فيديو الدرس: اتزان جسم جاسئ تحت تأثير ازدواجين مستويين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتحقق من اتزان جسم جاسئ يقع تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر. سنبدأ بتذكر تعريف كل من الازدواجات المستوية والاتزان. وسنذكر أنفسنا أيضًا بكيفية التحليل رأسيًا وأفقيًا، وحساب العزوم حول نقطة ما.

يكون النظام في حالة اتزان تحت تأثير قوتين أو أكثر إذا ظل ساكنًا. عندما يكون النظام في حالة اتزان، لا توجد قوة محصلة؛ ومن ثم لا توجد عجلة. يعني هذا أنه عند التحليل أفقيًا، فإن مجموع القوى في الاتجاه ﺱ يساوي صفرًا. وعند التحليل أفقيًا، عادة ما نعتبر الاتجاه إلى اليمين هو الاتجاه الموجب. بالطريقة نفسها، عند التحليل رأسيًا، فإن مجموع القوى في الاتجاه ﺹ يساوي صفرًا أيضًا. لكن هذه المرة، عادة ما نعتبر الاتجاه لأعلى هو الاتجاه الموجب.

نعلم أيضًا أنه عندما يكون النظام في حالة اتزان ونريد حساب العزوم حول نقطة ما، فإن مجموع العزوم يساوي صفرًا. في هذه الحالة، عادة ما نعتبر أن العزوم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبة. نعلم أن عزم القوة يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية بين خط عملها ومحور الدوران. هذا يعطينا المعادلة التي تنص على أن عزم القوة يساوي القوة مضروبة في المسافة العمودية، حيث تقاس القوة بالنيوتن وتقاس المسافة بالمتر أو السنتيمتر. يعني هذا أن وحدات قياس العزوم إما نيوتن متر أو نيوتن سنتيمتر.

لأغراض تتعلق بهذا الفيديو، سيحتوي النظام على ازدواجات مستوية. عندما تؤثر القوى جميعها في المستوى نفسه، فإنها تسمى قوى مستوية. يشير الازدواج إلى قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه، ولا يجمعهما خط عمل واحد. على سبيل المثال، لدينا هنا قوتان رأسيتان عند النقطتين ﺃ وﺏ، مقدار كل منهما ﻕ نيوتن. تؤثر القوة عند النقطة ﺃ رأسيًا لأعلى، بينما تؤثر القوة عند النقطة ﺏ رأسيًا لأسفل. وهذا يعني أنهما تشكلان ازدواجًا مستويًا.

لا يتعين أن يؤثر الازدواج المستوي رأسيًا أو أفقيًا. فعلى سبيل المثال، لدينا هنا قوتان، مقدار كل منهما ﻝ نيوتن. وبما أن هاتين القوتين متوازيتان، فهما متضادتان في الاتجاه. نعرف ذلك لأن كلًا منهما تصنع زاوية 𝜃 مع الأفقي. ولا يجمع هاتين القوتين خط عمل واحد؛ ومن ثم فهما تشكلان ازدواجًا مستويًا. عند التعامل مع قوى من هذا النوع، سيكون علينا إيجاد مركباتها الرأسية والأفقية. إذا كانت القوة ﻕ تصنع زاوية قياسها 𝜃 درجة مع الأفقي، فيمكننا استخدام معرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد المركبتين الأفقية والرأسية.

المركبة الأفقية ستساوي ﻕ جتا 𝜃 والمركبة الرأسية ستساوي ﻕ جا 𝜃. وهذا يرجع إلى حقيقة أن النسب المثلثية تنص على أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي علينا فيها إيجاد القوى أو قياسات الزوايا أو المسافات المجهولة.

‏‏ﺃﺏ قضيب مهمل الوزن طوله ٩٠ سنتيمترًا. علق القضيب أفقيًا في مسمار عند منتصفه. أثرت قوتان مقدار كل منهما ٧٫٥ نيوتن عند طرفي القضيب كما هو موضح في الشكل. سحب القضيب أيضًا بخيط مقدار الشد فيه ٢٥ نيوتن، في اتجاه يصنع زاوية قياسها ٣٠ درجة مع القضيب عند النقطة ﺟ. إذا أثرت القوة ﻕ على القضيب عند النقطة ﺩ؛ بحيث يكون متزنًا في موضع أفقي، فأوجد مقدار ﻕ، واتجاهها 𝜃، وطول ﺟﺩ.

بما أن القضيب في حالة اتزان، نعرف أن مجموع القوتين في الاتجاه ﺱ أو الاتجاه الأفقي يساوي صفرًا. وبالمثل، فإن مجموع القوتين في الاتجاه ﺹ أو الاتجاه الرأسي يساوي صفرًا أيضًا. كما سيكون صحيحًا أن مجموع العزوم حول أي نقطة في النظام سيساوي صفرًا. سنعتبر هنا أن الاتجاهات الموجبة هي الاتجاه إلى اليمين والاتجاه رأسيًا لأعلى وعكس اتجاه دوران عقارب الساعة. علمنا من المعطيات أن طول القضيب يساوي ٩٠ سنتيمترًا. إذا افترضنا أن النقطة ﻭ هي مركز القضيب أو نقطة منتصفه، فإننا نعلم أن ﺃﻭ يساوي ﻭﺏ، وهو ما يساوي ٤٥ سنتيمترًا، حيث إن هذا يساوي نصف طول القضيب وهو ٩٠ سنتيمترًا.

سنفرغ الآن بعض المساحة لنتمكن من إيجاد القيم المجهولة الثلاث المطلوبة. لا تؤثر القوة التي مقدارها ٢٥ نيوتن والقوة التي مقدارها ﻕ نيوتن أفقيًا أو رأسيًا. وهذا يعني أنه علينا إيجاد المركبات الأفقية والرأسية قبل تحليل القوتين في هذين الاتجاهين. يمكننا إجراء ذلك باستخدام معرفتنا بحساب المثلثات القائمة الزاوية، حيث جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر.

إذا نظرنا إلى القوة عند النقطة ﺟ، فسنجعل المركبة الأفقية تساوي ﺱ والمركبة الرأسية تساوي ﺹ. يعني هذا أن جا ٣٠ درجة يساوي ﺹ على ٢٥ وجتا ٣٠ درجة يساوي ﺱ على ٢٥. يمكننا ضرب كلا طرفي هاتين المعادلتين في ٢٥. هذا يعني أن ﺹ يساوي ٢٥ في جا ٣٠ درجة، وﺱ يساوي ٢٥ في جتا ٣٠ درجة. ‏‏جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، وجتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. هذا يعني أن المركبة الرأسية تساوي ٢٥ على اثنين أو ١٢٫٥ نيوتن، والمركبة الأفقية تساوي ٢٥ جذر ثلاثة على اثنين نيوتن.

يمكننا تكرار ذلك مع القوة التي مقدارها ﻕ نيوتن عند النقطة ﺩ. لكن هذه المرة، لدينا مركبة أفقية تؤثر في اتجاه اليسار مقدارها ﻕ جتا 𝜃، ومركبة رأسية تؤثر لأسفل مقدارها ﻕ جا 𝜃. يمكننا الآن التحليل في الاتجاهين الأفقي والرأسي. القوتان المؤثرتان في الاتجاه الأفقي هما ٢٥ جذر ثلاثة على اثنين وﻕ جتا 𝜃. بما أن مجموع القوى يساوي صفرًا، والقوة ﻕ جتا 𝜃 تتجه إلى اليسار، يصبح لدينا ٢٥ جذر ثلاثة على اثنين ناقص ﻕ جتا 𝜃 يساوي صفرًا. ‏‏٢٥ على اثنين يساوي ١٢٫٥؛ لذا يمكن تبسيط ذلك إلى ١٢٫٥ جذر ثلاثة ناقص ﻕ جتا 𝜃 يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك إضافة ﻕ جتا 𝜃 إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا تعبيرًا لـ ﻕ جتا 𝜃 يساوي ١٢٫٥ جذر ثلاثة. نسمي ذلك المعادلة رقم واحد.

توجد أربع قوى تؤثر في الاتجاه الرأسي. من اليسار إلى اليمين، هذه القوى هي سالب ٧٫٥ وموجب ١٢٫٥ وسالب ﻕ جا 𝜃 وموجب ٧٫٥. نعلم أن مجموع هذه القوى يجب أن يساوي صفرًا. تعد القوتين اللتين مقدار كل منهما ٧٫٥ نيوتن مثالًا على الازدواج المستوي. وذلك لأنهما متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه. وهذا يعني أنه عند التحليل رأسيًا، تلغي إحدى القوتين الأخرى لأن سالب ٧٫٥ زائد ٧٫٥ يساوي صفرًا. وبإضافة ﻕ جا 𝜃 إلى كلا طرفي المعادلة، نحصل على ١٢٫٥ يساوي ﻕ جا 𝜃. ونسمي ذلك المعادلة رقم اثنين.

لدينا الآن معادلتان آنيتان بمجهولين هما ﻕ و𝜃. بقسمة المعادلة الثانية على المعادلة الأولى، نجد أن ١٢٫٥ على ١٢٫٥ جذر ثلاثة يساوي ﻕ جا 𝜃 على ﻕ جتا 𝜃. يمكننا قسمة بسط الطرف الأيمن ومقامه على ١٢٫٥، فيصبح لدينا واحد على جذر ثلاثة. يمكننا بعد ذلك قسمة بسط الطرف الأيسر ومقامه على ﻕ. فيصبح لدينا جا 𝜃 على جتا 𝜃، وهو ما نعلم أنه يساوي ظا 𝜃. يمكننا بعد ذلك أن نأخذ الدالة العكسية للظل لكلا طرفي هذه المعادلة؛ ومن ثم، فإن قيمة 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا واحد على جذر ثلاثة. إذن، قيمة 𝜃 تساوي ٣٠ درجة. بذلك، نكون قد وجدنا اتجاه القوة ﻕ.

بعد ذلك، علينا التعويض بقيمة 𝜃 تساوي ٣٠ درجة في المعادلة رقم واحد أو المعادلة رقم اثنين. إذا عوضنا في المعادلة رقم اثنين، يصبح لدينا ١٢٫٥ يساوي ﻕ جا ٣٠. ‏‏جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. ومن ثم، ١٢٫٥ يساوي ﻕ مضروبًا في نصف. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على نصف أو ضربهما في اثنين لنحصل على قيمة ﻕ تساوي ٢٥ نيوتن. إذن، مقدار القوة ﻕ يساوي ٢٥ نيوتن.

سنفرغ الآن بعض المساحة ونستخدم العزوم لإيجاد طول ﺟﺩ. لكن قبل إجراء ذلك، تجدر الإشارة إلى أن القوة ﻕ والقوة ٢٥ نيوتن تشكلان ازدواجًا مستويًا. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنهما متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه. نلاحظ أن القوتين متوازيتان. يعني هذا أن النظام في هذا السؤال يتكون من زوجين من الازدواجات المستوية. سنحسب العزوم حول نقطة المنتصف ﻭ. لكن قبل إجراء ذلك، سنرتب الشكل بحيث تكون لدينا القوى والمسافات المعنية.

بما أن لدينا زوجين من الازدواجات المستوية، إذن المسافة ﺟﻭ يجب أن تساوي المسافة ﻭﺩ. وسنسمي هذه المسافة ﺱ سنتيمتر. نعلم أن عزم القوة يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية. تؤثر القوة عند النقطة ﺃ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثم، فإن العزم يساوي ٧٫٥ في ٤٥. وتؤثر القوة عند النقطة ﺟ في اتجاه دوران عقارب الساعة، لذا فإن العزم يساوي سالب ١٢٫٥ﺱ. القوة الرأسية عند النقطة ﺩ لها المقدار نفسه. وهي تؤثر أيضًا في اتجاه دوران عقارب الساعة، لذا فإن العزم يساوي سالب ١٢٫٥ﺱ. وأخيرًا، عزم القوة عند النقطة ﺏ يؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، وهو يساوي أيضًا ٧٫٥ مضروبًا في ٤٥. نعلم أن مجموع هذه القيم الأربع يساوي صفرًا.

يبسط ذلك إلى ٣٣٧٫٥ ناقص ١٢٫٥ﺱ ناقص ١٢٫٥ﺱ زائد ٣٣٧٫٥ يساوي صفرًا. بتجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا ٦٧٥ ناقص ٢٥ﺱ يساوي صفرًا. وبإضافة ٢٥ﺱ إلى كلا الطرفين، يصبح لدينا ٢٥ﺱ يساوي ٦٧٥. وبقسمة كلا الطرفين بعد ذلك على ٢٥، نحصل على ﺱ يساوي ٢٧. وهذا يعني أن طول كل من ﺟﻭ وﻭﺩ يساوي ٢٧ سنتيمترًا. ‏‏٢٧ زائد ٢٧ يساوي ٥٤. إذن، طول ﺟﺩ يساوي ٥٤ سنتيمترًا. بذلك نكون قد توصلنا إلى الإجابات الثلاث. مقدار ﻕ يساوي ٢٥ نيوتن والاتجاه 𝜃 يساوي ٣٠ درجة وطول ﺟﺩ يساوي ٥٤ سنتيمترًا.

في السؤال التالي، علينا إيجاد قيمة القوة التي تبقي القضيب في حالة اتزان.

‏‏ﺃﺏ قضيب طوله ٥٠ سنتيمترًا ووزنه مهمل. أثرت على القضيب قوتان مستويتان كما هو موضح في الشكل. يتكون الازدواج الأول من قوتين تؤثران عموديًا على القضيب، مقدار كل منهما اثنان ثقل كيلوجرام. ويتكون الازدواج الثاني من قوتين، مقدار كل منهما ﻕ. أوجد قيمة ﻕ التي تجعل القضيب في حالة اتزان.

نتذكر أن الازدواج المستوي هو قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه. في هذا السؤال، لدينا ازدواجان مستويان. ولكي نوجد قيمة ﻕ، علينا حساب العزوم حول نقطة على القضيب. نعلم أنه عندما يكون القضيب في حالة اتزان، فإن مجموع العزوم يساوي صفرًا. كما نعلم أيضًا أن العزم يساوي القوة مضروبة في المسافة العمودية. يعني هذا أن علينا أولًا إيجاد المركبتين الرأسيتين للقوتين ﻕ.

من خلال معرفتنا بحساب المثلثات قائمة الزاوية، نعلم أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وهذا يعني أن، في هذا السؤال، جا ٤٥ درجة يساوي ﺹ على ﻕ. ومن ثم، فإن كل مركبة من المركبتين الرأسيتين تساوي ﻕ في جا ٤٥ درجة. ‏‏جا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. سنحسب الآن العزوم حول النقطة ﺏ، بحيث يكون عكس اتجاه دوران عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب.

عزم القوة الأولى التي مقدارها اثنان نيوتن سيساوي اثنين في ١٠، حيث تبعد ١٠ سنتيمترات عن ﺏ. بعد ذلك، لدينا جذر اثنين على اثنين ﻕ مضروبًا في ٣٠. تؤثر القوة الأخيرة في اتجاه دوران عقارب الساعة، وهو ما يعطينا سالب اثنين مضروبًا في ٥٠. مجموع هذه القوى يساوي صفرًا. لذا، يمكن تبسيط المعادلة إلى ٢٠ زائد ١٥ جذر اثنين ﻕ ناقص ١٠٠ يساوي صفرًا. ‏‏٢٠ ناقص ١٠٠ يساوي سالب ٨٠، ويمكننا إضافة ذلك إلى كلا الطرفين. وبقسمة الطرفين على ١٥ جذر اثنين، يصبح لدينا ﻕ يساوي ١٦ على ثلاثة جذر اثنين. يمكننا بعد ذلك إنطاق المقام، فنجد أن قيمة ﻕ تساوي ثمانية جذر اثنين على ثلاثة ثقل كيلوجرام.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن النظام يكون في حالة اتزان إذا ظل ساكنًا. في حالة عدم وجود قوة محصلة، فإن مجموع القوى في الاتجاه الأفقي أو الاتجاه ﺱ يساوي صفرًا. ومجموع القوى في الاتجاه الرأسي يساوي صفرًا، ومجموع العزوم حول أي نقطة يساوي صفرًا. يمكننا استخدام معرفتنا بحساب المثلثات قائمة الزاوية لإيجاد المركبة الأفقية والمركبة الرأسية لقوة ما. وأخيرًا، عرفنا أن الازدواج المستوي يتألف من قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه.