فيديو السؤال: تبسيط الأعداد المركبة وتحديد موضعها على مخطط أرجاند الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في أي ربع في مستوي أرجاند يقع العدد المركب سبعة زائد تسعة ﺕ على ثلاثة ناقص أربعة ﺕ؟

يشبه مستوى أرجاند إلى حد كبير المستوى الكارتيزي، لكن يختلف مفهوم محوريه الأفقي والرأسي. نستخدم المحور الأفقي على مستوى أرجاند لتمثيل الجزء الحقيقي من العدد المركب. ونستخدم المحور الرأسي لتمثيل الجزء التخيلي من العدد المركب. فعلى سبيل المثال، العدد المركب ﻉ يساوي ثلاثة زائد أربعة ﺕ، بالجزء الحقيقي ثلاثة والجزء التخيلي أربعة، سيقع عند نقطة بالإحداثيين ثلاثة، أربعة. وتقع هنا تقريبًا في الربع الأول من مخطط أرجاند.

لتحديد الربع الذي يقع فيه العدد المركب سبعة زائد تسعة ﺕ على ثلاثة ناقص أربعة ﺕ من الأرباع الأربعة، علينا التفكير في إشارتي جزأيه الحقيقي والتخيلي. ولكن في الواقع، لن يمكننا إجراء ذلك مباشرة؛ لأن العدد المركب هنا غير معطى بالصورة العامة ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. لذا، علينا التفكير في كيفية التعامل مع هذا العدد المركب لتحويله إلى الصورة القياسية أولًا.

هناك حيلة يمكننا استخدامها لإجراء ذلك. وهي تشبه إلى حد ما إنطاق المقام في جذر أصم. نريد أن نجعل مقام هذا الكسر عددًا حقيقيًّا. إذن، لا بد أن يكون الجزء التخيلي صفرًا. ولإجراء ذلك، نضرب في المرافق المركب للمقام. تذكر أن المرافق المركب للصورة العامة للعدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ هو العدد المركب ﺃ ناقص ﺏﺕ. لقد غيرنا إشارة الجزء التخيلي وحسب، وعليه، فإن المرافق المركب لثلاثة ناقص أربعة ﺕ هو ثلاثة زائد أربعة ﺕ.

لكننا لن نضرب مقام الكسر فقط في هذا العدد المركب؛ لأن ذلك سيغير قيمة الكسر. بل سنضرب البسط أيضًا في العدد المركب نفسه، أي إننا نضرب في واحد بشكل عام، وبالتالي نحصل على قيمة مكافئة. إذن، لدينا الآن المقدار سبعة زائد تسعة ﺕ مضروبًا في ثلاثة زائد أربعة ﺕ على ثلاثة ناقص أربعة ﺕ مضروبًا في ثلاثة زائد أربعة ﺕ. علينا الآن فك الأقواس. وسنبدأ بالمقام لكي نذكر أنفسنا بسبب الضرب في مرافق العدد المركب.

في المقام، بضرب الحدين الأولين معًا نحصل على تسعة. وبضرب الطرفين معًا، نحصل على ثلاثة مضروبًا في أربعة ﺕ يساوي ١٢ﺕ. ثم نضرب الوسطين معًا، فنحصل على سالب ١٢ﺕ. وأخيرًا، ضرب الحدين الأخيرين معًا يعطينا سالب ١٦ﺕ تربيع. في مركز المفكوك، نرى أن لدينا زائد ١٢ﺕ ناقص ١٢ﺕ. وهذان الحدان يلغي كل منهما الآخر.

لعلنا نتذكر الحقيقة الأساسية التي توضح أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، لدينا تسعة ناقص ١٦ مضروبًا في سالب واحد. وهو ما يساوي تسعة زائد ١٦، أي ٢٥. النقطة الأساسية هنا هي أنه عند ضرب ثلاثة ناقص أربعة ﺕ في مرافقه المركب ثلاثة زائد أربعة ﺕ، نحصل على عدد حقيقي. فالجزء التخيلي للناتج هو صفر. وهذا توضيح للنتيجة العامة التي تفيد أنه إذا أخذنا عددًا مركبًا ﺃ زائد ﺏﺕ وضربناه في مرافقه المركب ﺃ ناقص ﺏﺕ، فسنحصل على العدد الحقيقي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. ونلاحظ أنه في هذه الحالة نحصل على العدد ٢٥، وهو ما يساوي ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع.

إذن، لدينا الآن عدد حقيقي في مقام الكسر. وعلينا الآن فك الأقواس في البسط. ونحصل بذلك على ٢١ زائد ٢٨ﺕ زائد ٢٧ﺕ زائد ٣٦ﺕ تربيع. وبتذكر أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد مرة أخرى، يمكننا تبسيط هذا المقدار إلى ٢١ زائد ٥٥ﺕ زائد ٣٦ مضروبًا في سالب واحد. ويعطينا هذا ٢١ ناقص ٣٦، وهو ما يساوي سالب ١٥، زائد ٥٥ﺕ.

إذن، بضرب كل من بسط ومقام هذا الكسر في المرافق المركب للمقام، وجدنا أن هذا العدد المركب يكافئ العدد المركب سالب ١٥ زائد ٥٥ﺕ على ٢٥. تذكر أن الغرض من إجراء ذلك هو أن نتمكن من تحديد إشارتي الجزأين الحقيقي والتخيلي للعدد المركب. بفصل الجزأين الحقيقي والتخيلي إلى كسرين منفصلين ثم تبسيطهما، نجد أن العدد المركب يكافئ سالب ثلاثة أخماس زائد ١١ على خمسة ﺕ.

وبهذا نجد أن الجزء الحقيقي للعدد المركب ﻉ هو سالب ثلاثة أخماس، أي أن إشارته سالبة. والجزء التخيلي للعدد المركب ﻉ هو ١١ على خمسة، أي إن إشارته موجبة. بالتالي، يمكن تحديد العدد المركب على مستوى أرجاند بقيمة سالبة على المحور الحقيقي وقيمة موجبة على المحور التخيلي؛ ما يعني أنه سيكون في الربع الثاني.

إذن، أوجدنا أولًا مقدارًا مكافئًا للعدد المركب بضرب كل من البسط والمقام في المرافق المركب للمقام. وبتحديد إشارتي جزأيه الحقيقي والتخيلي بعد ذلك، وجدنا أن العدد المركب سبعة زائد تسعة ﺕ على ثلاثة ناقص أربعة ﺕ يقع في الربع الثاني من مستوى أرجاند.