فيديو: تبسيط الدوال الكسرية باستخدام التحليل ثم إيجاد أصفارها

اختصر الدالة ﻥ(ﺱ) = (٥ﺱ^٢ − ١٥ﺱ)/(ﺱ^٤ + ٢ﺱ^٣ − ١٥ﺱ^٢) − (٣٦ − ﺱ^٢)/(ﺱ^٢ − ﺱ − ٣٠)، ثم أوجد مجموعة حل المعادلة ﻥ(ﺱ) = ٠.

٠٨:٠٩

‏نسخة الفيديو النصية

اختصر الدالة ن س تساوي: خمسة س تربيع ناقص خمستاشر س، على س أُس أربعة زائد اتنين س أُس تلاتة ناقص خمستاشر س تربيع؛ ناقص ستة وتلاتين ناقص س تربيع، على س تربيع ناقص س ناقص تلاتين. ثم اوجد حل المعادلة ن س تساوي صفر.

بنبدأ أول حاجة باختصار الدالة ن س. بعد كده هنحاول نحل المعادلة ن س تساوي صفر.

بنلاقي إن ن س عبارة عن الفرق بين دالتين كسريتين. فهنحاول نبسّط كل دالة كسرية. فبنكتب كده ن س تساوي … بنلاقي إن فيه عامل مشترك أكبر بين حدود البسط، وهو عبارة عن خمسة س. فبناخد كده خمسة س عامل مشترك. بنقسم خمسة س تربيع على خمسة س. فالناتج هيكون بِـ س. ناقص خمستاشر س على خمسة س، الناتج هيكون بتلاتة. وبنلاقي إن س تربيع عامل مشترك أكبر بين حدود المقام. يبقى س تربيع عامل مشترك.

بعد كده بنشوف س أُس أربعة على س تربيع بس تربيع. زائد اتنين س أُس تلاتة على س تربيع باتنين س. ناقص خمستاشر س تربيع على س تربيع، يبقى ناقص خمستاشر.

ناقص ستة وتلاتين ناقص س تربيع في البسط. فممكن نكتب الستة وتلاتين عبارة عن ستة تربيع ناقص س تربيع. على س تربيع ناقص س ناقص تلاتين.

بعد كده بنلاحظ وجود أقواس تربيعية زي س تربيع زائد اتنين س ناقص خمستاشر. فهنحاول نحلّل هذه الأقواس التربيعية. يبقى ن س هتساوي خمسة س في س ناقص تلاتة. على س تربيع في … هنحلّل س تربيع زائد اتنين س ناقص خمستاشر إلى قوسين. بنلاقي إن القوس الأول هيكون عبارة عن س، وَ س في القوس التاني. بعد كده بنشوف عددين حاصل ضربهم سالب خمستاشر. وبنلاقي إن مجموعهم بيكون موجب اتنين. وإشارتهم مختلفة بسبب إن الثابت اللي هو سالب خمستاشر س إشارته سالبة. يبقى القوس الأول عبارة عن س ناقص تلاتة. والقوس التاني عبارة عن س زائد خمسة.

ناقص ستة تربيع ناقص س تربيع. ممكن نحللها إلى قوسين. القوس الأول هيكون عبارة عن ستة ناقص س. والقوس التاني هيكون عبارة عن ستة زائد س. والمقام عبارة عن س تربيع ناقص س ناقص تلاتين. فممكن نحلّله إلى قوسين. فالقوس الأول هيكون عبارة عن س. والقوس التاني هيكون عبارة عن س. ومحتاجين عددين يكون حاصل ضربهم بسالب تلاتين، وإشارتهم مختلفة، ومجموعهم عبارة عن سالب واحد، وإشارة الأكبر فيهم بتتبع إشارة معامل س. وهنا أيضًا إشارة الكبير كانت بتتبع معامل س؛ عشان كده اخترنا إن إشارة الخمسة تكون موجبة، والتلاتة إشارتها تكون سالبة.

يبقى القوس الأول هيكون عبارة عن س ناقص ستة. والقوس التاني هيكون عبارة عن س زائد خمسة. سالب ستة في خمسة بسالب تلاتين. وبنلاقي إن مجموعهم هيكون بسالب واحد. وستة هي الكبير، فخَد إشارة معامل س، فأصبح إشارته سالبة. بنلاحظ إن فيه قوس مشترك بين البسط والمقام، وهو س ناقص تلاتة. فَـ س ناقص تلاتة تُختصر مع س ناقص تلاتة. وبنلاقي في الدالة الكسرية التانية ستة ناقص س في البسط على س ناقص ستة في المقام. يعني لو قدرنا ناخد عامل مشترك من س ناقص ستة قوس البسط. فنقدر نختصر الناتج مع س ناقص ستة في المقام.

وبالتالي ن س هتكون عبارة عن … يبقى ن س هتساوي خمسة س على، س تربيع في س زائد خمسة؛ ناقص سالب واحد في سالب ستة زائد س في ستة زائد س، على س ناقص ستة في س زائد خمسة. وده بعد ما أخدنا سالب واحد عامل مشترك من القوس ده.

بنكمّل بعد كده ونلاقي إن ن س هتساوي خمسة س على، س تربيع في س زائد خمسة؛ زائد … وده بعد ضرب السالب واحد في الفرق بين الدالتين الكسرتين؛ يعني سالب في سالب بيكون بموجب. وهنبدّل بعد كده في القوس سالب ستة زائد س، هنبدل الـ س مكان السالب ستة. يبقى س ناقص ستة في ستة زائد س، على س ناقص ستة في س زائد خمسة.

بعد كده بنختصر س ناقص ستة مع س ناقص ستة. وبنلاقي عندنا إن فيه خمسة س على س تربيع في المقام، ممكن نختصر س أُس واحد مع التربيع اللي تحت. يعني بنقسم البسط والمقام على س. يبقى الناتج في البسط بخمسة بس. وبنلاقي إن الناتج تحت هيكون عبارة عن س. يبقى ن س هتساوي خمسة على، س في س زائد خمسة؛ زائد ستة زائد س على س زائد خمسة.

عاوزين نختصر ن س أكتر. فهيتمّ توحيد المقامات. فلازم نوجد المقام المشترك الأصغر بين الكسرين. فبنلاقي عندنا إن الكسر الأول مقامه س في س زائد خمسة. وبنلاقي إن الكسر التاني مقامه عبارة عن س زائد خمسة. يبقى المقام الأكبر هو عبارة عن س في س زائد خمسة؛ لأن بنلاحظ س زائد خمسة مشترك بين المقامين. يبقى محتاجين نضرب البسط في س، ومحتاجين نضرب المقام في س؛ عشان يتمّ توحيد المقامات.

يبقى ن س هتساوي خمسة على، س في س زائد خمسة؛ زائد … هيتمّ توزيع الـ س على الجمع. يبقى س في ستة بِـ ستة س. وَ س في س بِـ س تربيع، على س في س زائد خمسة في المقام.

بعد ما وحدنا المقامات دلوقتي نقدر نجمع بسطي الدالتين الكسريتين. يبقى ن س هتساوي س تربيع زائد ستة س زائد خمسة. رتبنا بس قوى س من الأكبر للأصغر. والمقام عبارة عن س في س زائد خمسة. بنجد إن البسط عبارة عن مقدار تربيعي ممكن يتمّ تحليله إلى قوسين. فهنشوف عاملين حاصل ضربهم بخمسة وإشارتهم الاتنين موجبة، ويكون مجموعهم بستة. يبقى البسط هيتمّ تحليله إلى س زائد خمسة في س زائد واحد. والمقام عبارة عن س في س زائد خمسة.

بنختصر س زائد خمسة في البسط مع س زائد خمسة في المقام. وبالتالي يبقى ن س هتساوي س زائد واحد على س. وبكده يبقى اختصرنا الدالة ن س. بعد كده مطلوب نحل المعادلة ن س تساوي صفر. بنساوي ن س بالصفر. يبقى س زائد واحد على س تساوي صفر. باستخدام الضرب التبادلي، بنلاقي إن س زائد واحد تساوي س في صفر. يعني الناتج هيكون بصفر.

بنعزل المتغيّر س في طرف عن طريق طرح واحد من الطرفين. بنلاقي إن في الآخر قيمة س هتساوي سالب واحد. ودي قيمة س اللي بتحل المعادلة ن س تساوي صفر.

يبقى اختصار الدالة ن س هتساوي س زائد واحد على س. وبنلاقي إن مجموعة الحل هتكون عبارة عن سالب واحد. وهي دي الإجابة النهائية للسؤال اللي المذكور، بعد أن اختصرنا الدالة ن س، وبعد ما أوجدنا مجموعة حل المعادلة ن س تساوي صفر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.