فيديو السؤال: حساب الزمن الذي يستغرقه ماء للمرور خلال أنابيب ذات أنصاف أقطار مختلفة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يتدفق ماء بسرعة ‪𝑣‬‏ واحد يساوي 3.15 أمتار لكل ثانية بانسيابية خلال أنبوب أسطواني نصف قطره ‪𝑟‬‏ واحد يساوي 1.25 متر، ثم يتدفق بانسيابية أيضًا خلال أنبوب أسطواني آخر متصل به نصف قطره ‪𝑟‬‏ اثنان يساوي 0.951 متر، كما هو موضح في الشكل. الأنبوب الأول طوله ‪𝐿‬‏ واحد يساوي 1.44 متر، والأنبوب الثاني طوله ‪𝐿‬‏ اثنان يساوي 1.21 متر. ما نسبة الزمن الذي يستغرقه الماء للمرور خلال الأنبوب الأول إلى الزمن الذي يستغرقه للمرور خلال الأنبوب الثاني؟

في هذا الشكل، نرى الأنبوب الأول بطول ‪𝐿‬‏ واحد والأنبوب الثاني بطول ‪𝐿‬‏ اثنين. هذان الأنبوبان لهما نصفا قطرين مختلفان، وهما ‪𝑟‬‏ واحد و‪𝑟‬‏ اثنان. ونعلم من المعطيات أن سرعة الماء عند دخوله خلال الأنبوب الأول، وهي ‪𝑣‬‏ واحد، تساوي 3.15 أمتار لكل ثانية. بمعلومية ذلك، إضافة إلى قيمتي طول الأنبوبين ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنين، نريد إيجاد نسبة الزمن الذي يستغرقه الماء لكي يمر خلال هذا الأنبوب الأول إلى الزمن الذي يستغرقه لكي يمر خلال الأنبوب الثاني. دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة، ويمكننا البدء بتحديد متغيرات لهاتين القيمتين الزمنيتين.

لنفترض أن الزمن الذي يستغرقه الماء للانتقال من أحد طرفي الأنبوب إلى الطرف الآخر هو ‪𝑡‬‏ واحد، والزمن الذي يستغرقه للانتقال خلال الأنبوب الثاني هو ‪𝑡‬‏ اثنان. ما نحاول إيجاده هو نسبة ‪𝑡‬‏ واحد إلى ‪𝑡‬‏ اثنين. في كل مرة يسري فيها مائع غير قابل للانضغاط، مثل الماء الموجود هنا، سريانًا انسيابيًّا خلال حاوية ذات جدران صلبة، فإنه يتبع ما يسمى معادلة الاستمرارية. توضح هذه المعادلة كيفية انتقال حجم المائع خلال حاوية. وهي تنص على أن المعدل الذي يسري به حجم المائع خلال أحد مقاطع الحاوية يساوي المعدل الذي يسري به هذا الحجم نفسه خلال مقطع آخر منها. في الحالة التي لدينا، المقطعان اللذان سنتناولهما هما مقطعا الأنبوبين اللذان نرمز إلى نصفي قطريهما بـ ‪𝑟‬‏ واحد و‪𝑟‬‏ اثنين.

تنص معادلة الاستمرارية على أن حجم الماء الذي يمر خلال مقطع الأنبوب هذا أثناء فترة زمنية محددة، ولتكن ثانية واحدة، يساوي حجم الماء الذي يمر خلال هذا الجزء من الأنبوب ذي نصف القطر المختلف أثناء الفترة الزمنية نفسها. في البداية، قد لا يبدو واضحًا أن معادلة الاستمرارية ستساعدنا؛ وذلك لأننا نريد إيجاد النسبة بين زمنين. ولكن معادلة الاستمرارية تتضمن السرعة بالفعل. ‏‪𝑣‬‏ واحد و‪𝑣‬‏ اثنان هما سرعتا دخول المائع وخروجه خلال تركيب الأنبوبين، على الترتيب. ولعلنا نتذكر، بوجه عام، أن السرعة ‪𝑣‬‏ لأي جسم تساوي المسافة التي يقطعها هذا الجسم مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة.

لنفترض أنه عند سريان هذا الماء خلال الأنبوب الأول، على سبيل المثال، تكون المسافة التي يقطعها هي ‪𝐿‬‏ واحد، والزمن الذي يستغرقه لقطع هذه المسافة هو ‪𝑡‬‏ واحد. بالمثل، ‪𝑣‬‏ اثنان، وهي سرعة خروج الماء عبر تركيب الأنبوبين، تساوي ‪𝐿‬‏ اثنين على ‪𝑡‬‏ اثنين. هذا كله يعني أنه يمكننا كتابة معادلة الاستمرارية على هذه الصورة. نعوض هنا عن ‪𝑣‬‏ واحد بـ ‪𝐿‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏ واحد، وعن ‪𝑣‬‏ اثنين بـ ‪𝐿‬‏ اثنين على ‪𝑡‬‏ اثنين. وكما نرى، يوافق ذلك الصيغة العامة للسرعة. بما أننا نحاول إيجاد قيمة ‪𝑡‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏ اثنين، فسنعيد ترتيب هذه المعادلة لكي يصبح ‪𝑡‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏ اثنين في طرف بمفرده.

يمكننا تنفيذ ذلك بضرب كلا طرفي المعادلة في ‪𝑡‬‏ واحد، ما يؤدي إلى حذف هذا المعامل من الطرف الأيسر. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على ‪𝐴‬‏ اثنين في ‪𝐿‬‏ اثنين. يؤدي ذلك إلى حذف ‪𝐴‬‏ اثنين و‪𝐿‬‏ اثنين من الطرف الأيمن. وعند الانتهاء من كل عمليات الحذف، يصبح لدينا ما نريد، وهو ‪𝑡‬‏ واحد على ‪𝑡‬‏ اثنين في طرف بمفرده في أحد طرفي المعادلة.

لإيجاد هذه النسبة، يجب علينا معرفة قيمتي هذين المتغيرين. معطى لنا قيمتا ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنين في نص المسألة. ومع أننا لا نعرف قيمتي ‪𝐴‬‏ واحد و‪𝐴‬‏ اثنين بشكل مباشر، فإننا نعرف نصفي القطرين ‪𝑟‬‏ واحد و‪𝑟‬‏ اثنين. ونعرف أيضًا أن مقطعي هذين الأنبوبين دائريان. بدلالة نصف القطر ‪𝑟‬‏، مساحة الدائرة تساوي ‪𝜋‬‏ في ‪𝑟‬‏ تربيع. لذا، يمكننا كتابة ‪𝐴‬‏ واحد يساوي ‪𝜋‬‏ في ‪𝑟‬‏ واحد تربيع، و‪𝐴‬‏ اثنين يساوي ‪𝜋‬‏ في ‪𝑟‬‏ اثنين تربيع.

يمكننا ملاحظة أنه في هذا الكسر يحذف المعامل ‪𝜋‬‏. بالتعويض عن ‪𝑟‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ واحد و‪𝑟‬‏ اثنين و‪𝐿‬‏ اثنين، يصبح لدينا هذا الكسر. لدينا في البسط والمقام وحدة المتر المكعب، ومن ثم تلغى معًا. وتكون إجابتنا النهائية دون وحدة. عند تقريب هذا الكسر لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، نحصل على 2.06. هذه هي إذن نسبة الزمن الذي يستغرقه الماء للمرور خلال الأنبوب الأول إلى الزمن الذي يستغرقه الماء للمرور خلال الأنبوب الثاني. ونلاحظ أن هذه الإجابة تشير إلى أن الماء يستغرق زمنًا يزيد عن الضعف بقليل للانتقال خلال الأنبوب الأول عما يستغرقه للانتقال خلال الأنبوب الثاني.

لا بد إذن أن تكون سرعة الماء أكبر أثناء انتقاله خلال الأنبوب الثاني. وذلك لأن الأنبوب الثاني له نصف قطر أصغر من الأنبوب الأول.