نسخة الفيديو النصية
أي التمثيلات البيانية الآتية يمكن أن يمثل المعادلة التربيعية على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ هو عدد موجب، علمًا بأن مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا هي المجموعة التي تحتوي على واحد واثنين؟
في هذا السؤال، لدينا خمسة تمثيلات بيانية محتملة، وعلينا تحديد أي من هذه التمثيلات البيانية الخمسة يمثل معادلة تربيعية معاملها الرئيسي موجب؛ حيث تكون مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا هي المجموعة التي تحتوي على واحد واثنين. سنتناول جميع الخيارات الخمسة. لكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نلق نظرة على المعطيات لدينا. يمكننا البدء بتذكر أن التمثيل البياني لأي دالة تربيعية يكون على شكل قطع مكافئ، وشكل هذا القطع المكافئ تحدده إشارة المعامل الرئيسي.
إذا كان المعامل الرئيسي سالبًا، نقول إن القطع المكافئ مفتوح لأسفل. أما إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا، نقول إن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. في هذا السؤال، إشارة المعامل الرئيسي ﺃ موجبة. إذن، لا بد أن يكون لدينا قطع مكافئ مفتوح لأعلى.
علمنا بعد ذلك أن مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا هي المجموعة التي تحتوي على واحد واثنين. ويمكننا تذكر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة كل القيم التي تحقق هذه المعادلة. إذن، نظرًا لأن العددين واحد واثنان يحققان هذه المعادلة، فإن قيمة ﺩ عند واحد لا بد أن تساوي صفرًا، وقيمة ﺩ عند اثنين لا بد أن تساوي صفرًا أيضًا. وهذا يعطينا بعض المعلومات عن المنحنى. إذا كانت قيمة ﺩ عند واحد تساوي صفرًا، فإن النقطة التي إحداثياتها واحد، صفر لا بد أن تقع على المنحنى الذي لدينا. وبالمثل، إذا كانت قيمة ﺩ عند اثنين تساوي صفرًا، فإن النقطة التي إحداثياتها اثنان، صفر تقع أيضًا على المنحنى الذي لدينا. هذا يعني أن المنحنى سيكون له جزآن مقطوعان من المحور ﺱ، ونعلم أن أي قطع مكافئ يمكن أن يكون له جزآن مقطوعان من المحور ﺱ على الأكثر. إذن، هذان الجزآن يمثلان جميع الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ.
هذه المعلومات كافية لتكوين فكرة عامة عن الشكل الذي سيبدو عليه المنحنى. إنه قطع مكافئ مفتوح لأعلى وله جزآن مقطوعان من المحور ﺱ، أحدهما عند واحد والآخر عند اثنين. لكننا لا نعرف شكل هذا المنحنى بالضبط. على سبيل المثال، نحن لا نعرف الجزء الذي يقطعه المنحنى من المحور ﺹ. يوجد عدد لا نهائي من القطوع المكافئة المفتوحة لأعلى، التي تمر بالقيمتين واحد واثنين. على سبيل المثال، قد يكون لدينا قطع مكافئ ذو فتحة أضيق، أو قطع مكافئ ذو فتحة أوسع.
ومع ذلك، يمكننا استخدام هذه المعلومات لاستبعاد بعض الخيارات. لنبدأ إذن بالنظر إلى الخيار (أ) كما هو موضح. لدينا هنا شكل قطع مكافئ بالفعل. لكننا نلاحظ أنه مفتوح لأسفل، ومن ثم فإن المعامل الرئيسي يكون سالبًا. في السؤال لدينا، لا بد أن يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى لأن المعامل الرئيسي موجب. إذن، الخيار (أ) ليس الإجابة الصحيحة.
دعونا نلق نظرة الآن على الخيار (ب). يمكننا ملاحظة أنه على شكل قطع مكافئ مفتوح لأعلى بالفعل. لكن إذا نظرنا إلى الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، فسنجد أنهما ليسا عند واحد واثنين. في الواقع، أحد هذين الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ له قيمة سالبة. لذا، إذا أسمينا الدالة التربيعية الممثلة بيانيًّا ﺭﺱ، فإن مجموعة حل المعادلة ﺭﺱ تساوي صفرًا ليست المجموعة التي تحتوي على واحد واثنين، لأن أحد عنصريها لا بد أن يكون سالبًا. وعليه، فإن الخيار (ب) لا يمكن أن يكون الإجابة الصحيحة. وهذا لأن الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ غير صحيحين.
نلاحظ الأمر ذاته عند النظر إلى الخيار (ج). إنه على شكل قطع مكافئ مفتوح لأعلى. لكننا نلاحظ أن الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ سالبان. في الواقع، يقع الجزآن المقطوعان من المحور ﺱ عند سالب واحد وسالب اثنين، وليس عند واحد واثنين. إذن، الخيار (ج) ليس صحيحًا. إذا نظرنا إلى الخيار (د)، يمكننا ملاحظة أنه على شكل قطع مكافئ مفتوح لأسفل، ما يعني أن المعامل الرئيسي سالب. لكننا نعلم من المعطيات أن المعامل الرئيسي موجب، ومن ثم يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى. وعليه، الخيار (د) ليس صحيحًا.
وأخيرًا، دعونا نلق نظرة على الخيار (هـ). نلاحظ أولًا أنه على شكل قطع مكافئ، ويمكننا ملاحظة أنه مفتوح لأعلى، ومن ثم يكون المعامل الرئيسي موجبًا. بعد ذلك، يمكننا إلقاء نظرة على الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ. نلاحظ أنهما ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي اثنين. لذا، إذا أسمينا هذه الدالة ﺭﺱ، فإن مجموعة حل المعادلة ﺭﺱ تساوي صفرًا ستكون المجموعة التي تحتوي على واحد واثنين؛ بما أن هذين هما الجزآن المقطوعان من المحور ﺱ. وهذا يتفق مع المعطيات لدينا. وعليه، الإجابة هي الخيار (هـ).
