فيديو: نظرية ذات الحدين

يوضح الفيديو ما نظرية ذات الحدين، وكيفية استخدام التوافيق لاستنتاجها، وكتابة صيغتها باستخدام رمز التجميع، ومثالًا عليها.

٠٩:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم عن ما يسمّى بنظرية ذات الحدين. إحنا لو عندنا القوس أ زائد ب الكل أُس ن. وعايزين نحسب المعاملات بتاعة المفكوك ده. ممكن نحسبها بطريقة من اتنين. الطريقة الأوّلانية هي مثلث باسكال. وبالرغم من إن الحسابات بالطريقة دي سهلة، لكنها حسابات كتيرة جدًّا. وخصوصًا لمّا ن تبقى رقم كبير، يعني مثلًا خمستاشر. فعشان نحسب المعاملات بتاعة القوس مرفوع لأس خمستاشر، هنضطر نحسب خمستاشر صف في مثلث باسكال. علشان نقدر نجيب المعاملات بتاعة الصف المناظر لـ ن بتساوي خمستاشر. ودي عمليات حسابية كتيره جدًّا. وده السبب اللي يخلّينا نستخدم نظرية ذات الحدين، اللي هي موضوع الفيديو ده.

طيب علشان نفهم نظرية ذات الحدين، هناخدها من خلال مثال صغير. لو عندنا أ زائد ب الكل أس تلاتة. وعايزين نحسب معامل أ ب تربيع. طبعًا المعامل ده ممكن نجيبه باستخدام مثلث باسكال. لكن من خلال المثال ده، عايزين نشوف نظرية ذات الحدين بتشتغل إزاي. أولًا القوس أ زائد ب الكل أس تلاتة. هنبصّ له كأنه حاصل ضرب تلات أقواس في بعض. اللي هم أ زائد ب، الكل مضروب في أ زائد ب، الكل مضروب في أ زائد ب.

دلوقتي إحنا عايزين نشوف الاحتمالات اللي تدّينا أ مضروبة في ب تربيع. طيب الاحتمالات دي ممكن تيجي من أ اللي في القوس الأوّلاني. تتضرب في ب اللي في القوس التاني. تتضرب في ب اللي في القوس التالت. هيطلع لنا أ ب تربيع. والمعامل بتاعها بيساوي واحد. الاحتمال التاني إن ب اللي في القوس الأوّلاني. تتضرب في أ اللي في القوس التاني. يتضربوا هم الاتنين في ب اللي في القوس التالت. هيدّينا أ ب تربيع. والمعامل بتاعها بيساوي واحد. يبقى إحنا عندنا مصدر تاني لـ أ ب تربيع، والمعامل بتاعه بيساوي واحد.

الاحتمال التالت والأخير، إن ب اللي في القوس الأوّلاني. تتضرب في ب اللي في القوس التاني. تتضرب في أ اللي في القوس التالت. يدّيني أ ب تربيع. والمعامل بتاعها بيساوي واحد. يبقى عندنا احتمال تاني المعامل بتاعه بيساوي واحد. لو جمّعنا التلات الاحتمالات دول، يطلع لنا إن المعامل بتاع أ ب تربيع بيساوي تلاتة. طيب نظرية ذات الحدين بتقول لنا إن اللي إحنا عملنا ده، هو محاولة لاختيار اتنين ب، من أصل تلاتة موجودين. يعني محاولة لاختيار احتمالين من أصل تلات احتمالات. والترتيب ما بينهم ما بيفرقش. كنا بنختار ب من القوس الأول، أو التاني، أو التالت. فعملية اختيار احتمال من مجموعة من الاحتمالات، حيث الترتيب ما بيفرقش، ممكن نحسبها باستخدام التوافيق.

فإحنا لو عايزين نختار احتمالين من أصل تلات احتمالات، والترتيب ما بيفرقش، هتبقى عبارة عن تلاتة ق اتنين. حيث ق تمثّل توافيق. والتوافيق بتقول إن المقدار ده يساوي مضروب تلاتة؛ على مضروب اتنين، في مضروب تلاتة ناقص اتنين، يعني هو مضروب واحد. لو حسبنا المقدار ده، يطلع يساوي تلاتة. وهي دي الفكرة اللي قايمة عليها نظرية ذات الحدين.

طيب في الصفحة اللي جاية، هنحاول نعيد كتابة الكلام اللي إحنا قلنا ده، باستخدام صيغة عامة. لو عندنا القوس أ زائد ب الكل أس ن. وعايزين نحسب معامل أ أس، ن ناقص ر، مضروبة في ب أس ر. نظرية ذات الحدين بتقول لنا إن المعامل بتاع الحد ده بيساوي ن ق ر. فلو عندنا مثلًا أ زائد ب الكل أس تسعة. لو عايزين نحسب معامل أ أس خمسة مضروبة في ب أس أربعة. فإحنا هنا عندنا ن بتساوي تسعة، وَ ر بتساوي أربعة. يبقى المعامل ده بيساوي تسعة ق أربعة. اللي هو بيساوي مية ستة وعشرين.

وكده ممكن نفكّ أيّ ذات حدين مرفوعة لأيّ أس، باستخدام النظرية دي. فلو عندنا أ أس [زائد] ب الكل أس ن. القوس ده بيساوي ن ق صفر، مضروبة في أ أس ن، في ب أس صفر. زائد ن ق واحد، مضروبة في أ أس، ن ناقص واحد، ب أس واحد. زائد ن ق اتنين، أ أس، ن ناقص اتنين، ب أس اتنين. وهكذا … لحدّ ن ق ن، مضروبة في أ أس صفر، في ب أس ن.

طيب في الصفحة اللي جاية، هناخد مثال على نظرية ذات الحدين. في المثال مطلوب نفكّ القوس: تلاتة س ناقص ص الكل أس أربعة. طيب القوس ده هنفكّه باستخدام نظرية ذات الحدين. إحنا هنا عندنا أ بتساوي تلاتة س. وَ ب بتساوي سالب ص. وَ ن تساوي أربعة.

يبقى إذن القوس ده بيساوي أربعة ق صفر في تلاتة س الكل أس أربعة، مضروبة في سالب ص أس صفر. كده ده الحد الأول. زائد أربعة ق واحد، في تلاتة س الكل أس تلاتة، في سالب ص الكل أس واحد. زائد أربعة ق اتنين، تلاتة س الكل أس اتنين، مضروبة في سالب ص الكل أس اتنين. زائد أربعة ق تلاتة، تلاتة س الكل أس واحد، مضروبة في سالب ص الكل أس تلاتة. وأخيرًا أربعة ق أربعة، في تلاتة س الكل أس صفر، مضروبة في سالب ص الكل أس أربعة.

لو بسّطنا المقادير دي، مفكوك القوس هيطلع بيساوي واحد وتمانين س أس أربعة. ناقص مية وتمنية س أس تلاتة ص. زائد أربعة وخمسين س تربيع ص تربيع. ناقص اتناشر س ص أس تلاتة. زائد ص أس أربعة. وده هيبقى مفكوك القوس، باستخدام نظرية ذات الحدين.

طيب آخِر حاجة هنقولها عن نظرية ذات الحدين، إن في الصفحة اللي جاية هنشوف طريقة جديدة لكتابة مفكوك ذات الحدين. طيب نظرية ذات الحدين كتبناها هنا مرة تانية. اللي كانت بتقول أ زائد ب الكل أس ن تساوي ن ق صفر، مضروبة في أ أس ن، ب أس صفر. زائد ن ق واحد، أ أس، ن ناقص واحد، ب أس واحد. وهكذا … لحدّ ن ق ن، أ أس صفر، ب أس ن.

طيب تسهيلًا للكتابة، فيه تعديلين هندخّلهم على نظرية ذات الحدين. أولًا: ن ق ر، بدل ما نكتبها بالمنظر ده، ممكن نكتبها في الصورة دي: قوس وفيه ن، وتحتيه ر؛ وبتتنطق ن فوق ر. التعديل التاني: إن المعادلة الطويلة دي، ممكن نكتبها باستخدام رمز التجميع 𝜎. فيبقى عندنا أ زائد ب الكل أس ن، تساوي مجموع ن فوق ر، مضروبة في أ أس، ن ناقص ر، ب أس ر. وحدود التجميع من ر تساوي صفر، إلى ر تساوي ن. ويبقى الصيغة دي هي نظرية ذات الحدين، لكن باستخدام رمز التجميع 𝜎.

كده في الفيديو ده إحنا استنتجنا نظرية ذات الحدين. واستخدمناها علشان نجيب مفكوك ذات حدين. وطبّقنا النظرية على مثال. وشُفنا صيغة كتابة، لنظرية ذات الحدين، باستخدام رمز التجميع 𝜎.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.