فيديو السؤال: التباديل ومضروبات الأعداد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت نسبة اثنين ﻥ زائد واحد ﻝ ستة إلى اثنين ﻥ ناقص واحد ﻝ خمسة تساوي ٢٧٢ إلى ١١، فأوجد مضروب ﻥ.

نتذكر هنا أنه عند التعامل مع التباديل، فإن الرمز ﻥﻝر يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ر. هذا يعني أن اثنين ﻥ زائد واحد ﻝ ستة يساوي مضروب اثنين ﻥ زائد واحد مقسومًا على مضروب اثنين ﻥ زائد واحد ناقص ستة. يبسط المقام إلى مضروب اثنين ﻥ ناقص خمسة. نتذكر أن مضروب أي عدد صحيح هو حاصل ضرب ذلك العدد الصحيح في جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر منه. فمضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى اثنين مضروبًا في واحد.

هذا يعني أن مضروب ﻥ يساوي أيضًا ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. ومن ثم يمكننا إعادة كتابة مضروب اثنين ﻥ زائد واحد على صورة اثنين ﻥ زائد واحد مضروبًا في اثنين ﻥ مضروبًا في اثنين ﻥ ناقص واحد مضروبًا في اثنين ﻥ ناقص اثنين مضروبًا في اثنين ﻥ ناقص ثلاثة مضروبًا في اثنين ﻥ ناقص أربعة مضروبًا في مضروب اثنين ﻥ ناقص خمسة. يمكننا بعد ذلك حذف العامل الأخير مع المقام. هذا يعطينا تعبيرًا لاثنين ﻥ زائد واحد ﻝ ستة. يمكننا تكرار ذلك مع اثنين ﻥ ناقص واحد ﻝ خمسة. وهذا يساوي مضروب اثنين ﻥ ناقص واحد مقسومًا على مضروب اثنين ﻥ ناقص ستة. هذه المرة، يمكننا حذف مضروب اثنين ﻥ ناقص ستة.

نتعامل هنا مع النسبة بين هذين المقدارين. ونلاحظ أن بينهما أربعة عوامل مشتركة، وهي: اثنان ﻥ ناقص واحد، واثنان ﻥ ناقص اثنين، واثنان ﻥ ناقص ثلاثة، واثنان ﻥ ناقص أربعة. يمكننا تبسيط أي نسبة بالقسمة على العوامل المشتركة. وهكذا يمكننا إعادة كتابة ذلك بحيث تكون نسبة اثنين ﻥ زائد واحد ﻝ ستة إلى اثنين ﻥ ناقص واحد ﻝ خمسة تساوي اثنين ﻥ زائد واحد مضروبًا في اثنين ﻥ إلى اثنين ﻥ ناقص خمسة. نعرف أيضًا من معطيات السؤال أن هذه النسبة تساوي ٢٧٢ إلى ١١.

يمكننا الآن إعادة كتابة هاتين النسبتين على صورة كسر. اثنان ﻥ مضروبًا في اثنين ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين ﻥ ناقص خمسة يساوي ٢٧٢ على ١١. يمكننا إجراء الضرب التبادلي بحيث يكون ٢٢ﻥ مضروبًا في اثنين ﻥ زائد واحد يساوي ٢٧٢ مضروبًا في اثنين ﻥ ناقص خمسة. بفك الأقواس أو توزيعها، نحصل على ٤٤ﻥ تربيع زائد ٢٢ﻥ يساوي ٥٤٤ﻥ ناقص ١٣٦٠. بطرح ٥٤٤ﻥ وإضافة ١٣٦٠ إلى كلا الطرفين، نحصل على المعادلة التربيعية ٤٤ﻥ تربيع ناقص ٥٢٢ﻥ زائد ١٣٦٠ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على اثنين، وهو ما يعطينا ٢٢ﻥ تربيع ناقص ٢٦١ﻥ زائد ٦٨٠ يساوي صفرًا.

وعلى الرغم من عدم وضوح ذلك للوهلة الأولى، فهذا المقدار التربيعي يمكن تحليله. ‏٢٢ﻥ تربيع ناقص ٢٦١ﻥ زائد ٦٨٠ يساوي ٢٢ﻥ ناقص ٨٥ مضروبًا في ﻥ ناقص ثمانية. يمكننا التحقق من ذلك بإعادة توزيع الأقواس وتبسيط التعبير. وبما أن حاصل ضرب هذين القوسين هو صفر، فلا بد أن أحد هذين القوسين يساوي صفرًا. إما ٢٢ﻥ ناقص ٨٥ يساوي صفرًا، وإما ﻥ ناقص ثمانية يساوي صفرًا. بحل هاتين المعادلتين، نحصل على ﻥ يساوي ٨٥ على ٢٢، وﻥ يساوي ثمانية. لا بد أن يكون ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا، وهذا يستبعد الإجابة الأولى. وبما أن ﻥ يساوي ثمانية، فعلينا حساب مضروب ثمانية. وهو يساوي ثمانية مضروبًا في سبعة مضروبًا في ستة، وهكذا، وصولًا إلى واحد. وهذا يساوي ٤٠٣٢٠.

إذا كانت نسبة اثنين ﻥ زائد واحد ﻝ ستة إلى اثنين ﻥ ناقص واحد ﻝ خمسة تساوي ٢٧٢ إلى ١١، فإن مضروب ﻥ يساوي ٤٠٣٢٠. يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة بحساب ١٧ﻝ ستة و١٥ﻝ خمسة والتحقق من أن النسبة بينهما هي ٢٧٢ إلى ١١.