فيديو السؤال: اشتقاق تركيب من الدوال الأسية والمثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي اثنين مرفوعًا للقوة سالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جا ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لدينا الدالة ﺹ وهي دالة معقدة إلى حد ما، حيث إن الأس عبارة عن دالة في ﺱ. من الممكن استخدام قاعدة السلسلة لاشتقاق ﺹ، لكننا سنستخدم طريقة بديلة. هذه الطريقة هي الاشتقاق اللوغاريتمي. لكن كيف نفعل ذلك؟ حسنًا، إذا كانت لدينا الدالة ﺹ، وهي دالة في ﺱ، فإن الخطوة الأولى هي تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا الطرفين: حيث يكون اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩ ﺱ، مع تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي يعني اللوغاريتم للأساس ﻫ، حيث ﻫ عدد أويلر ويساوي نحو ٢٫٧١٨٢٨ وهكذا.

في هذه الحالة، الدالة ﺹ تساوي اثنين مرفوعًا للقوة سالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جا ﺱ. ولكي تكون الخطوة الأولى هذه صحيحة، وهي حساب اللوغاريتم الطبيعي، علينا تحديد أن ﺹ أكبر من صفر. ذلك لأن دالة اللوغاريتم غير موجودة عند القيم السالبة، ولوغاريتم الصفر غير معرف. وبما أن اثنين مرفوعًا لأي قوة يساوي قيمة موجبة، فإن ﺹ بالتأكيد أكبر من صفر.

لقد حسبنا اللوغاريتم الطبيعي، لكن الدالة تبدو معقدة أكثر مما كانت عليه في البداية. لكن في هذه المرحلة، من المفيد تطبيق قوانين اللوغاريتمات. وخطوتنا الثانية هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتبسيط الطرف الأيسر أو فكه. وبما أن الدالة الأصلية تحتوي على أس معقد، يمكننا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات لتبسيط ذلك. تنص قاعدة القوى على أن لوغاريتم ﺏ مرفوعًا للقوة ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺟ في لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. بعبارة أخرى، نضع الأس أمام اللوغاريتم ونضربه فيه.

في هذه المسألة، الأس هو سالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جا ﺱ. وبتطبيق قاعدة القوة، نضع هذا الأس أمام اللوغاريتم ونضربه فيه. وبذلك يصبح لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي سالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جا ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. إذن، في الطرف الأيسر، لدينا الثابت، أي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين، مضروبًا في سالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جا ﺱ، وهو دالة في ﺱ. ونحن نعرف كيف نشتق هذا المقدار.

وهذا يقودنا إلى الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. وبإفراغ بعض المساحة، في الطرف الأيسر، يمكننا إخراج اللوغاريتم الطبيعي لاثنين بما أنه ثابت. وبما أن مشتقة مجموع عدة دوال هي مجموع المشتقات، نحصل على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﺩ على ﺩﺱ لسالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد ﺩ على ﺩﺱ لـ جا ﺱ. ومرة أخرى، بما أن سالب تسعة هنا ثابت، يمكننا وضعه بالخارج. والآن، وبإفراغ بعض المساحة، أول ما نريد اشتقاقه في الطرف الأيسر هو ﻫ أس تسعة ﺱ. ولفعل ذلك، يمكننا استخدام النتيجة المعروفة لـ ﻉ، وهي دالة في ﺱ قابلة للاشتقاق، حيث ﺩ على ﺩﺱ لـ ﻫ أس ﻉ يساوي ﺩﻉ على ﺩﺱ في ﻫ أس ﻉ.

وفي حالتنا هذه، لدينا ﻉ يساوي تسعة ﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي تسعة. إذن، لدينا ﺩ على ﺩﺱ لـ ﻫ أس تسعة ﺱ يساوي تسعة، أي ﺩﻉ على ﺩﺱ، في ﻫ أس تسعة ﺱ. والحد الثاني في الطرف الأيسر هو ﺩ على ﺩﺱ لـ جا ﺱ. ونعلم أن ﺩ على ﺩﺱ لـ جا ﺱ يساوي جتا ﺱ. وفي الطرف الأيمن، لدينا المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ. لكن تذكر أن ﺹ هي دالة في ﺱ. ومرة أخرى، يمكننا استخدام النتيجة المعروفة لاشتقاق ذلك؛ لأن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺱ حيث ﻉ دالة في ﺱ قابلة للاشتقاق تساوي واحدًا على ﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، حيث ﻉ أكبر من صفر.

إذن، في الطرف الأيمن، لدينا واحد على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهذا يساوي الطرف الأيسر وهو اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في سالب تسعة في تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جتا ﺱ. وسالب تسعة في تسعة يساوي سالب ٨١، وبذلك نكون قد اقتربنا من الإجابة لكننا لم ننته بعد.

الخطوة الأخيرة هي إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. يمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن لدينا عاملًا يساوي واحدًا على ﺹ في الطرف الأيسر. وللتخلص من ذلك، يمكننا ضرب كلا الطرفين في ﺹ. في الطرف الأيمن، خارج قسمة هذا يساوي واحدًا، وفي الطرف الأيمن، علينا إعادة كتابة الدالة الأصلية ﺹ حيث إذا كان ﺹ يساوي اثنين أس سالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جا ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين مرفوعًا للقوة سالب تسعة ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جا ﺱ في سالب ٨١ﻫ أس تسعة ﺱ زائد جتا ﺱ الكل مضروب في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.