فيديو السؤال: إيجاد إحداثيات نقطة تقسم قطعة مستقيمة من الخارج بنسبة معطاة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت النقطة ﺃ لها الإحداثيات ثلاثة، سالب اثنين، والنقطة ﺏ لها الإحداثيات سالب اثنين، أربعة، فأوجد إحداثيات النقطة ﺟ التي تقسم المتجه ﺃﺏ من الخارج بنسبة أربعة إلى ثلاثة.

حسنًا، لدينا هنا إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ، وعلمنا أنه توجد نقطة ثالثة ﺟ، تقسم ﺃﺏ من الخارج بنسبة أربعة إلى ثلاثة. هذا يعني أن النقطة ﺟ لا تقع على القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين ﺃ وﺏ، بل تقع على امتدادها، بعبارة أخرى، النقطة ﺟ تقع في مكان ما هنا.

والآن دعونا نفكر في معنى أن النقطة ﺟ تقسم ﺃﺏ من الخارج بنسبة أربعة إلى ثلاثة. في الواقع، هذا يعني أن النسبة بين الطول ﺃﺟ إلى الطول ﺏﺟ هي أربعة إلى ثلاثة. يمكننا حل هذه المسألة بطريقتين، إحداهما طريقة منهجية باستخدام صيغة التقسيم حيث يكون التقسيم من الخارج، والطريقة الأخرى غير منهجية إلى حد ما لكنها تعتمد على المنطق.

دعونا نبدأ بتناول صيغة التقسيم. هذه الصيغة توضح أنه لأي نقطتين مختلفتين ﺃ التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺏ التي إحداثياتها ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، فإنه إذا كانت النقطة ﻝ -التي لا تقع على القطعة المستقيمة ﺃﺏ- تقسم القطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ بحيث تكون نسبة الطول ﺃﻝ إلى الطول ﻝﺏ تساوي ﻡ إلى ﻥ، فإن إحداثيات النقطة ﻝ هي ﻡﺱ اثنان ناقص ﻥﺱ واحد على ﻡ ناقص ﻥ، ﻡﺹ اثنان ناقص ﻥﺹ واحد على ﻡ ناقص ﻥ.

دعونا الآن نر إذا ما كان بإمكاننا إيجاد قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، وﻡ وﻥ في هذه المسألة. حسنًا، ﺃ هي النقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺏ هي النقطة التي إحداثياتها ﺱ اثنان، ﺹ اثنان. ولدينا صيغة توضح أن النسبة بين الطول ﺃﻝ إلى الطول ﻝﺏ تساوي ﻡ إلى ﻥ. وفي الحالة التي لدينا هنا، ستكون هذه هي النسبة بين الطول ﺃﺟ إلى الطول ﺟﺏ. ولقد كتبنا بالفعل أن النسبة بين الطول ﺃﺟ إلى الطول ﺏﺟ، وهي نفس القطعة المستقيمة لكننا نتحرك في الاتجاه المعاكس، تساوي أربعة إلى ثلاثة. هذا يعني أن قيمة ﻡ تساوي أربعة وقيمة ﻥ تساوي ثلاثة.

يمكننا الآن تطبيق صيغة التقسيم؛ حيث يكون التقسيم من الخارج، لإيجاد إحداثيات النقطة ﺟ. بالنسبة إلى قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة ﺟ، لدينا ﻡ مضروبًا في ﺱ اثنين، أي أربعة مضروبًا في سالب اثنين، ناقص ﻥ مضروبًا في ﺱ واحد، أي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة، على ﻡ ناقص ﻥ، أي أربعة ناقص ثلاثة. وبالنسبة إلى قيمة الإحداثي ﺹ، فلدينا ﻡ في ﺹ اثنين، أي أربعة مضروبًا في أربعة، ناقص ﻥ مضروبًا في ﺹ واحد، أي ثلاثة مضروبًا في سالب اثنين، على ﻡ ناقص ﻥ، أي أربعة ناقص ثلاثة.

بالتبسيط، يصبح لدينا سالب ثمانية ناقص تسعة على واحد، وهذه هي قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة ﺟ، و ١٦ زائد ستة على واحد وهذه هي قيمة الإحداثي ﺹ، ويمكن تبسيط ذلك إلى النقطة التي إحداثياها سالب ١٧، ٢٢.

حسنًا، لقد استخدمنا الطريقة المنهجية لحل هذا السؤال، لكن دعونا نفكر أيضًا في طريقة أقل منهجية إلى حد ما. إذا كانت نسبة طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ إلى طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ هي أربعة إلى ثلاثة، فإن نسبة الطول ﺃﺏ إلى الطول ﺏﺟ هي واحد إلى ثلاثة. يمكننا بعد ذلك التفكير في المسافة والاتجاه الذي علينا التحرك فيه للانتقال من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ. حسنًا، علينا التحرك بمقدار خمس وحدات إلى اليسار بحيث تتغير قيمة الإحداثي ﺱ من ثلاثة إلى سالب اثنين، والتحرك ست وحدات لأعلى بحيث تتغير قيمة الإحداثي ﺹ من سالب اثنين إلى أربعة.

إذا كان الطول ﺏﺟ يساوي ثلاثة أمثال الطول ﺃﺏ، فسيكون علينا التحرك ثلاثة أمثال هاتين المسافتين في نفس الاتجاه؛ لكي ننتقل من النقطة ﺏ إلى النقطة ﺟ. هذا يعني أن علينا التحرك بمقدار ١٥ وحدة إلى اليسار و ١٨ وحدة إلى أعلى. ومن ثم يمكننا إيجاد إحداثيات النقطة ﺟ بطرح ١٥ من قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة ﺏ، وإضافة ١٨ إلى قيمة الإحداثي ﺹ لنفس النقطة. وبهذا يصبح لدينا سالب اثنين ناقص ١٥ وهذه هي قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة ﺟ، وأربعة زائد ١٨ وهي قيمة الإحداثي ﺹ؛ لنحصل مرة أخرى على النقطة التي إحداثياها سالب ١٧، ٢٢.

إذن باستخدام صيغة التقسيم؛ حيث يكون التقسيم من الخارج، واستخدام طريقة أقل منهجية إلى حد ما، أوضحنا أن إحداثيي النقطة ﺟ التي تقسم المتجه ﺃﺏ من الخارج بنسبة أربعة إلى ثلاثة، هي سالب ١٧، ٢٢.