فيديو السؤال: تبسيط الدالة الكسرية باستخدام التحليل وإيجاد أصفار الدالة الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

بسط الدالة ﻥﺱ تساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ على ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تكعيب ناقص ١٥ﺱ تربيع ناقص ٣٦ ناقص ﺱ تربيع على ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ٣٠، ثم أوجد مجموعة حل المعادلة ﻥﺱ يساوي صفرًا.

حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال تبسيط دالة تتضمن طرح مقدارين كسريين. في هذه الحالة، ستتضمن العملية الكثير من عمليات التحليل والاختصار. الخطوة الأولى هي تحليل كثيرات الحدود الموجودة في بسط ومقام الكسرين الجبريين.

دعونا نبدأ بتناول بسط الكسر الأول؛ خمسة ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ. العامل المشترك الأكبر بين حدي هذا المقدار هو خمسة ﺱ. وبأخذه عاملًا مشتركًا يصبح لدينا المقدار خمسة ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. تجدر الإشارة هنا إلى أن هذا المقدار يتكون بالكامل من عوامل خطية. ولا يمكن تحليل هذه العوامل الخطية أكثر من ذلك، ومن ثم يمكن التعامل على أنها وحدات بناء لكثيرة حدود.

في الخطوات القليلة التالية، سنعبر عن كثيرات الحدود الأخرى بدلالة عوامل خطية، بدءًا من ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تكعيب ناقص ١٥ﺱ تربيع. في البداية، قد يبدو هذا معقدًا بعض الشيء؛ لأن أكبر أس لـ ﺱ هو أربعة، فهذا المقدار كثيرة حدود من الدرجة الرابعة. لكننا نلاحظ أن العامل المشترك بين هذه الحدود هو ﺱ تربيع. ويتيح لنا ذلك إخراج العامل المشترك وتحليل المقدار ليكون على الصورة ﺱ تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥. يمكن تحليل الجزء التربيعي لهذا المقدار أكثر من ذلك. لكننا لن نتناول في هذا الفيديو تفاصيل الطرق المختلفة لكيفية التحليل، لكن في هذه الحالة، يجب ملاحظة أن التحليل الصحيح يعطينا ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة.

إذن، مقام المقدار الكسري الأول هو ﺱ تربيع مضروبًا في ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. ومرة أخرى، لقد كونا هنا مقدارًا يتكون من عوامل خطية. وتجدر الإشارة هنا إلى أن ﺱ تربيع ليس عاملًا خطيًّا فعليًّا، لكن يمكن اعتباره ﺱ مضروبًا في ﺱ. ووفقًا لذلك، يمكن اعتبار ﺱ تربيع عاملين خطيين، أو عاملًا خطيًّا متكررًا لـ ﺱ.

دعونا الآن ننتقل إلى بسط المقدار الكسري الثاني، وهو ٣٦ ناقص ﺱ تربيع. إنه على صورة الفرق بين مربعين، وهي ﺃ تربيع ناقص ﺱ تربيع. ومن ثم يمكننا تحليل المقدار ليكون على الصورة ﺃ ناقص ﺱ مضروبًا في ﺃ زائد ﺱ. وفي الحالة التي لدينا، نحن نعلم أن ستة تربيع يساوي ٣٦. ومن ثم يمكن تحليل المقدار إلى ستة ناقص ﺱ مضروبًا في ستة زائد ﺱ.

وأخيرًا، سنتناول مقام المقدار الكسري الثاني. مرة أخرى، لدينا مقدار تربيعي. ونلاحظ هنا أن ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ٣٠ يساوي ﺱ ناقص ستة مضروبًا في ﺱ زائد خمسة.

والآن بعد التعبير عن بسط ومقام كل من الكسرين في صورة عوامل خطية، يمكننا الآن إعادة كتابة الدالة ﻥﺱ باستخدام المقادير التي تم تحليلها سابقًا. ويمكنك ملاحظة المقادير التي سيتم التعويض بها بشكل أكثر وضوحًا إذا أشرنا إلى بسط المقدار الكسري الأول ومقامه بواحد واثنين، وبسط المقدار الكسري الثاني ومقامه بثلاثة وأربعة. قبل أن نكمل دعونا نفرغ بعض المساحة. سننقل أيضًا المقدار الذي يعبر عن ﻥﺱ الجديد إلى أعلى الشاشة.

لكي نواصل تبسيط المقدار، سنبحث في الخطوة التالية عن العوامل المشتركة التي يمكن حذفها من بسط ومقام كل من المقدارين الكسريين. لكن قبل أن نفعل ذلك، هناك خطوة وسيطة مهمة. يؤدي حذف العوامل المشتركة في بسط ومقام كل من المقدارين الكسريين إلى حذف المعلومات المتعلقة بمجال الدالة لدينا. ومن ثم، علينا التحقق من مجال الدالة قبل حذف العوامل المشتركة. ولن نتناول تفاصيل كثيرة عن مجال الدالة هنا، لكن يكفي أن نسترجع أن الدالة تكون غير معرفة عند قيم ﺱ التي تجعل مقام أي مقدار كسري مساويًا لصفر. وهذا بالطبع لأننا لا يمكننا القسمة على صفر.

لإيجاد قيم ﺱ تلك، يمكننا تناول المقامين اللذين تم تحليلهما. عندما يكون أي من العوامل الخطية في المقامين مساويًا لصفر، فهذا يعني أن أحد المقامين يساوي صفرًا. وتحدث هذه الحالة عندما يكون ﺱ تربيع يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا، أو ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا، أو ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. إذا قمنا بحل هذه المعادلات البسيطة، فسنجد أن الدالة ﻥﺱ غير معرفة عند ﺱ يساوي سالب خمسة وصفرًا وثلاثة وستة. دعونا نكتب هذه المعلومة جانبًا لاستخدامها لاحقًا، ونرجع إلى خطوات التبسيط.

كما ذكرنا من قبل، سنبحث الآن عن عوامل مشتركة لحذفها من مقام وبسط كل من المقدارين الكسريين. في المقدار الكسري الأول، يمكننا حذف العامل ﺱ والعامل ﺱ ناقص ثلاثة من البسط والمقام. بالنسبة إلى المقدار الكسري الثاني، قبل أن نبدأ، سنعيد التعبير عن أحد العوامل لدينا وسنكتبه بطريقة مختلفة لجعل عملية الحذف أكثر وضوحًا. لاحظ أن علينا أولًا طرح المقدار الكسري الثاني في الدالة ﻥﺱ. ويمكن أن نفترض أن هناك عاملًا مقداره سالب واحد أمام المقدار بأكمله. لدينا أيضًا العامل ستة ناقص ﺱ في بسط هذا المقدار. ويمكن التعبير عن سالب واحد مضروبًا في ستة ناقص ﺱ على الصورة ﺱ ناقص ستة.

دعونا نعوض بذلك مرة أخرى في الدالة ﻥﺱ. سنضيف الآن المقدار الكسري الثاني، وهو ﺱ ناقص ستة مضروبًا في ستة زائد ﺱ على ﺱ ناقص ستة مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. من السهل الآن ملاحظة أنه يمكن حذف العامل المشترك ﺱ ناقص ستة من بسط هذا الكسر ومقامه. رائع! إذن، المقدار بعد التبسيط هو خمسة على ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة زائد ﺱ زائد ستة على ﺱ زائد خمسة.

سنتابع التبسيط، وهدفنا هنا هو جمع هذين المقدارين الكسريين في صورة مقدار كسري واحد. ويمكننا القيام بذلك عن طريق إيجاد مقام مشترك بين المقدارين. في الحالة التي لدينا، أبسط طريقة لفعل ذلك هي ضرب بسط المقدار الكسري الثاني ومقامه في ﺱ. وهذا يعطينا مقامًا مشتركًا، وهو ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. يمكننا الآن جمع المقدارين الكسريين لنحصل بذلك على خمسة زائد ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد ستة مقسومًا على المقام المشترك الجديد ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة.

كما ذكرنا سابقًا، عندما يكون لدينا كثيرة حدود، من المفيد التعبير عنها بدلالة عوامل خطية. في الوقت الحالي، البسط ليس على هذه الصورة. لتبسيط هذا البسط، سنقوم أولًا بتوزيع العامل ﺱ على ما بين القوسين. بعد ذلك سنعيد ترتيب المقدار ليكون على الصورة التربيعية المألوفة. بتحليل هذا المقدار التربيعي، نحصل على ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد خمسة، وهو ما يمكن التعويض به في المقدار الذي يعبر عن الدالة ﻥﺱ.

لاحظ أننا تناولنا بالفعل مجال الدالة؛ لذا يمكننا الآن المتابعة وحذف العوامل المشتركة مرة أخرى. ومن السهل هنا ملاحظة أنه يمكن حذف العامل المشترك ﺱ زائد خمسة من بسط الكسر ومقامه. هذا يعطينا المقدار الكسري ﺱ زائد واحد على ﺱ. وبما أنه لا يمكننا التبسيط أكثر من ذلك، نكون قد وصلنا إلى نهاية عملية التبسيط. تبسط الدالة ﻥﺱ إلى ﺱ زائد واحد على ﺱ.

على الرغم من أننا وصلنا إلى نهاية عملية التبسيط، فإننا لم ننته بعد من حل السؤال. دعونا نفرغ بعض المساحة لنتناول الجزء الأخير من السؤال، وهو إيجاد مجموعة حل المعادلة ﻥﺱ يساوي صفرًا. والآن بعد أن أصبح لدينا مقدار مبسط يعبر عن الدالة ﻥﺱ، يمكننا ببساطة إيجاد مجموعة الحل بمساواة هذا المقدار بصفر وحل المعادلة. ولكي يكون المقدار الكسري ﺱ زائد واحد على ﺱ يساوي صفرًا، يجب أن يكون البسط ﺱ زائد واحد مساويًا لصفر. يمكننا أيضًا التفكير في هذا على أنه ضرب طرفي المعادلة في ﺱ. الخطوة التالية هي طرح واحد من كلا طرفي المعادلة. وبذلك نجد أن ﺱ يساوي سالب واحد.

في الخطوة الأخيرة، دعونا نتحقق سريعًا من أن ﺱ يساوي سالب واحد ليس من بين القيم التي تكون عندها الدالة ﻥﺱ غير معرفة. إذا كان هذا صحيحًا، فلن يكون جزءًا من مجموعة الحل. وبما أن الدالة ﻥﺱ معرفة عند ﺱ يساوي سالب واحد، يمكننا قول إن مجموعة الحل هي بالفعل سالب واحد. بهذه الخطوة نكون قد توصلنا إلى إجابة السؤال. المقدار المبسط الذي يعبر عن الدالة ﻥﺱ هو ﺱ زائد واحد على ﺱ. ومجموعة حل المعادلة ﻥﺱ تساوي صفرًا هي سالب واحد.