نسخة الفيديو النصية
اختبار التكامل للمتسلسلة.
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام اختبار التكامل على متسلسلة لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة التي تتضمن حدودًا غير سالبة متقاربة أو متباعدة. سنتناول أمثلة متنوعة حول كيفية استخدام اختبار التكامل. ولنبدأ بشرح ما ينص عليه اختبار التكامل. ينص اختبار التكامل للمتسلسلة على أنه إذا كانت دالة ما 𝑓 في المتغير 𝑥 وهي دالة متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞، وكان 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛، فإنه: أولًا، إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا، فكذلك سيكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. ثانيًا، إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متباعدًا، فكذلك سيكون المجموع من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ∞ لـ 𝑎𝑛.
تذكر أنه إذا كان التكامل أو المجموع متقاربًا، فإنه يساوي قيمة محددة. وإذا كان متباعدًا، فإنه يساوي ما لا نهاية. وعليه، فإن ما نفعله بالأساس في هذا الاختبار هو استخدام تقارب تكامل ما أحد حديه يساوي لا نهاية لإيجاد تقارب متسلسلة. عند إيجاد الدالة 𝑓 لـ 𝑥، من الضروري أن تحقق الدالة هذه الشروط الثلاثة. يسهل عادة التحقق من أول شرطين، وهما أن تكون الدالة متصلة وموجبة. لكن، قد يتعين علينا أحيانًا إجراء مزيد من الخطوات للتحقق من أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞. يمكننا إلقاء نظرة على ما يجعل هذا الاختبار ممكنًا وسهل الاستخدام من خلال النظر إلى التمثيلات البيانية التالية.
لنفترض أن لدينا متسلسلة عبارة عن المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛 حيث الدالة 𝑓 لـ 𝑛، التي تساوي 𝑎𝑛، دالة متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞. يمكننا رسم منحنى الدالة 𝑓 لـ 𝑥، وهو يبدو بهذا الشكل. يمكننا استخدام 𝑘، و𝑘 زائد واحد، و𝑘 زائد اثنين، وهكذا، كمسميات على المحور 𝑥. لدينا احتمالان لـ 𝑓 لـ 𝑥. أولًا، أن يكون التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا. وإذا كان الأمر كذلك، فيمكننا رسم أعمدة على التمثيل البياني لتمثيل الحدود في المتسلسلة لدينا. عرض هذه الأعمدة التي رسمناها يساوي واحدًا وارتفاعها يساوي 𝑓 لـ 𝑥. ومن ثم، مساحة كل عمود من هذه الأعمدة يساوي 𝑓 لـ 𝑥.
بالنسبة إلى العمود الأول، 𝑓 لـ 𝑥 يساوي 𝑓 لـ 𝑘. نعرف أن 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛، ومن ثم مساحة هذا العمود تساوي 𝑎𝑘. وبالمثل، مساحة العمود التالي تساوي 𝑎𝑘 زائد واحد. ومساحة العمود الذي يليه تساوي 𝑎𝑘 زائد اثنين، وهكذا. إذا حسبنا مجموع مساحات هذه الأعمدة معًا حتى نصل إلى ∞، فسنحصل على المتسلسلة. لكن، يمكننا ملاحظة أن كل عمود من هذه الأعمدة يقع أسفل منحنى الدالة 𝑓 لـ 𝑥. والمساحة أسفل المنحنى ممثلة بهذا التكامل. ومن ثم، نلاحظ أن المتسلسلة يجب أن تكون أصغر من قيمة التكامل. بما أن التكامل متقارب، فهذا يعني أن المتسلسلة يجب أن تكون متقاربة أيضًا.
لنتناول الحالة الأخرى، وهي عندما يكون التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متباعدًا. ففي هذه الحالة، يمكننا رسم أعمدة على التمثيل البياني لتمثيل المتسلسلة على النحو الآتي. نرسم الأعمدة هنا بطريقة مختلفة قليلًا. ولكن، بما أن عرض الأعمدة يساوي واحدًا وارتفاعها هو 𝑓 لـ 𝑥، فإن مساحات هذه الأعمدة هي حدود المتسلسلة أيضًا. وعليه، فإن مجموع مساحات هذه الأعمدة يساوي المتسلسلة.
هذه المرة، نعرف أن التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متباعد. ويمكننا ملاحظة أن مساحة الأعمدة التي تمثل المتسلسلة تقع أعلى خط المنحنى 𝑓 لـ 𝑥. ولذا، فإن مساحة هذه الأعمدة أكبر من قيمة التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. بما أن هذا التكامل متباعد، فهذا يوضح لنا أن المتسلسلة يجب أن تكون متباعدة أيضًا. بعد أن تناولنا كيفية استخدام اختبار التكامل لمتسلسلة، دعونا الآن نلق نظرة على بعض الأمثلة.
حدد إذا ما كانت المتسلسلة، التي تساوي المجموع من 𝑛 يساوي صفرًا إلى ∞ لـ 𝑒 أس سالب 𝑛، تتقارب أو تتباعد.
سنحاول إيجاد تقارب هذه المتسلسلة باستخدام اختبار التكامل. ينص اختبار التكامل على أنه إذا كانت دالة ما 𝑓 لـ 𝑥 وكانت دالة متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞، وكان 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛. فإنه؛ إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. وإذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متباعدًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. المتسلسلة التي نحاول إيجاد تقاربها هي هذا المجموع من 𝑛 يساوي صفرًا إلى ∞ لـ 𝑒 أس سالب 𝑛. وعليه، فإن 𝑎𝑛 يساوي 𝑒 أس سالب 𝑛. وبما أن 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛، فإننا نحصل على 𝑓 لـ 𝑥 يساوي 𝑒 أس سالب 𝑥. بما أننا نوجد المجموع من 𝑛 يساوي صفرًا، فهذا يعني أن 𝑘 يساوي صفرًا.
علينا الآن التحقق مما إذا كانت الدالة 𝑓 متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من صفر إلى ∞ أو لا. ويمكن أيضًا كتابة 𝑒 أس سالب 𝑥 على صورة واحد على 𝑒 أس 𝑥. قيمة 𝑒 أس 𝑥 موجبة لأي من قيم 𝑥. ومن ثم، قيمة واحد على 𝑒 أس 𝑥 موجبة أيضًا. بذلك، نكون قد حققنا شرط أن تكون الدالة 𝑓 لـ 𝑥 موجبة على الفترة المذكورة. الدالة واحد على 𝑒 أس 𝑥 متصلة؛ لأن 𝑒 أس 𝑥 لا يمكن أن يساوي صفرًا عند أي قيمة. وبذلك، نكون قد حققنا هذا الشرط. وأخيرًا، بما أن 𝑒 أس 𝑥 دالة تزايدية لجميع قيم 𝑥، فهذا يعني أن واحدًا على 𝑒 أس 𝑥 دالة تناقصية لجميع قيم 𝑥. وبذلك، نكون قد حققنا الشرط الأخير للدالة 𝑓 لـ 𝑥.
ومن ثم، أصبح بإمكاننا استخدام اختبار التكامل. علينا إيجاد تقارب التكامل من صفر إلى ∞ لـ 𝑒 أس سالب 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. يمكننا استخدام حقيقة أن التكامل من 𝑒 أس 𝑎𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 يساوي واحدًا على 𝑎 مضروبًا في 𝑒 أس 𝑎𝑥 زائد 𝑐. في هذه المسألة، 𝑎 يساوي سالب واحد، وواحد على سالب واحد يساوي سالب واحد. ولذا، عند إيجاد تكامل 𝑒 أس سالب 𝑥، فإننا نحصل على سالب 𝑒 أس سالب 𝑥. وهذا بالطبع بين حدي التكامل صفر و∞.
بما أن الحد العلوي للتكامل هو لا نهاية، علينا إيجاد النهاية عند اقتراب 𝑥 من ∞ لسالب 𝑒 أس سالب 𝑥. علينا ألا ننسى طرح سالب 𝑒 أس سالب صفر. عندما نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية، فإنه يمكننا التفكير فيما سيحدث كلما ازدادت قيمة 𝑥 أكثر فأكثر. فكلما ازدادت قيمة 𝑥، ازدادت قيمة سالب 𝑥 أكثر فأكثر. ومن ثم، تقترب قيمة 𝑒 أس سالب 𝑥 أكثر فأكثر من صفر.
إذن، يمكننا القول إن قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا. وعندئذ، نحصل على 𝑒 أس سالب صفر، وهو ما يساوي 𝑒 أس صفر. أي قيمة أس صفر تساوي واحدًا. تلغى الإشارتان السالبتان الموجودتان أمام الحد معًا، فنحصل على إشارة موجبة. وبذلك، نجد أن قيمة التكامل من صفر إلى ∞ لـ 𝑒 أس سالب 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي واحدًا. وعليه، نجد أن التكامل متقارب. إذن، وفقًا لاختبار التكامل، يمكننا القول إن المجموع من 𝑛 يساوي صفرًا إلى ∞ لـ 𝑒 أس سالب 𝑛 متقارب.
لننتقل الآن إلى مثال آخر.
استخدم اختبار التكامل لتحديد إذا ما كانت المتسلسلة التي تساوي المجموع من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ∞ لواحد على 𝑛 تتقارب أو تتباعد.
لنبدأ باسترجاع اختبار التكامل. ينص اختبار التكامل على أنه إذا كانت الدالة 𝑓 دالة متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞، وكان 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛. فإنه: أولًا، إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. ثانيًا، إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متباعدًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. المتسلسلة في هذه المسألة تساوي المجموع من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ∞ لواحد على 𝑛. ومن ثم، فإن 𝑎𝑛 يساوي واحدًا على 𝑛. وباستخدام حقيقة أن 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛، يمكننا القول إن 𝑓 لـ 𝑥 يساوي واحدًا على 𝑥.
علينا الآن التحقق أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة ما بين 𝑘 و∞. ونلاحظ أنه بما أن المجموع يبدأ من 𝑛 يساوي واحدًا، فإن 𝑘 لا بد أن يساوي واحدًا. لنبدأ بالتحقق من اتصال الدالة على هذه الفترة. تحدث حالة عدم الاتصال الوحيدة لـ 𝑓 لـ 𝑥 عندما 𝑥 يساوي صفرًا. لكن، الصفر غير موجود في الفترة لدينا من واحد إلى ∞. وعليه، فإن هذه الدالة متصلة حتمًا على الفترة من واحد إلى ∞. قيمة 𝑥 موجبة دائمًا على هذه الفترة. ومن ثم، فإن واحدًا على 𝑥 يكون موجبًا حتمًا. بذلك، نكون قد حققنا هذا الشرط أيضًا. إذا بدأت قيمة 𝑥 عند واحد ثم ازدادت أكثر فأكثر، فستقل قيمة واحد على 𝑥 أكثر فأكثر. لذا، يمكننا القول إن هذه دالة تناقصية على الفترة لدينا.
بعد أن حققنا هذه الشروط الثلاثة، أصبح بإمكاننا استخدام اختبار التكامل. علينا معرفة إذا ما كان التكامل من واحد إلى ∞ لواحد على 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا أو متباعدًا. نعلم أن تفاضل اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 يساوي واحدًا على 𝑥. ومن ثم، فإن اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 يساوي المشتقة العكسية لواحد على 𝑥. وهكذا، نجد أن التكامل يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 ما بين واحد و∞. عند استخدام الحد ∞، علينا إيجاد النهاية عند اقتراب 𝑥 من ∞ للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥. بالنسبة إلى السفلي واحد، كل ما علينا هو أن نطرح اللوغاريتم الطبيعي لواحد.
والآن، لنوجد قيمة هذه النهاية، أي اللوغاريتم الطبيعي، كدالة تزايدية. ولذا، كلما ازدادت قيمة 𝑥، ازداد أيضًا اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥. وبذلك، يمكننا القول إن هذه النهاية تساوي أيضًا ∞. نعلم أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. ولكن، بصرف النظر عن قيمة هذا الحد الثابت، لن يؤثر ذلك على الناتج وهو ∞. نستنتج من ذلك أن التكامل سيكون متباعدًا حتمًا. ولذا، فإنه وفقًا لاختبار التكامل، يمكننا القول إن المجموع من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ∞ لواحد على 𝑛 متباعد.
عندما نستخدم اختبار التكامل، لا يشترط أن تكون الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تناقصية لجميع قيم 𝑥 في الفترة من 𝑘 إلى ∞. كل المطلوب هو أن تكون 𝑥 متناقصة لجميع قيم 𝑥 الأكبر من أو تساوي الثابت 𝑐، حيث 𝑐 أكبر من أو يساوي 𝑘. وسنعرف كيفية القيام بذلك في المثال التالي.
حدد إذا ما كانت المتسلسلة، التي تساوي المجموع من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ∞ للجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 على 𝑛 تتقارب أو تتباعد.
يمكننا استخدام اختبار التكامل لاختبار هذا التقارب. ينص اختبار التكامل على أنه إذا كانت لدينا دالة ما 𝑓 لـ 𝑥، وهي دالة متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞ وكان 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛. فإنه: أولًا، إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. ثانيًا، إذا كان التكامل من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متباعدًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. المتسلسلة هي المجموع من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ∞ للجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 على 𝑛. ولذا، يمكننا القول إن 𝑎𝑛 يساوي الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 على 𝑛. وبما أن 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛، فإن 𝑓 لـ 𝑥 يساوي الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 على 𝑥.
نعلم أيضًا أن 𝑘 يساوي واحدًا. علينا الآن التحقق أن 𝑓 لـ 𝑥 دالة متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من واحد إلى ∞. أولًا، حتى يتحقق شرط الاتصال، يجب أن يكون ما بداخل الجذر التربيعي، أي اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥، قيمة غير سالبة. إذا كان اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 أكبر من أو يساوي صفرًا، فهذا يعني أن 𝑥 حتمًا أكبر من أو يساوي واحدًا. بما أن قيمة 𝑘 تساوي واحدًا، إذن الفترة تكون من واحد إلى ∞. إذن، 𝑥 أكبر من أو يساوي واحدًا دائمًا. ومن ثم، بسط الدالة متصل. الحالة الوحيدة التي قد يحدث فيها عدم اتصال هي أن يكون مقام الكسر مساويًا للصفر. لكن 𝑥 أكبر من أو يساوي واحدًا دائمًا، ومن ثم فإن 𝑥 لا يمكن أن يساوي صفرًا. إذن، الدالة متصلة على الفترة.
في الخطوة التالية، علينا التحقق مما إذا كانت الدالة موجبة على هذه الفترة. دالة الجذر التربيعي في البسط موجبة دائمًا؛ لأنه جذر تربيعي موجب. والمقام موجب دائمًا؛ لأن 𝑥 أكبر من أو يساوي واحدًا. وبذلك، نكون قد حققنا هذا الشرط. علينا الآن التحقق من أن الدالة تناقصية ما بين واحد و∞. من الصعب جدًّا التحقق من ذلك دون إجراء عملية حسابية. ولذا، يمكننا إيجاد قيم 𝑥 التي تكون عندها 𝑓 لـ 𝑥 تناقصية من خلال اشتقاق 𝑓 بالنسبة إلى 𝑥. هذا يعطينا 𝑓 شرطة لـ 𝑥. 𝑓 لـ 𝑥 عبارة عن خارج قسمة. ولذا، يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة. تنص قاعدة خارج القسمة على أن تفاضل 𝑢 على 𝑣 يساوي 𝑣 مضروبًا في تفاضل 𝑢 ناقص 𝑢 مضروبًا في تفاضل 𝑣 الكل على 𝑣 تربيع.
في المسألة لدينا، 𝑢 يساوي الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 و𝑣 يساوي 𝑥. إيجاد d𝑣 على d𝑥 عملية سهلة ومباشرة. نشتق 𝑥 ونحصل ببساطة على واحد. الآن، عندما نشتق الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥، علينا استخدام قاعدة السلسلة. قد نجد أنه من الأسهل إعادة كتابة 𝑢. ويمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 أس نصف.
لإيجاد d𝑢 على d𝑥، نضرب في الأس ثم نطرح منه واحدًا، وفي النهاية نضرب في تفاضل ما بداخل الدالة. هذا تفاضل اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥. وهو ما يساوي واحدًا على 𝑥. d𝑢 على d𝑥 وd𝑣 على d𝑥 هما ببساطة 𝑢 شرطة و𝑣 شرطة. ويمكننا التعويض بهما في صيغة قاعدة خارج القسمة. عندئذ، نحصل على 𝑓 شرطة لـ 𝑥 يساوي 𝑥 مضروبًا في نصف في واحد على 𝑥 في اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 أس سالب نصف ناقص الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 الكل على 𝑥 تربيع.
نريد الآن إيجاد قيم 𝑥 حيث تكون الدالة 𝑓 تناقصية. هذا يعني أن قيمة 𝑓 شرطة لـ 𝑥 سالبة. يكون مقام 𝑓 شرطة لـ 𝑥، الذي يساوي 𝑥 تربيع، موجبًا دائمًا؛ لأن مربع العدد موجب دائمًا. وعليه، فإن قيم 𝑥 التي تكون عندها قيمة 𝑓 شرطة سالبة توجد عندما يكون بسط الكسر سالبًا. ويحدث ذلك عندما يكون الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 أكبر من 𝑥 مضروبًا في نصف مضروبًا في واحد على 𝑥 مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 أس سالب نصف. يمكننا هنا حذف واحد على 𝑥 و𝑥 معًا.
كما يمكننا إعادة كتابة اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 أس سالب نصف على صورة واحد على الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥. وبذلك، يصبح الطرف الأيمن من المتباينة واحدًا على اثنين في الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥. يمكننا ضرب كلا الطرفين في الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥. وبذلك، نجد أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تناقصية لقيم 𝑥، حيث اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 أكبر من نصف. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن هذا يساوي قيم 𝑥 الأكبر من 1.648 وهكذا مع توالي الأرقام. ومن ثم، نجد أن الدالة ليست تناقصية على هذه الفترة بالكامل.
لكن، يمكننا إعادة كتابة المتسلسلة. يمكننا أخذ الحد الأول خارج المتسلسلة بحيث تصبح المتسلسلة مساوية للجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لواحد على واحد زائد المجموع من 𝑛 يساوي اثنين إلى ∞ للجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 على 𝑛. وبما أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا، فهذا الحد وحده يساوي صفرًا. ومن ثم، هذا المجموع الجديد الذي أوجدناه يساوي المجموع الأصلي. لكن، المجموع الجديد يبدأ من 𝑛 يساوي اثنين. ولذا، تتغير قيمة 𝑘 إلى اثنين. نعلم أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تناقصية لقيم 𝑥 الأكبر من 1.648. وبذلك، نكون قد حققنا الشرط الأخير لاستخدام اختبار التكامل وأصبح بإمكاننا استخدام اختبار التكامل. لنقم بهذا الآن.
علينا معرفة إذا ما كان التكامل من اثنين إلى ∞ للجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 على 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا أو متباعدًا. لإيجاد قيمة هذا التكامل، يمكننا استخدام التعويض بالمتغير 𝑢. يمكننا أن نفترض أن 𝑢 يساوي الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥. عند إعادة ترتيب ذلك، نحصل على 𝑥 يساوي 𝑒 أس 𝑢 تربيع. يمكننا اشتقاق 𝑥 بالنسبة إلى 𝑢 لنجد أن d𝑥 على d𝑢 يساوي اثنين 𝑢𝑒 أس 𝑢 تربيع. العبارة المكافئة لذلك هي d𝑥 يساوي اثنين 𝑢𝑒 أس 𝑢 تربيع d𝑢. عند 𝑥 يساوي اثنين، 𝑢 يساوي الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لاثنين. وعند 𝑥 يساوي ∞، 𝑢 يساوي ∞ أيضًا. أصبحنا الآن مستعدين لإجراء عملية التعويض.
يمكننا البدء بالتعويض عن حدي التكامل، وهما الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لاثنين و∞. نعلم أن الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لـ 𝑥 يساوي 𝑢. و𝑥 يساوي 𝑒 أس 𝑢 تربيع. وأخيرًا، علينا التعويض عن d𝑥. وبذلك، نكون قد أكملنا التعويض بالمتغير 𝑢. يمكننا حذف 𝑒 أس 𝑢 تربيع في المقام مع 𝑒 أس 𝑢 تربيع الأخرى. وبذلك، يصبح التكامل عبارة عن التكامل من الجذر التربيعي للوغاريتم الطبيعي لاثنين إلى ∞ لاثنين 𝑢 تربيع d𝑢.
يمكننا إيجاد تكامل ذلك من خلال زيادة أس 𝑢 بمقدار واحد والقسمة على الأس الجديد. وبذلك، يصبح لدينا ثلثان 𝑢 تكعيب بين الحدين. وبالتعويض بقيمة الحدين، نحصل على هذا. على الرغم من أن الحد الثاني هنا ثابت، فإن النهاية عند اقتراب 𝑢 من ∞ لثلثين 𝑢 تكعيب تكون في الواقع لا نهائية. وبالتالي، نعرف أن هذا التكامل متباعد. إذن، وفقًا لاختبار التكامل، المتسلسلة من 𝑛 يساوي اثنين إلى ∞ تتباعد. بما أن هذه المتسلسلة تساوي المتسلسلة الموجودة في المسألة، فهذا يعني أننا وصلنا إلى الإجابة وهي أن المتسلسلة متباعدة.
بذلك، نكون قد تناولنا أمثلة متنوعة. لنلخص بعض النقاط الأساسية في هذا الفيديو.
النقاط الأساسية
ينص اختبار التكامل على أنه إذا كانت دالة ما 𝑓 متصلة وموجبة وتناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞، وكان 𝑓 لـ 𝑛 يساوي 𝑎𝑛. فإنه؛ أولًا، إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متقاربًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. ثانيًا، إذا كان التكامل من 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑓 لـ 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 متباعدًا، فكذلك يكون المجموع من 𝑛 يساوي 𝑘 إلى ∞ لـ 𝑎𝑛. وفي بعض الأحيان، قد لا تكون الدالة تناقصية على الفترة من 𝑘 إلى ∞، لكن لا يزال بإمكاننا استخدام اختبار التكامل ما دامت 𝑓 لـ 𝑥 تناقصية لجميع قيم 𝑥 الأكبر من أو تساوي 𝑐، حيث 𝑐 ثابت أكبر من أو يساوي 𝑘.