فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة كثيرة الحدود باستخدام قاعدة القوى | نجوى فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة كثيرة الحدود باستخدام قاعدة القوى | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة كثيرة الحدود باستخدام قاعدة القوى الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات العامة المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد(٢٥ﺱ^٢ − ٦٥ﺱ + ٣٦) ﺩﺱ.

٠٨:٢٥

نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل غير المحدد للدالة ٢٥𝑥 تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦ بالنسبة إلى ﺱ.

تعني هذه الصورة أننا بصدد البحث عن دالة تكون مشتقتها هي المقدار المشار إليه هنا، ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦. أول ما نلاحظه أننا يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكل حد على حدة. لماذا؟ حسنًا، إذا وجدنا دالة ينتج عن اشتقاقها ٢٥ﺱ تربيع، أي المشتقة العكسية لـ ٢٥ﺱ تربيع، والمشتقات العكسية للحدود الأخرى أيضًا، بمعنى التوصل إلى دالتين أخريين مشتقاتهما ٦٥ﺱ و٣٦ على التوالي، فإذا اشتققنا هذا التركيب من الدوال، الدالة ﺩ في المتغير ﺱ ناقص الدالة ﺭ في المتغير ﺱ زائد الدالة ﻑ في المتغير ﺱ، فإنه باستخدام خاصية الاشتقاق التي تنص على أن مشتقة مجموع عدة دوال أو الفرق بينها تساوي مجموع مشتقاتها أو الفرق بينها، فإننا نحصل على ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦.

قد تود إيقاف الفيديو هنا لبضع ثوان لتفكر في الأمر. وهذا المقدار التربيعي هو ما نود إيجاد مشتقته العكسية. إذن أصبحت المسألة أن نوجد ما يكون ناتج اشتقاقه هو ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦. وقد أوضحنا أنه بإمكاننا حل ذلك فقط لو استطعنا إيجاد المشتقات العكسية لكل من ٢٥ﺱ تربيع و٦٥ﺱ و٣٦ على حدة. وبذلك، نكون قد حولنا مسألة واحدة كبيرة إلى ثلاث مسائل أصغر.

فلنحاول إيجاد الدوال ﺩ وﺭ وﻑ بالخصائص المطلوبة. لاحظ أن كلًّا من هذه المشتقات هو مقدار وحيد الحد. أي إن جميعها في صورة ﺃ في ﺱ أس ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح. إذن لو تمكنا من إيجاد المشتقة العكسية لشيء بهذه الصيغة، نكون بذلك قد توصلنا للحل. هل يمكنك التفكير في دالة مشتقتها ٣٦ ؟ أوقف الفيديو قليلًا وفكر في الأمر.

إن ميل منحنى هذه الدالة عبارة عن ثابت. فهو دائمًا ٣٦، أينما كنت. ولذا، لا بد أن يكون تمثيلًا بيانيًّا لخط مستقيم. ومن ثم، يمكن للدالة ﻑ في المتغير ﺱ أن تساوي ٣٦ﺱ. والتمثيل البياني لهذه الدالة هو خط مستقيم ميله ٣٦. وبالفعل مشتقة الدالة تساوي ٣٦ إذا حسبتها. وبالطبع، الدالة ﻑ في المتغير ﺱ تساوي ٣٦ﺱ زائد واحد ستكون مناسبة أيضًا، وكذلك ٣٦ﺱ ناقص سبعة. في الواقع، أي ثابت سيكون مناسبًا هنا. وسنعود إلى هذا بعد قليل. لكن سنحاول الآن إيجاد الدالة ﺭ في المتغير ﺱ، التي ينتج عن اشتقاقها ٦٥ﺱ.

تذكر أنه عند محاولة إيجاد مشتقة دالة أسية للمتغير ﺱ، فإننا نقلل الأس بمقدار واحد. فمشتقة ﺱ أس ﻥ تساوي حاصل ضرب ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وبشكل عام، يمكننا إيجاد مشتقة ثابت مضروبًا في دالة أسية للمتغير ﺱ. مشتقة ﺃ في ﺱ أس ﻥ تساوي ﺃ في ﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. والآن، إذا قارنا هذا الطرف الأيسر، ﺃ في ﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد، مع ٦٥ﺱ، يمكننا ملاحظة أن ﺃ في ﻥ لا بد أن يساوي ٦٥. ومن معامل هذا الحد، وبالنظر إلى الأس، يمكننا ملاحظة أن ﻥ ناقص واحد لا بد أن يساوي واحدًا. ومن ثم، لا يكون من الصعب حل هاتين المعادلتين. فقيمة ﻥ لا بد أن تكون اثنين. وباستخدام هذه القيمة لـ ﻥ في المعادلة الأخرى، نرى أنه لا بد لـ ﺃ أن يساوي ٦٥ على اثنين. فما الذي ينتج عن اشتقاقه القيمة ٦٥ﺱ ؟ باستخدام قيم ﺃ وﻥ التي توصلنا إليها، نعلم أن الإجابة هي ٦٥ على اثنين ﺱ تربيع. ويمكنك التأكد، إن أردت، من أن هذه الدالة ينتج عن اشتقاقها بالفعل ٦٥ﺱ.

والآن مهمتنا الأخيرة هي إيجاد ما ينتج عن اشتقاقه ٢٥ﺱ تربيع. نقارن ٢٥ﺱ تربيع بـ ﺃ في ﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. ونلاحظ أن ﺃ في ﻥ لا بد أن يساوي ٢٥، وﻥ ناقص واحد يساوي اثنين. مرة أخرى، يمكننا حل ذلك بصورة مباشرة. ‏ﻥ يساوي ثلاثة وﺃ يساوي ٢٥ على ثلاثة. إذن فالدالة ﺩ للمتغير ﺱ، والتي على الصورة ﺃﺱ أس ﻥ، تساوي ٢٥ على ثلاثة ﺱ تكعيب. وقد أوجدنا الدالة ﺩ للمتغير ﺱ، والدالة ﺭ للمتغير ﺱ، والدالة ﻑ للمتغير ﺱ. تذكر أننا أثبتنا أن المشتقة العكسية التي نبحث عنها يمكن كتابتها بدلالة هذه الدوال ﺩ وﺭ وﻑ. ويمكننا التعويض بالمقادير التي أوجدناها لكل منها. هل هذا هو جوابنا إذن؟ ليس تمامًا.

فرغم أنه بإمكانك التأكد من أن اشتقاق ذلك بالفعل يعطينا ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦، هناك دوال أخرى تعطينا ذلك أيضًا. فلأي ثابت ﺙ، سواء كان واحدًا أو سالب سبعة أو أي عدد آخر، فإن الدالة ٢٥ على ثلاثة ﺱ تكعيب ناقص ٦٥ على اثنين ﺱ تربيع زائد ٣٦ﺱ زائد ﺙ، سينتج أيضًا عن اشتقاقها المقدار التربيعي المطلوب. وهذه هي المشتقة العكسية لـ ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦. أو بعبارة أخرى، هي التكامل غير المحدد لهذا المقدار التربيعي. علينا ألا ننسى زائد ﺙ.

وها نحن قد أجبنا عن هذه المسألة باستخدام ما نعرفه عن الاشتقاق. على سبيل المثال، في بداية الفيديو، أثبتنا باستخدام خصائص الاشتقاق أنه يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكل حد على حدة ثم تجميعها معًا. واستخدمنا أيضًا ما نعرفه عن مشتقة دالة وحيدة الحد، ﺃ في ﺱ أس ﻥ. ووجدنا أنه باستخدام هذه الصيغة، يمكننا كتابة بعض المعادلات الآنية باستخدام المعامل والأس، والتي يمكننا حلها بعد ذلك لإيجاد قيمتي ﺃ وﻥ اللتين نبحث عنهما.

ولكن بالتأكيد كان من الممكن أن يصبح الأمر أسهل إذا كنا نعرف ما يمكننا اشتقاقه للحصول على ﺃ في ﺱ أس ﻥ. كنا إذن سنتفادى حل معادلة في كل مرة. ويتضح أن ما علينا اشتقاقه لنحصل على ﺃ في ﺱ أس ﻥ هو ﺃ على ﻥ زائد واحد في ﺱ أس ﻥ زائد واحد. وهذه الصيغة تكون صحيحة طالما أن ﻥ لا يساوي سالب واحد. إذا كان ﻥ يساوي سالب واحد، فإنه يصبح لدينا صفر في المقام، وهذه تمثل مشكلة. يمكننا أيضًا التعبير عن هذه الصيغة الأخيرة باستخدام رمز التكامل غير المحدد، حيث من المهم — مرة أخرى — ألا ننسى زائد ﺙ.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية