فيديو: النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن أ

النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن أ

٠٥:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

اكتب العدد: ع يساوي واحد زائد ت، على واحد ناقص ت؛ الكل أُس خمسة، في الصورة المثلثية. ثم أوجد جذريه التربيعيين في الصورة الأُسية.

السؤال بيحتوي على مطلوبين. المطلوب الأول إننا نكتب العدد المركب المعطى في الصورة المثلثية. وعشان نكتبه على الصورة المثلثية، فأول حاجة محتاجين نكتبه على الصورة الجبرية. الصورة العامة الجبرية للعدد المركب هي: ع بيساوي س زائد ص في ت. وبالتالي محتاجين نبسّط العدد المعطى للصورة الجبرية. فأول حاجة هنضرب في مرافق المقام، للتخلُّص من العدد التخيلي. فالعدد هيساوي واحد زائد ت على واحد ناقص ت، الكل في واحد زائد ت على واحد زائد ت؛ الكل أس خمسة. وده هيساوي واحد زائد ت في واحد زائد ت، الكل على واحد ناقص ت في واحد زائد ت؛ الكل أُس خمسة.

بضرب المقادير في البسط، ده هيساوي واحد زائد اتنين ت زائد ت تربيع. وَ ت تربيع بتساوي سالب واحد. يعني ممكن نقول إن البسط هيساوي واحد زائد اتنين ت ناقص واحد. بالنسبة للمقام، فحاصل ضرب المقدارين هيساوي الفرق بين مربعين. مربع الحدّ الأول اللي هو واحد تربيع، ناقص مربع الحدّ التاني اللي هو ت تربيع. واحد تربيع بيساوي واحد. ناقص … ت تربيع بيساوي سالب واحد.

يبقى العدد المركب هيساوي واحد زائد اتنين ت ناقص واحد، الكل على واحد ناقص سالب واحد؛ الكل أُس خمسة. ده هيساوي بعد إجراء العمليات اتنين ت على اتنين، الكل أُس خمسة. وباستخدام التبسيط، ده هيساوي ت أُس خمسة. ت أُس خمسة هتساوي ت أُس أربعة، في ت. وبما إن ت أُس أربعة بتساوي واحد، يبقى ممكن نقول إن العدد المركب المعطى في الصورة الجبرية هيساوي ت. يعني في الحالة دي س هتساوي صفر، وَ ص هتساوي واحد.

بعد كده نكتب العدد في الصورة المثلثية. الصورة المثلثية أو القطبية العامة هي: ع بتساوي ل في جتا 𝜃 زائد ت في جا 𝜃. حيث ل هو مقياس العدد، وبيساوي الجذر التربيعي لِـ س تربيع زائد ص تربيع. اللي في الحالة دي هيساوي الجذر التربيعي لصفر تربيع زائد واحد تربيع. يعني هيساوي واحد. أمّا 𝜃 فهي سعة العدد. وعشان نحسبها، محتاجين نشوف قيم س وَ ص. بما إن س بتساوي صفر، وَ ص أكبر من الصفر. فده معناه إن العدد المركب بيقع على الجزء الموجب من المحور التخيلي. في الحالة دي 𝜃 هتساوي 𝜋 على اتنين.

أو ممكن نوجدها باستخدام القاعدة: 𝜃 بتساوي الدالة العكسية لِـ ظا ص على س. اللي هتساوي في الحالة دي الدالة العكسية لِـ ظا واحد على صفر. يعني هتساوي الدالة العكسية لِـ ظا ما لا نهاية، اللي بيساوي 𝜋 على اتنين. وبكده يبقى أوجدنا ل وَ 𝜃. وبالتعويض بقِيَمهم في الصورة العامة المثلثية للعدد المركب … هتبقى الصورة المثلثية للعدد المركب المعطى هي: ع بتساوي جتا 𝜋 على اتنين، زائد ت في جا 𝜋 على اتنين.

المطلوب التاني إننا نوجد الجذور التربيعية للعدد في الصورة الأُسية. وعشان نوجد الجذور التربيعية للعدد، هنستخدم نظرية ديموافر. الجذر التريبعي لِـ ع أو ع أُس واحد على اتنين، حسب نظرية ديموافر، هيساوي … الجذر التربيعي لِـ ل مضروب في؛ جتا 𝜃 زائد اتنين 𝜋 ر على ك، زائد ت في جا 𝜃 زائد اتنين 𝜋 ر الكل على ك. حيث ك هو مقام الأُس النسبي. وفي الحالة دي هيساوي اتنين. وَ ر بتساوي صفر، واحد، اتنين، وهكذا … وسالب واحد، سالب اتنين، وهكذا …

وبما إن ك بتساوي اتنين، فهناخد قيمتين متتاليتين لِـ ر، ولْتكُن صفر وواحد. لمّا ر هتساوي صفر، هيبقى الجذر التربيعي لِـ ع يساوي الجذر التربيعي لِـ ل، اللي في الحالة دي بتساوي واحد. مضروبة في جتا 𝜃، اللي في الحالة دي بتساوي 𝜋 على اتنين. زائد اتنين 𝜋 في صفر الكل على اتنين. زائد ت في جا 𝜋 على اتنين، زائد اتنين 𝜋 في صفر، الكل على اتنين.

الجذر التربيعي لواحد هيساوي واحد. وَ 𝜋 على اتنين زائد اتنين 𝜋 في صفر الكل على اتنين، هيساوي 𝜋 على اتنين الكل على اتنين. يعني هيساوي 𝜋 على أربعة. فالجذر التربيعي لِـ ع، لمّا ر هتساوي صفر، هيساوي بعد التبسيط جتا 𝜋 على أربعة، زائد ت في جا 𝜋 على أربعة. وبالمثل لمّا ر هتساوي واحد، هيبقى الجذر التربيعي لِـ ع بيساوي الجذر التربيعي لواحد. مضروب في جتا 𝜋 على اتنين زائد اتنين 𝜋 في واحد، الكل على اتنين. زائد ت في جا 𝜋 على اتنين زائد اتنين 𝜋 في واحد، الكل على اتنين. وده هيساوي بعد التبسيط، جتا خمسة 𝜋 على أربعة، زائد ت في جا خمسة 𝜋 على أربعة.

كده نبقى أوجدنا جذريه التربيعيين. واتبقّى نحوّلهم للصورة الأُسية. الصورة الأُسية للعدد المركب حسب صيغة أويلر هي: ع بتساوي ل في هـ أُس 𝜃 ت. ل في الحالة دي هتساوي الجذر التربيعي لواحد، اللي بيساوي واحد. أمّا 𝜃، فهتساوي 𝜋 على أربعة لمّا ر بتساوي صفر، وخمسة 𝜋 على أربعة لمّا ر بتساوي واحد. يبقى الجذر التربيعي لِـ ع لمّا ر تساوي صفر، هو هـ أُس 𝜋 على أربعة في ت. ولمّا ر بتساوي واحد، يبقى هـ أُس خمسة 𝜋 على أربعة في ت. وبكده نبقى حلينا المطلوب التاني.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.