فيديو السؤال: إيجاد صيغة محددة لمضاعفات الزاوية لدالة جيب التمام الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن جتا خمسة 𝜃 بدلالة قوى جتا 𝜃.

في هذا السؤال، نريد إيجاد تعبير لـ جتا خمسة 𝜃 بدلالة قوى جتا 𝜃. ومطلوب منا فعل ذلك باستخدام نظرية ديموافر. لذا، سنبدأ باسترجاع النظرية. تنص نظرية ديموافر على أنه لأي عدد صحيح ﻥ وقيمة حقيقية 𝜃، فإن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. إذا أردنا استخدام ذلك لإيجاد تعبير لـ جتا خمسة 𝜃، فيجب أن يتضمن هذا التعبير جتا خمسة 𝜃. ومن ثم، علينا أن نجعل قيمة العدد الصحيح ﻥ تساوي خمسة.

باستخدام نظرية ديموافر وجعل ﻥ يساوي خمسة، نحصل على جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس خمسة. لكن هذا التعبير لا يمثل جتا خمسة 𝜃. ومن الواضح أنه ليس مكتوبًا بدلالة قوى جتا 𝜃 فقط. لذا، علينا إعادة كتابته. نلاحظ أنه في الطرف الأيسر من المعادلة يمكننا توزيع الأس خمسة على القوسين. ولفعل ذلك، علينا أن نلاحظ أن لدينا حدين داخل القوسين. إذن، لدينا هنا مقدار ذو حدين. وعليه، فإن إحدى طرق توزيع الأس على القوسين هي استخدام صيغة ذات الحدين.

حسنًا، توضح الصيغة أنه لأي عدد صحيح موجب ﻥ، فإن ﺃ زائد ﺏ الكل أس ﻥ يساوي المجموع من ر يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ر في ﺃ أس ر في ﺏ أس ﻥ ناقص ر. بتطبيق نظرية ذات الحدين، يمكننا فك الطرف الأيسر من المعادلة. ونحصل بذلك على خمسة توافيق صفر في جتا أس خمسة 𝜃 زائد خمسة توافيق واحد مضروبًا في جتا أس أربعة 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 زائد خمسة توافيق اثنين في جتا تكعيب 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 الكل تربيع زائد خمسة توافيق ثلاثة في جتا تربيع 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 الكل تكعيب زائد خمسة توافيق أربعة في جتا 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 الكل أس أربعة زائد خمسة توافيق خمسة في ﺕ جا 𝜃 الكل أس خمسة.

يمكننا ملاحظة أننا نقترب من الإجابة. فقد أصبحت التعبيرات في الطرف الأيسر من المعادلة تتضمن قوى جتا 𝜃. لكن لدينا أيضًا قوى جا 𝜃. لذا، علينا التبسيط أكثر من ذلك. سنبدأ بتبسيط كل حد على حدة. في الحد الأول، خمسة توافيق صفر يساوي واحدًا. إذن، الحد الأول هو جتا أس خمسة 𝜃 فقط. لدينا في الحد الثاني خمسة توافيق واحد يساوي خمسة. وتذكر أن لدينا العامل ﺕ؛ ومن ثم، يبسط الحد الثاني ليصبح خمسة ﺕ في جتا أس أربعة 𝜃 في جا 𝜃. ولدينا في الحد الثالث خمسة توافيق اثنين يساوي ١٠. ويمكننا توزيع التربيع على القوسين. ونحصل بذلك على ﺕ تربيع في جا تربيع 𝜃.

لكن تذكر أن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. لذا، فإن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وبذلك، يبسط الحد الثالث إلى سالب ١٠ جتا تكعيب 𝜃 في جا تربيع 𝜃. ويمكننا إيجاد قيم الحدود الثلاثة الأخيرة في هذا المفكوك بالطريقة نفسها. وبذلك، تكون الحدود الثلاثة الأخيرة في هذا المفكوك هي سالب ١٠ﺕ جتا تربيع 𝜃 جا تكعيب 𝜃 زائد خمسة في جتا 𝜃 جا أس أربعة 𝜃 زائد ﺕ في جا أس خمسة 𝜃. ولا تنس أنه وفقًا لنظرية ديموافر، فإن هذا يساوي جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃.

حسنًا، إننا نريد استخدام هذا لإيجاد تعبير لـ جتا خمسة 𝜃. ولفعل ذلك، علينا ملاحظة أمر مثير للاهتمام هنا. الطرف الأيمن من هذه المعادلة عبارة عن عدد مركب، ونلاحظ أن جتا خمسة 𝜃 هو الجزء الحقيقي من هذا العدد المركب. لذا، يمكننا إيجاد تعبير لـ جتا خمسة 𝜃 باستخدام الجزء الحقيقي من الطرف الأيسر من هذه المعادلة. وهو عبارة عن كل الحدود التي لا تتضمن العامل ﺕ. ونحصل بذلك على جتا خمسة 𝜃 يساوي جتا أس خمسة 𝜃 ناقص ١٠ جتا تكعيب 𝜃 في جا تربيع 𝜃 زائد خمسة مضروبًا في جتا 𝜃 في جا أس أربعة 𝜃. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى تعبير لـ جتا خمسة 𝜃.

لكن تذكر أن السؤال يطلب منا أن نكتب الإجابة بدلالة قوى جتا 𝜃 فقط. ولفعل ذلك، علينا إيجاد تعبيرين لـ جا تربيع 𝜃 وجا أس أربعة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃. ويمكننا إجراء ذلك باستخدام المتطابقة المثلثية التالية. نحن نعلم أنه لأي قيمة لـ 𝜃، فإن جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بطرح جتا تربيع من كلا الطرفين، نحصل على جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃. ونظرًا لأننا نحتاج أيضًا تعبيرًا لـ جا أس أربعة 𝜃، يمكننا تربيع كلا الطرفين. ونحصل بذلك على جا أس أربعة 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃 الكل تربيع. يمكننا استخدام هذين التعبيرين لإعادة كتابة جا تربيع 𝜃 وجا أس أربعة 𝜃 بدلالة قوى جتا 𝜃.

وهذا يعطينا جتا خمسة 𝜃 يساوي جتا أس خمسة 𝜃 ناقص ١٠ جتا تكعيب 𝜃 في واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 زائد خمسة جتا 𝜃 في واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 الكل تربيع. والآن، أصبح التعبير يتكون من قوى جتا 𝜃 فقط، ومن ثم يمكننا التوقف هنا. لكن يمكننا تبسيط هذا التعبير بفك الأقواس بالتوزيع. بفك أول قوسين، نحصل على سالب ١٠ جتا تكعيب 𝜃 زائد ١٠ جتا أس خمسة 𝜃. وبتوزيع التربيع على ثاني قوسين، نحصل على واحد ناقص اثنين جتا تربيع 𝜃 زائد جتا أس أربعة 𝜃. وسيتعين علينا ضرب كل من هذه الحدود الثلاثة في خمسة جتا 𝜃. وبذلك، نحصل على خمسة جتا 𝜃 ناقص ١٠ جتا تكعيب 𝜃 زائد خمسة في جتا أس خمسة 𝜃.

والآن، لم يتبق أمامنا سوى تجميع الحدود المتشابهة. وبالقيام بذلك، نحصل على جتا خمسة 𝜃 يساوي ١٦ جتا أس خمسة 𝜃 ناقص ٢٠ جتا تكعيب 𝜃 زائد خمسة جتا 𝜃، وهذه هي الإجابة النهائية. في هذا السؤال، استخدمنا نظرية ديموافر لإيجاد تعبير لـ جتا خمسة 𝜃 بدلالة قوى جتا 𝜃 فقط. ولإجراء ذلك، تعين علينا إيجاد مفكوك المقدار باستخدام نظرية ذات الحدين ثم استخدمنا الأجزاء الحقيقية بطرفي المعادلة، وأخيرًا بسطنا المقدار باستخدام المتطابقات المثلثية. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن جتا خمسة 𝜃 يساوي ١٦ جتا أس خمسة 𝜃 ناقص ‎٢٠ جتا تكعيب 𝜃 زائد خمسة جتا 𝜃.