ذلك، سنوجد حاصل ضرب الجذرين لإيجاد قيمة ﺟ. لدينا اثنان زائد ﺕ في اثنين ناقص ﺕ. بفك الأقواس، نحصل على أربعة ناقص اثنين ﺕ زائد اثنين ﺕ ناقص ﺕ تربيع. سالب اثنين ﺕ زائد اثنين ﺕ يساوي صفرًا. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، يمكننا تبسيط ذلك إلى أربعة ناقص سالب واحد، وهذا يساوي خمسة. حسنًا، أصبحت لدينا الآن معادلة تربيعية معامل ﺱ تربيع فيها، كما ذكرنا، يساوي واحدًا؛ ومعامل ﺱ، أي ﺏ، يساوي سالب أربعة؛ أما الحد الثابت ﺟ فهو خمسة. وعليه، تكون المعادلة هي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. وهذا هو الخيار (أ).

والآن، بعد أن تناولنا عدة أمثلة توضح العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذريها، دعونا نتناول كيفية حل مسائل أكثر تعقيدًا تتضمن قيمًا مجهولة.

إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا، فما قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع؟

ثمة طريقة لحل هذه المسألة؛ وهي حل المعادلة الأصلية. لكننا لدينا بعض المعلومات عن الجذرين، كما أن لدينا المعادلة نفسها. لذا، دعونا نسترجع أنه إذا كانت لدينا معادلة تربيعية معامل ﺱ تربيع فيها يساوي واحدًا، وجذراها هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، فإن مجموع هذين الجذرين يساوي سالب ﺏ، وحاصل ضربهما يساوي ﺟ. الجذران هنا هما ﻝ زائد ﻡ. ما مجموعهما؟

حسنًا، معامل ﺱ هنا؛ أي قيمة ﺏ، هو ١٠. إذن، ﻝ زائد ﻡ لا بد أن يساوي سالب ١٠. وبالمثل، حاصل ضرب هذين الجذرين لا بد أن يساوي الحد الثابت، وهو تسعة. ومن ثم، يصبح لدينا معادلتان؛ ﻝ زائد ﻡ يساوي سالب ١٠، وﻝﻡ يساوي تسعة.

ربما لا نعرف الخطوة التالية، ولكننا نحاول إيجاد قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع. نفترض أننا سنقوم بتربيع طرفي المعادلة الأولى. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﻝ زائد ﻡ الكل تربيع يساوي سالب ١٠ تربيع. وعند فك القوسين في الطرف الأيمن، نحصل على المقدار ﻝ تربيع زائد اثنين ﻝﻡ زائد ﻡ تربيع. يمكننا هنا ملاحظة أن هذا المقدار يشبه إلى حد ما المقدار الذي نريد إيجاد قيمته. وسالب ١٠ تربيع يساوي ١٠٠. إذن هذا المقدار يساوي ١٠٠.

وبما أن لدينا هنا اثنين ﻝﻡ، ونحن نعلم أن ﻝﻡ يساوي تسعة، يمكننا إذن إعادة كتابة اثنين ﻝﻡ على الصورة اثنان في تسعة، وهو ما يساوي ١٨. وبذلك، تصبح لدينا المعادلة ﻝ تربيع زائد ١٨ زائد ﻡ تربيع يساوي ١٠٠. بعد ذلك، نحل المعادلة لإيجاد قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع بطرح ١٨ من كلا الطرفين. ‏١٠٠ ناقص ١٨ يساوي ٨٢. وعليه، فإن قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع هي ٨٢.

بذلك نكون قد أوضحنا بشيء من التفصيل أن معاملات المعادلة التربيعية تتضمن معلومات عن مجموع جذريها وحاصل ضربهما. دعونا الآن نلخص المفاهيم الرئيسية التي تناولناها.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه لأي معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، وجذراها هما ﺱ واحد وﺱ اثنان، فإن مجموع الجذرين يساوي سالب ﺏ على ﺃ. وحاصل ضرب الجذرين يساوي ﺟ على ﺃ. إذا كان ﺃ يساوي واحدًا؛ أي إذا كان معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، فإنه يمكن تبسيط ذلك إلى ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي سالب ﺏ، وﺱ واحد في ﺱ اثنين يساوي ﺟ. وبالطبع يمكننا عكس هذه العملية. بعبارة أخرى يمكننا استخدام المعلومات التي لدينا عن الجذرين لإيجاد معاملات المعادلة التربيعية، ومن ثم إيجاد المعادلة نفسها.