تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل نظام من ثلاث معادلات باستخدام المحددات

أحمد لطفي

استخدم المحدِّدات لحل النظام ٣ﺹ = −٣ + ٥ﻉ + ٥ﺱ ، ٥ﺱ = ٤ﺹ − ٣ﻉ ، ٢ﺱ − ٢ﺹ + ٢ﻉ = ٢.

١٠:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

باستخدام المحدِّدات، حل المعادلات: تلاتة ص بتساوي سالب تلاتة زائد خمسة ع زائد خمسة س، خمسة س بتساوي أربعة ص ناقص تلاتة ع، اتنين س ناقص اتنين ص زائد اتنين ع بتساوي اتنين.

في البداية هنعيد كتابة المعادلات عشان يكون عندنا س و ص و ع في نفس الجانب؛ يعني أول معادلة هتكون خمسة س ناقص تلاتة ص زائد خمسة ع بتساوي تلاتة، ودي تعتبر المعادلة الأولى. بالنسبة لتاني معادلة: خمسة س ناقص أربعة ص زائد تلاتة ع بتساوي صفر، ودي تعتبر تاني معادلة. بالنسبة لتالت معادلة: اتنين س ناقص اتنين ص زائد اتنين ع بتساوي اتنين، نقدر نختصر المعادلة عن طريق قسمة كل حد على اتنين؛ وبالتالي هيكون عندنا: س ناقص ص زائد ع بتساوي واحد، ودي هتعتبر المعادلة التالتة.

هنكتب المعادلات كمعادلة مصفوفة، عشان نكتب المعادلات كمعادلة مصفوفة، أول مصفوفة هتكون عبارة عن تلاتة في تلاتة، وهنكتب فيها معاملات س و ص و ع بالترتيب.

يعني أول معادلة: معامل س بيساوي خمسة فهنكتب خمسة، ومعامل ص بسالب تلاتة ومعامل ع بخمسة. تاني معادلة: معامل س بخمسة، معامل ص بسالب أربعة، معامل ع بتلاتة. تالت معادلة: معامل س بواحد، معامل ص بسالب واحد، معامل ع بواحد.

تاني مصفوفة هنكتب فيها س و ص و ع، والمصفوفة اللي في الطرف الآخر من علامة يساوي هنكتب فيها العدد اللي موجود في الطرف الآخر من علامة يساوي في كل معادلة، أول معادلة عندنا تلاتة، تاني معادلة صفر، وآخر معادلة واحد.

وبكده عشان نقدر نحل معادلة المصفوفة هنستخدم قاعدة كريمر، وقاعدة كريمر بتنص على إن س و ص و ع يمكن إيجادهم باستخدام: س هتساوي محدِّد 𝛥 س على محدِّد 𝛥، و ص هتساوي محدِّد 𝛥 ص على محدِّد 𝛥، و ع هتساوي محدِّد 𝛥 ع على محدِّد 𝛥. محدِّد 𝛥 هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات، محدِّد 𝛥 س هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات مع إبدال العمود الأول بعمود الثوابت، وعمود الثوابت هو عبارة عن العمود اللي بيحتوي على نتائج المعادلات، ومحدِّد 𝛥 ص هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات مع إبدال العمود التاني بعمود الثوابت، ومحدِّد 𝛥 ع هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات مع إبدال العمود التالت بعمود الثوابت؛ وبالتالي لو عايزين نوجد محدِّد 𝛥 ومحدِّد 𝛥 س ومحدِّد 𝛥 ص ومحدِّد 𝛥 ع …

أولًا هنوجد محدِّد 𝛥: محدِّد 𝛥 هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات، فهيكون بالشكل ده، هنفك المحدِّد من خلال الصف الأول، فالمحدِّد هيساوي … أول عنصر في الصف الأول هو خمسة، مضروبة في … هنحذف الصف الأول والعمود الأول فهيكون عندنا سالب أربعة في واحد، ناقص سالب واحد في تلاتة، ناقص، تاني عنصر في الصف الأول هو سالب تلاتة، مضروبة في … هنحذف الصف الأول والعمود التاني فهيكون عندنا خمسة في واحد، ناقص واحد في تلاتة، زائد، تالت عنصر في الصف الأول وهو خمسة، مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود التالت فيتبقى عندنا خمسة في سالب واحد، ناقص واحد في سالب أربعة؛ يعني هيساوي سالب خمسة، زائد ستة، ناقص خمسة، يعني هيساوي سالب أربعة، ويبقى محدِّد 𝛥 هيساوي سالب أربعة.

تاني خطوة هنوجد محدِّد 𝛥 س، ومحدِّد 𝛥 س هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات مع تبديل العمود الأول بعمود الثوابت، يعني محدِّد 𝛥 س هيكون بالشكل ده، هو محدِّد تلاتة سالب تلاتة خمسة، صفر سالب أربعة تلاتة، واحد سالب واحد واحد، هنفك المحدِّد من خلال العمود الأول؛ يعني محدِّد 𝛥 س هيساوي … أول عنصر في العمود الأول هو تلاتة، مضروب في … هنحذف العمود الأول والصف الأول فهيتبقى عندنا سالب أربعة في واحد، ناقص سالب واحد في تلاتة، ناقص … تاني عنصر في العمود الأول هو صفر، وبالتالي أي عدد مضروب في صفر هيساوي صفر، زائد … تالت عنصر في العمود الأول هو واحد، مضروب في … هنحذف العمود الأول والصف التالت، فهيتبقى عندنا سالب تلاتة في تلاتة، ناقص سالب أربعة في خمسة، يعني محدِّد 𝛥 س هيساوي سالب تلاتة زائد حداشر، يعني هيساوي تمنية.

بالتالي قدرنا نوجد محدِّد 𝛥 س، تالت حاجة هنوجد محدِّد 𝛥 ص، محدِّد 𝛥 ص هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات مع تبديل العمود التاني بعمود الثوابت، يعني محدِّد 𝛥 ص هيكون بالشكل ده، يعني محدِّد 𝛥 ص هيساوي: خمسة تلاتة خمسة، خمسة صفر تلاتة، واحد واحد واحد، هنفك محدِّد 𝛥 ص من خلال العمود التاني، يعني هيساوي … أول عنصر في العمود التاني هنكتبه بإشارة سالب، فهيكون عندنا سالب تلاتة، مضروب في … هنحذف العمود التاني والصف الأول، فهيكون عندنا خمسة في واحد، ناقص تلاتة في واحد، زائد … تاني عنصر في العمود التاني هو صفر، وبالتالي صفر مضروبة في أي عدد هيساوي صفر، ناقص … آخر عنصر في العمود التاني وهو واحد، مضروب في … هنحذف العمود التاني والصف التالت، فهيتبقى عندنا خمسة في تلاتة، ناقص خمسة في خمسة، يعني هيساوي سالب ستة زائد عشرة، يعني هيساوي أربعة؛ وبالتالي محدِّد 𝛥 ص هيساوي أربعة.

رابع حاجة هنوجد محدِّد 𝛥 ع، فمحدِّد 𝛥 ع هو عبارة عن محدِّد مصفوفة المعاملات مع تبديل العمود التالت بعمود الثوابت، يعني محدِّد 𝛥 ع هيكون بالشكل ده: خمسة سالب تلاتة تلاتة، خمسة سالب أربعة صفر، واحد سالب واحد وواحد، هنفك محدِّد 𝛥 ع من خلال العمود التالت، يعني هيساوي أول عنصر في العمود التالت هو تلاتة، هنحذف العمود التالت والصف الأول، فهيكون عندنا تلاتة مضروبة في: خمسة في سالب واحد، ناقص واحد في سالب أربعة، ناقص … تاني عنصر في العمود التالت هو صفر؛ وبالتالي صفر مضروبة في أي عدد هيساوي صفر، زائد … تالت عنصر في العمود التالت هو واحد، مضروب في … هنحذف العمود التالت والصف التالت فهيكون عندنا خمسة في سالب أربعة، ناقص خمسة في سالب تلاتة؛ يعني محدِّد 𝛥 ع هيساوي سالب تلاتة ناقص خمسة، يعني هيساوي سالب تمنية، ويبقى كده قدرنا نوجد محدِّد 𝛥 ع.

آخر خطوة هنوجد قيم س و ص و ع من خلال قاعدة كريمر، فـ س هتساوي محدِّد 𝛥 س على محدِّد 𝛥، يعني هتساوي تمنية على سالب أربعة، وبالتالي س هتساوي سالب اتنين.

و ص هتساوي محدِّد 𝛥 ص على محدِّد 𝛥، يعني هتساوي أربعة على سالب أربعة، يعني ص هتساوي سالب واحد.

و ع هتساوي محدِّد 𝛥 ع على محدِّد 𝛥، يعني هتساوي سالب تمنية على سالب أربعة؛ وبالتالي ع هتساوي اتنين.

وفي النهاية نكون قدرنا نوجد قيمة س بتساوي سالب اتنين، وقيمة ص بتساوي سالب واحد، وقيمة ع بتساوي اتنين.