نسخة الفيديو النصية
أوجد مجال الدالة ﺩ ﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا استخدام تعريف مجال الدالة. مجال الدالة هو مجموعة القيم المدخلة التي تكون الدالة معرفة عليها. إذن، مجال الدالة سيكون مجموعة قيم ﺱ التي يعرف عليها الجذر التربيعي لـ ﺱ. ومن ثم، يصبح السؤال ما قيم ﺱ التي يعرف عليها الجذر التربيعي لـ ﺱ؟
الجذر التربيعي لأربعة معرف. فهو يساوي اثنين. ومن ثم، يقع العدد أربعة في مجال الدالة. الجذر التربيعي لاثنين عدد غير نسبي، لكنه موجود بالفعل في صورة عدد حقيقي. إذن، يقع العدد اثنان في مجال الدالة. والجذر التربيعي لصفر يساوي صفرًا. ومن ثم، الجذر التربيعي لصفر يكون معرفًا، والعدد صفر يقع في المجال. لا يقتصر ذلك على الأعداد الصحيحة فقط. فالجذر التربيعي لثلثين يكون معرفًا، ومن ثم فهو يقع في المجال. كذلك الجذر التربيعي لعدد غير نسبي، مثل 𝜋، يكون معرفًا أيضًا.
لفهم ذلك، تخيل مربعًا تزداد مساحته باستمرار من نقطة واحدة. بعد فترة من الزمن، أصبحت مساحة المربع تساوي واحدًا. وبذلك، نعرف أن أطوال أضلاع المربع لا بد أن تساوي الجذر التربيعي لهذه المساحة، أي الجذر التربيعي لواحد. لكن أثناء زيادة مساحة المربع من تلك النقطة، حيث تتحول المساحة من صفر إلى واحد، لا بد أن مساحة المربع كانت تساوي ثلثين في لحظة ما.
ومن ثم، لا بد أن طول أحد أضلاع هذا المربع يساوي الجذر التربيعي لثلثين. لذا، نلاحظ أنه يجب أن توجد قيمة للطول تساوي عددًا حقيقيًّا يناظر الجذر التربيعي لثلثين.
افترض أن مساحة المربع تستمر في الزيادة إلى أن تصبح في لحظة ما تساوي اثنين. ومن ثم، فإن أطوال أضلاع المربع ستساوي الجذر التربيعي لاثنين. وإذا استمرت المساحة في الزيادة، فستساوي أربعة وتكون أطوال الأضلاع تساوي الجذر التربيعي لأربعة، وهو ما يساوي اثنين كما نعلم. ولكن عند نقطة ما عند زيادة المساحة من اثنين إلى أربعة، فإن مساحة المربع ستساوي 𝜋. وستكون أطوال أضلاع ذلك المربع عند تلك اللحظة هي الجذر التربيعي لـ 𝜋.
ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن الجذر التربيعي لـ ﺱ يكون معرفًا لأي قيمة حقيقية غير سالبة لـ ﺱ. فإذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، فنحن على صواب. ولكن ماذا لو كان ﺱ أقل من صفر؟ إذا كتبنا الجذر التربيعي لسالب واحد على الآلة الحاسبة، فسنحصل على الأرجح على رسالة خطأ. فالجذر التربيعي لسالب واحد غير معرف؛ لأنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب واحد.
لا يمكن أن يكون الجذر التربيعي لسالب واحد عددًا موجبًا؛ لأن ضرب عدد موجب في عدد موجب يعطينا عددًا موجبًا آخر. لكننا نريد أن يكون الجذر التربيعي لسالب واحد في الجذر التربيعي لسالب واحد يساوي سالب واحد، أي عددًا سالبًا. لكن لا يمكن أن يكون الجذر التربيعي لسالب واحد عددًا سالبًا؛ لأن ضرب عدد سالب في عدد سالب يعطينا عددًا موجبًا أيضًا.
لإكمال الحل، علينا أيضًا القول إن الجذر التربيعي لسالب واحد لا يساوي صفرًا؛ فالعدد صفر ليس موجبًا ولا سالبًا. لقد أوضحنا أنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه هو سالب واحد. وبذلك، لا يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لسالب واحد. وهذا لا ينطبق على سالب واحد فقط. لكنه في الحقيقة ينطبق على أي عدد سالب.
إذا كان ﺱ أقل من صفر، فإن الجذر التربيعي لـ ﺱ غير معرف. إذن، مجال الدالة، أي مجموعة القيم التي يكون الجذر التربيعي لـ ﺱ معرفًا عليها، هو مجموعة قيم ﺱ حيث يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. ونكتب ذلك على صورة ترميز الفترة، أي صفر، ما لا نهاية بين قوس فترة مغلقة وقوس فترة مفتوحة.
تشير حقيقة أننا نستخدم قوس فترة مغلقة إلى أن طرف الفترة، أي العدد صفرًا، يقع ضمن المجال، في حين أن الطرف الآخر، أي ما لا نهاية، غير مضمن في المجال، وهو ما نوضحه باستخدام قوس فترة مفتوحة.
