فيديو السؤال: حساب الاحتمالات الشرطية

نسخة الفيديو النصية

في مجموعة مكونة من ٩٦ شخصًا، تمتلك ٣٤ امرأة من بين ٧١ امرأة هواتف ذكية، ولا يمتلك ١٨ رجلًا هواتف ذكية. أوجد احتمال أن يكون مالك الهاتف الذكي المختار عشوائيًّا في هذه المجموعة امرأة.

لدينا الكثير من المعطيات في هذا السؤال حول عدد الرجال والسيدات وما إذا كانوا يمتلكون هواتف ذكية أم لا. هيا نرتب ذلك في جدول مزدوج. وبذلك يصبح لدينا صفوف للرجال وللسيدات، وأعمدة لحاملي الهواتف الذكية أو لغير حاملي الهواتف الذكية.

في البداية، علمنا أن المجموعة تتكون من ٩٦ شخصًا، إذن هذا هو المجموع الكلي لدينا. وعلمنا بعد ذلك أن هناك ٧١ امرأة، إذن هذا هو الإجمالي في صف السيدات. ومن بين ٧١ امرأة، علمنا أن ٣٤ منهن لديهن هواتف ذكية. يمكننا بعد ذلك إيجاد عدد السيدات اللاتي لا يمتلكن هواتف ذكية بطرح ٣٤ من ٧١. وبذلك، أصبح لدينا صف مكتمل بالنسبة للسيدات في هذا الجدول.

دعونا الآن نلق نظرة على الرجال. لقد علمنا أن ١٨ رجلًا ليست لديهم هواتف ذكية. ومن ثم، يمكننا كتابة ذلك في الجدول. ليس لدينا أي معلومات أخرى في السؤال، لكن يمكننا استخدام القيم الإجمالية الموجودة في الجدول لإيجاد قيم جميع الخانات الأخرى. إذا كانت المجموعة مكونة من ٩٦ شخصًا، وكان ٧١ شخصًا منهم سيدات، يمكننا إيجاد إجمالي عدد الرجال بطرح ٧١ من ٩٦. إذن، يوجد ٢٥ رجلًا. وإذا كان هناك ٢٥ رجلًا و١٨ منهم لا يمتلكون هواتف ذكية، فيمكننا إيجاد عدد من يمتلك هواتف ذكية بطرح ١٨ من ٢٥. حسنًا، لدينا سبعة رجال يمتلكون هواتف ذكية.

وأخيرًا، يمكن إيجاد القيم الإجمالية عن طريق جمع القيم الموجودة في الأعمدة. وعليه، يصبح لدينا ٤١ شخصًا سواء كانوا رجالًا أو سيدات يمتلكون هواتف ذكية، و٥٥ آخرون لا يمتلكونها. يمكننا إجراء تحقق منطقي هنا وهو التأكد من أن مجموع إجمالي العمودين يساوي إجمالي المجموعة، وهما متساويان بالفعل؛ حيث ٤١ زائد ٥٥ يساوي ٩٦.

لنفكر الآن في كيفية استخدام هذا الجدول للإجابة عن السؤال المطلوب منا وهو: إيجاد احتمال أن يكون مالك الهاتف الذكي المختار عشوائيًّا في هذه المجموعة امرأة. يعد هذا مثالًا على الاحتمال الشرطي. نحن نعلم أن الشخص المختار يمتلك هاتفًا ذكيًّا، ونريد إيجاد احتمال أن يكون امرأة أيضًا.

دعونا نتذكر صيغة الاحتمال الشرطي. احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ؛ أي ﺃ وﺏ، مقسومًا على احتمال وقوع ﺃ. هذا يوضح لنا كيفية إيجاد الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث ﺏ بشرط أن يكون الحدث ﺃ قد وقع بالفعل.

في هذا السؤال، الحدث الواقع بالفعل هو أن هذا الشخص يمتلك هاتفًا ذكيًّا، والحدث الذي نريد إيجاد الاحتمال الشرطي له هو أن يكون امرأة. إذن بالتعويض عن ﺃ وﺏ بمصطلحي حاملي الهواتف الذكية وامرأة في هذه الصيغة، نجد أن احتمال أن يكون هذا الشخص امرأة بشرط أن يمتلك هاتفًا ذكيًّا يمكن حسابه عن طريق إيجاد احتمال حاملي الهواتف الذكية من السيدات والقسمة على احتمال حاملي الهواتف الذكية.

لنلق نظرة على كل من هذين الاحتمالين في الجدول. توجد ٣٤ امرأة يمتلكن هواتف ذكية. ومن ثم، فإن احتمال أن يكون هذا الشخص من حاملي الهواتف الذكية من السيدات هو ٣٤ من إجمالي ٩٦. إجمالي عدد الأشخاص الذين يمتلكون هواتف ذكية سواء كانوا رجالًا أو نساء هو ٤١. وعليه، فإن احتمال أن يمتلك شخص ما هاتفًا ذكيًّا هو ٤١ من إجمالي ٩٦.

وبذلك يصبح لدينا احتمال أن يكون هذا الشخص امرأة بشرط امتلاكه هاتفًا ذكيًّا يساوي ٣٤ على ٩٦ مقسومًا على ٤١ على ٩٦. عمليتا القسمة على ٩٦ في كل من بسط هذا الكسر الكلي ومقامه تجعلان هذين العددين يلغي كل منهما الآخر. وبذلك نكون قد حصلنا على حل هذه المسألة. إذن، احتمال أن يكون مالك الهاتف الذكي المختار عشوائيًّا في هذه المجموعة امرأة هو: ٣٤ على ٤١.