نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة حل 𝜃 التي تحقق قا 𝜃 يساوي سالب جذر اثنين إذا كانت 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأقل من ٣٦٠ درجة.
للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتذكر أن دالة القاطع هي مقلوب دالة جيب التمام؛ حيث قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة واحد على جتا 𝜃 يساوي سالب جذر اثنين. في المقابل، جتا 𝜃 يساوي سالب واحد على جذر اثنين. يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام الدوال المثلثية العكسية، بالإضافة إلى معرفتنا بمخطط الإشارات للدوال المثلثية والزوايا الخاصة.
بما أن قيمة جتا 𝜃 سالبة وتقع بين صفر وسالب واحد، فإننا نعلم أن لدينا حلين في الربعين الثاني والثالث. لعلنا نتذكر هنا أن جتا ٤٥ درجة يساوي واحدًا على جذر اثنين. ويمكننا استخدام هذه الحقيقة مع تماثل دالة جيب التمام في مخطط الإشارات للدوال المثلثية لإيجاد حلول المعادلة في الربعين الثاني والثالث.
قيمتا 𝜃 اللتان تحققان المعادلة جتا 𝜃 يساوي سالب واحد على جذر اثنين هي 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة ناقص ٤٥ درجة، و𝜃 تساوي ١٨٠ درجة زائد ٤٥ درجة. هذا يعطينا الحلين ١٣٥ درجة و٢٢٥ درجة.
تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان بإمكاننا أيضًا حل المعادلة بحساب الدالة العكسية لجيب تمام كلا الطرفين؛ حيث 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا لسالب واحد على جذر اثنين. بالتأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات وكتابة الطرف الأيسر، نحصل على الحل الأول وهو ١٣٥ درجة. بإمكاننا إذن إيجاد الحل الثاني بطرح هذه القيمة من ٣٦٠ درجة، ما يعطينا الحل الثاني وهو ٢٢٥ درجة.
في كلتا الحالتين، تكون مجموعة حل 𝜃 التي تحقق قا 𝜃 يساوي سالب جذر اثنين؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من ٣٦٠ درجة، هي ١٣٥ درجة و٢٢٥ درجة.
