فيديو: النموذج التجريبي الأول • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الرابع ب

النموذج التجريبي الأول • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الرابع ب

١٢:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

و أ ب ج هرم ثلاثي رؤوسه؛ و: صفر، وصفر، وصفر. وَ أ: أ، وصفر، وصفر. وَ ب: صفر، وَ ب، وصفر. وَ ج: صفر، وصفر، وَ ج. قاعدة الهرم هي المثلث أ ب ج. مساحة أ ب ج يساوي ق، ومساحة أوجه الهرم الجانبية: ل، وَ م، وَ ن. أثبت أن ق تربيع يساوي ل تربيع، زائد م تربيع، زائد ن تربيع.

مُعطى عندنا في السؤال إن فيه هرم ثلاثي. ومُعطى إحداثيات رؤوسه الأربعة. وبعدين بيعرّفنا إن مساحة قاعدة الهرم، اللي هي عبارة عن مثلث، مساحته بتساوي ق. أمّا مساحة الأوجه الجانبية؛ هي: ل، وَ م، وَ ن. والمطلوب منّنا إن إحنا نثبت العلاقة بين المساحات دي؛ إنها ق تربيع تساوي ل تربيع، زائد م تربيع، زائد ن تربيع.

بما إن ق هي مساحة قاعدة الهرم، فخلّينا نشوف إزَّاي أصلًا هنوجد مساحة قاعدة الهرم اللي هي على شكل مثلث. هنفتكر الاستخدام الهندسي لمعيار الضرب الاتجاهي لمتجهين. معيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين بيمثّلوا ضلعين في مثلث ما، ده هيساوي ضعف مساحة المثلث ده.

بمعنى لو بنتكلّم على المثلث أ ب ج. فنقدر نقول إن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج؛ هيساوي ضعف مساحة المثلث أ ب ج. يعني نقدر نستنتج مساحة المثلث أ ب ج؛ إنه هيبقى بيساوي نُصّ معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج.

أول حاجة محتاجين نعملها دلوقتي هي إننا نوجد المتجهين أ ب، وَ أ ج. المتجه أ ب هيساوي المتجه ب، ناقص المتجه أ. هنعوّض عن المتجه ب بإحداثيات النقطة ب، وعن المتجه أ بإحداثيات النقطة أ. وهنستنتج إن المتجه أ ب يساوي سالب أ، وَ ب، وصفر.

وبنفس الطريقة هنقدر نوجد المتجه أ [أ ج]‎؛ اللي هيكون بيساوي المتجه ج، ناقص المتجه أ. وهنعوّض عن المتجه ج بإحداثيات النقطة ج، وعن المتجه أ بإحداثيات النقطة أ. فهنلاقي إن المتجه أ ج يساوي سالب أ، وصفر، وَ ج.

دلوقتي بعد ما أوجدنا المتجه أ ب، والمتجه أ ج؛ عايزين نُجري عملية الضرب الاتجاهي للمتجهين.

عشان نوجد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين بنعمل محدّد؛ أول صف فيه بيكون متجه وحدة في اتجاه المحور س. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع. والصف التاني بيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه أ ب؛ اللي هي: سالب أ، وَ ب، وصفر. أمّا الصف التالت فبيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه التاني، اللي هو المتجه أ ج، اللي هي: سالب أ، وصفر، وَ ج.

عشان نوجد قيمة المحدّد، هنبتدي نفكّ باستخدام عناصر الصف الأول. وما ننساش قاعدة إشارات المحدّد. فهنلاقي إن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج. بيساوي ب ج في اتجاه متجه الوحدة س. زائد أ ج في اتجاه متجه الوحدة ص. زائد أ ب في اتجاه متجه الوحدة ع.

دلوقتي بعد ما أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج؛ عايزين نوجد بقى معيار حاصل الضرب الاتجاهي ده. فيبقى معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج. هيساوي الجذر التربيعي لِـ ب ج تربيع، زائد أ ج تربيع، زائد أ ب تربيع.

طب إحنا عايزين نرجع دلوقتي ونجيب مساحة المثلث أ ب ج. زيّ ما كان مُعطى عندنا في السؤال، مساحة المثلث أ ب ج هي ق. وبتساوي نُصّ معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ ج.

يعني نقدر نستنتج إن مساحة المثلث، اللي هي عبارة عن ق. هتساوي نُصّ في؛ الجذر التربيعي لِـ ب ج تربيع، زائد أ ج تربيع، زائد أ ب تربيع. ودي تبقى أول مساحة أوجدناها، اللي هي مساحة قاعدة الهرم، اللي هي مساحة المثلث أ ب ج. وخلّينا نسمّي المعادلة دي رقم واحد.

ونستخدم نفس الطريقة عشان نوجد مساحات الأوجه الجانبية للهرم. وبعدين نشوف إذا كانت العلاقة اللي مطلوب إن إحنا نثبتها دي بتتحقّق ولّا لأ.

ممكن نلخّص المعطيات اللي عندنا في السؤال. بالنسبة لإحداثيات رؤوس الهرم؛ كلها حطّيناها على الرسم. أمّا بالنسبة لمساحة قاعدة الهرم، اللي هي مُعطى إنها بتساوي ق، أوجدناها في العلاقة اللي سمّيناها المعادلة رقم واحد. ومُعطى في السؤال إن مساحة الأوجه الجانبية للهرم؛ هي: ل، وَ م، وَ ن. والمطلوب منّنا نثبت إن ق تربيع بتساوي ل تربيع، زائد م تربيع، زائد ن تربيع.

يبقى زيّ ما جِبنا مساحة قاعدة الهرم، اللي هي ق، عايزين نوجد مساحة الأوجه الجانبية؛ اللي هي: ل، وَ م، وَ ن.

عشان نوجد مساحات الأوجه الجانبية دي. محتاجين إن إحنا نوجد المتجهات و أ، وَ و ب، وَ و ج؛ اللي هنستعملها في حساب المساحات دي.

هنلاحظ حاجة؛ إن المتجهات اللي إحنا قلنا عليها دي كلها متجهات موضع. فمعناها إن المتجه و أ هو متجه الموضع للنقطة أ. يعني بيساوي بالظبط إحداثيات النقطة أ. يعني بيساوي أ، وصفر، وصفر.

وبنفس الطريقة هنلاقي إن المتجه و ب هو متجه الموضع للنقطة ب؛ واللي هيساوي صفر، وَ ب، وصفر. والمتجه و ج هيبقى متجه الموضع للنقطة ج. يعني بيساوي إحداثيات النقطة ج؛ اللي هي: صفر، وصفر، وَ ج.

هنفترض إن ل هي مساحة الوجه الجانبي للهرم اللي مظلّل عندنا ده. نقدر نوجد مساحته باستخدام المفهوم الهندسي لمعيار حاصل الضرب الاتجاهي. فهيبقى ل بيساوي نُصّ معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و أ، وَ و ب. اللي هم بيُعتبروا ضلعين في المثلث اللي عايزين نوجد مساحته.

أول حاجة عايزين نُجري عملية الضرب الاتجاهي للمتجهين و أ، وَ و ب. فبنكتب محدّد؛ أول صف فيه بيبقى عبارة عن متجه وحدة في اتجاه المحور س. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع. والصف التاني بيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه و أ؛ اللي هي: أ، وصفر، وصفر. والصف التالت هو إحداثيات المتجه و ب؛ اللي هي: صفر، وَ ب، وصفر.

بعد ما نوجد قيمة المحدّد، ما ننساش نستخدم قاعدة الإشارات. هنلاقي إن قيمته بتساوي أ ب في اتجاه متجه الوحدة ع. يبقى كده قدِرنا نوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و أ، وَ و ب. عايزين نوجد دلوقتي معيار حاصل الضرب الاتجاهي ده.

معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و أ، وَ و ب. هيساوي الجذر التربيعي لِـ أ ب الكل تربيع، اللي هيساوي أ ب. ومن العلاقة رقم اتنين نقدر نستنتج إن ل، اللي هي عبارة عن مساحة أحد الأوجه الجانبية للهرم، هتساوي نُصّ أ ب.

يبقى كده استنتجنا مساحة أول وجه من الأوجه الجانبية للهرم. هنستخدم نفس الطريقة عشان نوجد الوجهين الجانبيين المتبقيين.

بنفس الطريقة لو اعتبرنا إن م دي مساحة أحد الأوجه الجانبية اللي باقية للهرم اللي عندنا. واللي فيه المتجهين و أ، وَ و ج هم ضلعين من أضلاع المثلث. فنقدر نقول إن م هتساوي نُصّ حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و أ، وَ و ج.

والأول نوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين وأ، وَ و ج. هيبقى بيساوي المحدّد اللي أول صف فيه عبارة عن متجه وحدة في اتجاه المحور س. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع. والصف التاني بيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه و أ؛ اللي هي: أ، وصفر، وصفر. والصف التالت عبارة عن المتجه و ج؛ اللي إحداثياته: صفر، وصفر، وَ ج.

وهنبتدي نوجد قيمة المحدّد باستخدام عناصر الصف الأول، وما ننساش نستخدم قاعدة إشارات المحدّد. فهنلاقي إن قيمة المحدّد أو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و أ، وَ و ج؛ هيساوي أ ج في اتجاه متجه الوحدة ص.

دلوقتي عايزين نوجد معيار حاصل الضرب الاتجاهي اللي حصلنا عليه ده. هيبقى بيساوي الجذر التربيعي لِـ أ ج الكل تربيع، يعني بيساوي أ ج. وبالتعويض في المعادلة رقم تلاتة، هنلاقي إن م بتساوي نُصّ أ ج. كده يبقى باقي وجه واحد بس عايزين نوجد مساحته.

دلوقتي بنفترض إن مساحة آخِر وجه من الأوجه الجانبية للهرم هي ن. وبنفس الطريقة نقدر نستخدم المعنى الهندسي لمعيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين بيُعتبروا ضلعين في المثلث؛ نقدر نوجد مساحة المثلث. فهيبقى ن بيساوي نُصّ معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و ب، وَ و ج.

بعد كده عايزين نوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و ب، وَ و ج. هنعمل محدّد؛ أول صف فيه بيكون متجه وحدة في اتجاه المحور س. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع.

أمّا الصف التاني فبيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه الأول، اللي هو و ب، واللي إحداثياته: صفر، وَ ب، وصفر. وبعدين الصف اللي بعد كده بيبقى إحداثيات المتجه و ج؛ اللي هي: صفر، وصفر، وَ ج.

بعد كده هنوجد قيمة المحدّد باستخدام عناصر الصف الأول. ودايمًا نفتكر قاعدة إشارات المحدّد. فيبقى حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه و ب، والمتجه و ج؛ هيساوي ب ج في متجه الوحدة في اتجاه المحور س.

وبعد كده هنوجد معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين اللي عندنا. وهنلاقي إنه بيساوي الجذر التربيعي لِـ ب ج الكل تربيع، يعني بيساوي ب ج. وبالتعويض في المعادلة رقم أربعة، هنقدر نستنتج إن ن بتساوي نُصّ ب ج.

دلوقتي إحنا مطلوب منّنا إن إحنا نثبت إن ق تربيع بتساوي ل تربيع، زائد م تربيع، زائد ن تربيع. فخلّينا نشوف الطرف الأيمن على حدة قيمته هتبقى بإيه، والطرف الأيسر قيمته هتبقى بإيه. ونشوف هل الطرفين متساويين ولّا لأ.

بعد ما أوجدنا قيمة ق من المعادلة رقم واحد، عايزين دلوقتي نشوف ق تربيع. هنربّع المعادلة رقم واحد. فهنلاقي إن ق تربيع هتساوي ربع في؛ ب ج الكل تربيع، زائد أ ج الكل تربيع، زائد أ ب الكل تربيع. يبقى كده أوجدنا الطرف الأيمن للمعادلة.

دلوقتي عايزين نشوف الطرف الأيسر للمعادلة؛ اللي هو ل تربيع، زائد م تربيع، زائد ن تربيع.

من العلاقات رقم اتنين، وتلاتة، وأربعة. هنلاقي إن الطرف الأيسر هيصبح ربع أ ب الكل تربيع. زائد ربع أ ج الكل تربيع. زائد ربع ب ج الكل تربيع. ونقدر ناخد ربع عامل مشترك من الحدود التلاتة. فهيصبح الطرف الأيسر عبارة عن ربع في؛ أ ب الكل تربيع، زائد أ ج الكل تربيع، زائد ب ج الكل تربيع.

لمّا نقارن المعادلة رقم خمسة، اللي بتمثّل قيمة الطرف الأيمن من العلاقة المطلوب إثباتها. بالمعادلة رقم ستة، اللي بتمثّل الطرف الأيسر في المعادلة المطلوب إثباتها. هنلاقي إن من خمسة وستة الطرفين متساويين.

وبكده يبقى بالفعل قدِرنا نثبت إن ق تربيع يساوي ل تربيع، زائد م تربيع، زائد ن تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.