تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: معادلات العلاقات والدوال

نهال عصمت

يوضح الفيديو معادلات العلاقات والدوال، وكيفية تحديد هل المعادلة تمثِّل دالة من خلال تمثيلها بيانيًّا، ويوضح المتغيّر المستقل والتابع، وطريقة إيجاد قيمة الدالة.

٠٨:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن معادلات العلاقات والدوال.

العلاقات والدوال ممكن نمثّلها بمعادلات. وقيم المتغيّرين س وَ ص في المعادلة هي مجموعة الأزواج المرتبة س وَ ص التي تحقّق المعادلة. ومن السهل تحديد إذا كانت المعادلة تمثّل دالة من خلال تمثيلها بيانيًّا.

في البداية عايزين نفتكر يعني إيه دالة. الدالة هي: علاقة يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى. والدالة ممكن تبقى دالة متباينة، أو دالة شاملة، أو دالة متباينة وشاملة. هنجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال على تمثيل العلاقة بيانيًّا.

مطلوب منّنا تمثيل المعادلة: ص تساوي نُصّ س ناقص تلاتة بيانيًّا، ثم نحدّد مجالها ومداها.

أول حاجة هنبدأ نكوّن جدول بالشكل ده. أول حاجة هنبدأ نكتب هنا س، وهنا ص. هنختار بعض القيم لـ س، ونعوّض بيها في المعادلة ص تساوي نُصّ س ناقص تلاتة، ونوجد قيمة ص.

في حالة لو س بسالب أربعة، هنلاقي إن قيمة ص بسالب خمسة. ولو س بسالب اتنين، هنلاقي إن قيمة ص بسالب أربعة. ولو عوّضنا عن س بصفر في المعادلة، هنلاقي إن قيمة ص بسالب تلاتة. ولو عوّضنا عن س باتنين، هنلاقي إن قيمة ص سالب اتنين. ولو عوّضنا عن س في المعادلة بأربعة، هنلاقي إن قيمة ص بسالب واحد.

بعد ما جِبنا النقط اللي بتحقّق المعادلة هنبدأ نحدّدها على المستوى الإحداثي، ونصل بينهم بخط مستقيم بالشكل ده. يبقى كده قدِرنا نمثّل المعادلة ص تساوي نُصّ س ناقص تلاتة. وهنلاحظ إن مجال هذه العلاقة ومداها هي مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأن أيّ عدد حقيقي يمكن أن يكون الإحداثي س لنقطة ما على المستقيم. ونقدر نقول كمان إن أيّ عدد حقيقي يمكن أن يكون الإحداثي ص لنقطة ما على المستقيم.

تاني [أول]‎ مطلوب: عايزين نعرف هل المعادلة تمثّل دالة أم لا.

هنبدأ نطبّق اختبار الخط الرأسي، وَلْيكن الخط الرأسي بالشكل ده. هنلاقي إن المعادلة تمثّل دالة؛ لأن كل قيمة لـ س ترتبط بقيمة واحدة لـ ص. يبقى إجابة السؤال هي إن المعادلة تمثّل دالة.

المطلوب التاني … هنجيب صفحة جديدة. عايزين نعرف إذا كانت المعادلة تمثّل دالة هل هي دالة متباينة أم لا.

التمثيل البياني كان عندنا بالشكل ده، وقدِرنا نثبت إن المعادلة تمثّل دالة. وهنلاحظ كمان إن بما أن كل قيمة لـ ص مرتبطة بقيمة واحدة فقط لـ س، فبالتالي نقدر نقول إن الدالة متباينة.

المطلوب التالت: عايزين نعرف هل هي دالة متصلة أم منفصلة.

هنلاحظ في التمثيل البياني عندنا عبارة عن مستقيم متصل دون انقطاع، وبالتالي نقدر نقول إن الدالة متصلة.

وبكده قدِرنا نمثّل المعادلة بيانيًّا، وقدِرنا نستنتج إن المعادلة تمثّل دالة، وعرفنا كمان إن الدالة متباينة ومتصلة. هنبدأ نجيب صفحة جديدة ونتكلّم عن المتغيّر المستقل، والمتغيّر التابع.

لو عندنا المعادلة ص تساوي نُصّ س ناقص تلاتة. إذا كانت المعادلة تمثّل دالة، المتغيّر من المجال غالبًا بيكون س، وبنقدر نسمّيه المتغيّر المستقل. والمتغيّر التاني، اللي هو ص، غالبًا بيكون هو المتغيّر التابع؛ لأن قيمته بتعتمد دائمًا على قيمة المتغيّر المستقل اللي هو س.

تاني معلومة ممكن نعرفها عن المعادلات التي تمثّل دوال هو إننا ممكن نكتب المعادلة باستخدام رمز الدالة. بمعنى لو عندنا المعادلة ص تساوي خمسة س ناقص واحد، ممكن نشيل ص، ونكتب بدلها د س تساوي خمسة س ناقص واحد. يعني شِلنا المتغيّر ص، اللي هو المتغيّر التابع، وكتبنا بداله د س اللي هو رمز الدالة.

طب لو عايزين نوجد قيمة المدى التي ترتبط بالعنصر سالب ستة في مجال الدالة د س، هنبدأ نعمل إيه؟ هنشيل كل س ونكتب بدلها سالب ستة، بمعنى هيبقى عندنا د سالب ستة تساوي خمسة في سالب ستة، ناقص واحد. وبالتالي هيساوي … خمسة في سالب ستة بسالب تلاتين، ناقص واحد؛ وبالتالي هيساوي سالب واحد وتلاتين. هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال.

عاوزين نوجد قيمة د ستة، وَ د اتنين ص، إذا كانت د س تساوي اتنين س تربيع ناقص تمنية.

أول حاجة هنوجد قيمة د ستة؛ يعني هنشيل كل س في المعادلة ونكتب بدلها ستة. عندنا المعادلة هي: د س تساوي اتنين س تربيع ناقص تمنية. هنشيل كل س ونكتب بدلها ستة، يبقى د ستة هتساوي اتنين في ستة أُس اتنين، ناقص تمنية. هتساوي اتنين في ستة وتلاتين، ناقص تمنية. هتساوي اتنين وسبعين ناقص تمنية، وبالتالي د ستة هتساوي أربعة وستين.

بعد كده عايزين نوجد قيمة د اتنين ص؛ يعني هنشيل كل س في المعادلة ونكتب بدلها اتنين ص. عندنا المعادلة هي: اتنين س [د س]‎ تساوي اتنين س تربيع ناقص تمنية. هنشيل كل س ونكتب بدلها اتنين ص، يبقى د اتنين ص تساوي اتنين في اتنين ص الكل تربيع، ناقص تمنية.

وبالتالي هتساوي اتنين في أربعة ص تربيع، ناقص تمنية، يبقى هتساوي تمنية ص تربيع ناقص تمنية. وبالتالي نقدر نقول إن اتنين عفوًا إن د اتنين ص تساوي تمنية ص تربيع ناقص تمنية.

وبكده اتكلّمنا عن معادلات العلاقات والدوال.