نسخة الفيديو النصية
أوجد مساحة الجزء الأخضر، إذا كان قياس الزاوية ﺟﺃﺏ يساوي ٧٧ درجة، وقياس الزاوية ﺏﺟﺃ يساوي ٥٧ درجة، وﺟﺏ يساوي ١٩ سنتيمترًا. قرب إجابتك لأقرب سنتيمتر مربع.
دعونا نبدأ بإضافة المعطيات الواردة في السؤال إلى الشكل. أولًا: قياس الزاوية ﺟﺃﺏ يساوي ٧٧ درجة. وقياس الزاوية ﺏﺟﺃ يساوي ٥٧ درجة. وأخيرًا، طول الضلع ﺟﺏ يساوي ١٩ سنتيمترًا. قد يكون من المفيد أيضًا استخدام ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة لتمثيل أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا ﺃ وﺏ وﺟ، على الترتيب.
نحن نريد إيجاد مساحة الجزء الأخضر من الشكل، أو المساحة المظللة، التي يمكننا إيجادها عن طريق إيجاد مساحة الدائرة، ثم طرح مساحة المثلث ﺃﺏﺟ منها. علينا أن نفكر في كيفية إيجاد كل من هاتين المساحتين على حدة.
لنتناول المثلث ﺃﺏﺟ أولًا. هذا مثلث غير قائم الزاوية؛ لذا دعونا نتذكر الصيغة المثلثية لحساب مساحة المثلث. هذه الصيغة تنص على أن مساحة المثلث تساوي نصف ﺃ شرطةﺏ شرطة جا ﺟ؛ حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة يمثلان طولي ضلعين من أضلاع المثلث، ويمثل ﺟ قياس الزاوية المحصورة بينهما. هذه هي الزاوية المحصورة بين الضلعين المعلوم طولاهما. في هذا المثلث، لا نعرف إلا طول ضلع واحد فقط، وهو الضلع الذي طوله يساوي ﺃ شرطة. لنفكر إذن في كيفية حساب طول ضلع آخر.
نحن نعرف طول أحد الأضلاع وقياس الزاوية المقابلة له؛ مما يعني أنه يمكننا حساب طول أي من الضلعين الآخرين إذا علمنا قياس الزاوية المقابلة له بتطبيق قانون الجيوب. هذا القانون ينص على أن النسبة بين طول أي ضلع وجيب الزاوية المقابلة له في أي مثلث تكون ثابتة، وهو ما يمكننا التعبير عنه على الصورة ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ، وهو ما يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. ومن ثم، يمكننا حساب طول الضلع ﺟ شرطة بما أننا نعرف قياس الزاوية المقابلة له. أو بمعلومية قياسي زاويتين في المثلث، يمكننا حساب قياس الزاوية الثالثة بسهولة، وهي الزاوية ﺏ، ثم حساب طول الضلع ﺏ شرطة. دعونا نفعل ذلك.
قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٧٧ درجة ناقص ٥٧ درجة، وهو ما يساوي ٤٦ درجة. يمكننا الآن التعويض بأطوال الأضلاع وقياسات الزوايا المعلومة في قانون الجيوب. إذن، لدينا ﺃ شرطة على جا الزاوية ﺃ. وهو ما يساوي ١٩ على جا ٧٧ درجة. هذا يساوي أيضًا ﺏ شرطة على جا الزاوية ﺏ. وهو ما يساوي ﺏ شرطة على جا ٤٦ درجة. والآن، أصبح لدينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد طول الضلع ﺏ شرطة. بضرب طرفي المعادلة في جا ٤٦ درجة، نحصل على ﺏ شرطة يساوي ١٩ جا ٤٦ درجة على جا ٧٧ درجة. بحساب هذه القيمة من خلال استخدام الآلة الحاسبة، مع التأكد من ضبطها على وضع الدرجات، نجد أن ﺏ شرطة يساوي ١٤٫٠٢٦، وهكذا مع توالي الأرقام.
نحن الآن مستعدون لإيجاد مساحة هذا المثلث؛ لأننا نعلم طولي ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. تذكر أنه كان بإمكاننا إيجاد طول الضلع ﺟ شرطة سابقًا، لكن كان سيظل علينا إيجاد قياس الزاوية ﺏ؛ حيث إنها الزاوية المحصورة بين الضلعين اللذين طولاهما ﺃ شرطة وﺟ شرطة. إذن، الخطوات التي كان سيتحتم علينا إجراؤها متماثلة. باستخدام طولي الضلعين ﺃ شرطة وﺏ شرطة وقياس الزاوية ﺟ، نعلم أن مساحة هذا المثلث تساوي نصفًا مضروبًا في ١٩ مضروبًا في ١٤٫٠٢٦-وسنحتفظ بهذه القيمة على شاشة الآلة الحاسبة بحيث تكون دقيقة- مضروبًا في جا ٥٧ درجة، وهو ما يساوي ١١١٫٧٥٨، وهكذا مع توالي الأرقام.
وبذلك نكون قد أوجدنا مساحة المثلث ﺃﺏﺟ، وعلينا الآن التفكير في كيفية إيجاد مساحة الدائرة. يمكننا إيجاد مساحة أي دائرة باستخدام الصيغة 𝜋نق تربيع. لذا، علينا التفكير في كيفية حساب نصف قطر هذه الدائرة. حسنًا، في الواقع، هذه هي الدائرة المارة برءوس المثلث ﺃﺏﺟ؛ حيث تقع جميع رءوس المثلث الثلاثة على محيط الدائرة. ويجب أن نتذكر أن هناك علاقة بين نسبة قانون الجيوب ونصف قطر الدائرة المارة برءوس المثلث. بعبارة أخرى، نسبة قانون الجيوب تساوي ضعف نصف قطر الدائرة المارة برءوس المثلث.
لقد كتبنا هذه النسبة بالفعل باستخدام طول الضلع ﺃ شرطة وقياس الزاوية المقابلة له عندما حسبنا طول الضلع ﺏ شرطة. إذن، يمكننا القول إن ضعف نصف قطر الدائرة المارة برءوس المثلث يساوي ١٩ على جا ٧٧ درجة. ومن ثم، فإن نصف القطر يساوي ١٩ على اثنين جا ٧٧ درجة، وهو ما يساوي ٩٫٧٤٩، وهكذا مع توالي الأرقام. وعليه، مساحة الدائرة تساوي 𝜋 مضروبًا في هذه القيمة تربيع. ومرة أخرى، سنحتفظ بهذه القيمة الدقيقة على شاشة الآلة الحاسبة لتفادي الوقوع في أي أخطاء عند التقريب. هذا يعطينا ٢٩٨٫٦٤٠، وهكذا مع توالي الأرقام.
وبذلك، نكون قد أوجدنا كلًّا من مساحتي الدائرة والمثلث. ومن ثم، يمكننا في النهاية حساب مساحة الجزء الأخضر من الشكل. باستخدام القيمتين الدقيقتين بقدر الإمكان، نجد أن المساحة المظللة تساوي ٢٩٨٫٦٤٠ ناقص ١١١٫٧٥٨. هذا يعطينا ١٨٦٫٨، وهكذا مع توالي الأرقام. بعد ذلك، علينا تقريب هذه الإجابة لأقرب سنتيمتر مربع.
إذن، باستخدام قانون الجيوب وتذكر علاقته بالدائرة المارة برءوس المثلث، وجدنا أن مساحة الجزء الأخضر من الشكل، لأقرب سنتيمتر مربع، تساوي ١٨٧ سنتيمترًا مربعًا.
