فيديو: المتطابقات المثلثية: متطابقات المقلوب والمتطابقات النسبية

يوضح الفيديو معنى المتطابقة، ومتطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية للدوال المثلثية، واستخدامها لإيجاد قيم الدوال المثلثية.

٠٥:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن المتطابقات المثلثية، وبالأخص عن متطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية.

في الفيديو ده هنعرف معنى إن المعادلة تكون متطابقة، وكمان هنعرف متطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية بتاعة الدوال المثلثية.

أول حاجة المعادلة بتكون متطابقة لو الطرف الأيسر ليها بيساوي الطرف الأيمن، وده لكل قيم المتغيّر اللي موجود فيه. فمثلًا المعادلة: س تربيع ناقص تسعة، على س ناقص تلاتة؛ يساوي س زائد تلاتة تُعتبر متطابقة. وده لأن الطرفين بتوعها معرّفين ومتساويين لكل قيم س؛ بحيث إن س لا تساوي تلاتة.

أمّا بالنسبة للمعادلة: جا س تساوي واحد ناقص جتا س. فهنلاقي إن الطرفين بتوع المعادلة دي معرّفين ومتساويين عند قيم معينة لِـ س؛ زيّ مثلًا لمّا س تساوي صفر. لكن بالنسبة لبقية القيم فهنلاقي إن الطرفين معرّفين لكن مش متساويين؛ زيّ مثلًا لمّا س تساوي 𝜋 على أربعة.

معنى كده إن المعادلة دي هيبقى الطرف الأيسر ليها ما بيساويش الطرف الأيمن لكل قيم المتغيّر س، وبالتالي المعادلة دي هتبقى مش متطابقة. كده إحنا عرفنا مفهوم المتطابقات بصفة عامة.

بالنسبة للمتطابقات المثلثية فهي عبارة عن المتطابقات اللي بتحتوي على دوال مثلثية. هنبدأ نشوف متطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية بتاعة الدوال المثلثية بس في الصفحة اللي جايّة، هنقلب الصفحة.

هنبدأ الأول بمتطابقات المقلوب. بالنسبة للدالة جا فالمقلوب بتاعها هو الدالة قتا، وبالتالي جا 𝜃 تساوي واحد على قتا 𝜃. وزيّ أيّ كسر المقام ما ينفعش يساوي صفر. يبقى معنى كده إن جا 𝜃 هتساوي واحد على قتا 𝜃؛ بحيث إن قتا 𝜃 لا تساوي صفر. بالنسبة بقى للدالة قتا فمقلوبها هو الدالة جا. معنى كده قتا 𝜃 هتساوي واحد على جا 𝜃؛ بحيث إن جا 𝜃 لا تساوي صفر.

وبالنسبة للدالة جتا فمقلوبها هو الدالة قا، والعكس. يبقى معنى كده إن جتا 𝜃 تساوي واحد على قا 𝜃؛ بحيث إن قا 𝜃 لا تساوي صفر. وإن قا 𝜃 تساوي واحد على جتا 𝜃؛ بحيث إن جتا 𝜃 لا تساوي صفر.

أمّا بالنسبة للدالة ظا فمقلوبها هو الدالة ظتا. والعكس برضو؛ مقلوب الدالة ظتا هو الدالة ظا. يبقى معنى كده هتبقى ظا 𝜃 بتساوي واحد على ظتا 𝜃؛ بحيث إن ظتا 𝜃 لا تساوي صفر. وَ ظتا 𝜃 هتساوي واحد على ظا 𝜃؛ بحيث إن ظا 𝜃 لا تساوي صفر. وهي دي متطابقات المقلوب.

بعد كده هنشوف المتطابقات النسبية. بالنسبة للدالة ظا فهي بتساوي الدالة جا على الدالة جتا. يبقى معنى كده هتبقى ظا 𝜃 بتساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃؛ بحيث إن جتا 𝜃 لا تساوي صفر. وبما إن دالة الـ ظتا هي مقلوب دالة الـ ظا، بالتالي دالة الـ ظتا هتساوي دالة الـ جتا على دالة الـ جا. يعني هتبقى ظتا 𝜃 بتساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃؛ بحيث إن جا 𝜃 لا تساوي صفر. وهي دي المتطابقات النسبية.

نقدر نستخدم متطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية بتاعة الدوال المثلثية؛ علشان نوجد القيم الدقيقة للدوال المثلثية. هنبدأ نشوف مثال نوضّح بيه أكتر بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال.

عندنا في المثال مطلوبين أ وَ ب. هنبدأ بالمطلوب أ: لو كانت قتا 𝜃 بتساوي سبعة على أربعة، فإحنا عايزين نوجد جا 𝜃.

علشان نوجد جا 𝜃 فإحنا هنستخدم متطابقات المقلوب، وده لأن الدالة قتا هي مقلوب الدالة جا. وبما إن إحنا عايزين نجيب جا 𝜃، فإحنا هنستخدم المتطابقة: جا 𝜃 تساوي واحد على قتا 𝜃؛ بحيث إن قتا 𝜃 لا تساوي صفر.

وإحنا عندنا قتا 𝜃 تساوي سبعة على أربعة، بالتالي هنعوّض مكان قتا 𝜃 في المتطابقة اللي عندنا بسبعة على أربعة. بالتالي جا 𝜃 هتساوي واحد على، سبعة على أربعة، ولمّا هنقسم هنلاقي جا 𝜃 بتساوي أربعة على سبعة.

بعد كده هنشوف المطلوب ب؛ وهو: إذا كانت ظتا س تساوي اتنين، على خمسة الجذر التربيعي لخمسة. وَ جا س تساوي الجذر التربيعي لخمسة، على تلاتة. فعايزين نوجد جتا س.

هنلاحظ إن إحنا عندنا في المطلوب ب الدالة ظتا، والدالة جا، والدالة جتا. فبالتالي علشان نجيب جتا س، فإحنا هنستخدم المتطابقة النسبية: ظتا س تساوي جتا س على جا س؛ بحيث إن جا س لا تساوي صفر. وإحنا عندنا ظتا س تساوي اتنين على، خمسة الجذر التربيعي لخمسة، وَ جا س بتساوي الجذر التربيعي لخمسة، على تلاتة. فهنعوّض مكانهم في المتطابقة اللي عندنا.

معنى كده هيبقى عندنا اتنين على، خمسة الجذر التربيعي لخمسة يساوي جتا س، على الجذر التربيعي لخمسة؛ على تلاتة. بعد كده هنضرب طرفَي المعادلة اللي عندنا في الجذر التربيعي لخمسة، على تلاتة؛ فهنلاقي جتا س تساوي اتنين على خمستاشر.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إن المعادلة بتكون متطابقة لو كان الطرف الأيسر بتاعها بيساوي الطرف الأيمن لكل قيم المتغيّر اللي موجود في المعادلة. وكمان عرفنا متطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية بتاعة الدوال المثلثية. وكمان استخدمناهم من خلال مثال علشان نوجد القيم الدقيقة للدوال المثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.