فيديو الدرس: نظام القوى المكافئ للازدواج الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الشروط اللازمة لنظام مكون من قوى مستوية ليكافئ ازدواجًا، ونوجد عزمه. في البداية، دعونا نذكر أنفسنا بما يعنيه بعض هذه المصطلحات.

أولًا، الازدواج هو قوتان تؤثران بمقدار متساو وفي اتجاهين متضادين ولا تقعان على خط العمل نفسه. لذا، على سبيل المثال، إذا كان كل سهم من هذين السهمين يمثل متجه قوة، نلاحظ أنه نظرًا لكون هذين السهمين متساويين في الطول، فلا بد أن يكون لهذين المتجهين المقدار نفسه. كما يشيران إلى اتجاهين متضادين. ولا يتداخل خطا عمل هاتين القوتين. ومن ثم، تكونان ازدواجًا. ثمة أمر آخر يمكننا قوله عن هاتين القوتين، وهو أنهما مستويتان، أي تقعان في المستوى نفسه، وهو مستوى الشاشة في هذه الحالة.

تخيل الآن أن لدينا قضيبًا خفيفًا للغاية، مهمل الكتلة عمليًّا، موضوعًا بهذا الشكل بحيث تدفع قوتا الازدواج القضيب في اتجاهين متضادين. في هذه الحالة، سيكون الازدواج ما يسمى بالعزم حول مركز القضيب. يمكننا أن نطلق على هذا العزم ﺝ لأنه ناتج عن ازدواج. وبوجه عام، العزم الناتج عن الازدواج يساوي اثنين في إحدى قوتي العزم مضروبًا في المسافة العمودية بين موضع تأثير تلك القوة ومحور الدوران. في هذه الحالة تحديدًا، ستكون المسافة ﻝ محددة هنا بخط متقطع باللون الوردي. إنه يمثل نصف المسافة العمودية بين خطي عمل القوتين.

إذا قلنا أيضًا إن مقدار كل قوة من هاتين القوتين يساوي ﻕ، فكما تنص المعادلة العامة، مقدار العزم الذي ينتج عن هذا الازدواج يساوي اثنين في ﻕ في ﻝ. والآن في هذا الدرس، سنتناول أنظمة القوى التي عند دمجها معًا، تكافئ ازدواجًا. كمثال على ذلك، كان لدينا في بداية الفيديو أربعة أشخاص يدفعون أرجوحة دوارة. إذا نظرنا إلى هذه الأرجوحة الدوارة من أعلى، فسنجد أنها تبدو هكذا بمتجهات القوة الموضحة. هذا نظام من القوى. ومن منظور العزم الذي يتكون حول مركز الأرجوحة الدوارة، يمكننا القول إن هذا النظام من القوى يكافئ ازدواجًا كهذا.

وفي دراستنا لهذا الموضوع، سنتناول نقطتين أساسيتين. بمعلومية نظام القوى، نريد معرفة ما إذا كان ذلك النظام يكافئ ازدواجًا. وإذا لم يكن كذلك، فسنرغب في تحديد القوة أو القوى التي تجعله هكذا. لمعرفة كيف نتعامل مع ذلك عمليًّا، دعونا نلقي نظرة على أحد الأمثلة.

في الشكل الموضح، ﺃﺏﺟﺩ شبه منحرف قائم الزاوية عند ﺃ، حيث ﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٣٢ سنتيمترًا، وﺃﺩ يساوي ١٦ سنتيمترًا. القوى الموضحة مقيسة بالنيوتن وممثلة تمثيلًا كاملًا بأضلاع شبه المنحرف، حيث تتناسب مقادير القوى مع أطوال أضلاعه المناظرة للقوى. إذا كان نظام القوى يكافئ ازدواجًا، فأوجد قيم ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة.

حسنًا، نرى هنا شبه المنحرف هذا الذي أركانه هي ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. كما نرى أيضًا القوى الثلاثة المجهولة التي نريد إيجادها؛ وهي ﻕ واحد وﻕ اثنان وﻕ ثلاثة. كل قوة من هذه القوى تؤثر في اتجاه ضلع من أضلاع شبه المنحرف، بالإضافة إلى هذه القوة المعلومة التي مقدارها ٣٠ نيوتن. يوضح نص المسألة أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺏﺟ يساوي ٣٢ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺃﺩ يساوي ١٦ سنتيمترًا. علمنا أيضًا أن مقادير القوى المؤثرة على شبه المنحرف هذا تتناسب مع أطوال أضلاعه المناظرة لهذه القوى.

هذا يعني، على سبيل المثال، أنه بما أن طول الضلع ﺏﺟ يساوي ضعف طول الضلع ﺃﺩ، فإن مقدار القوة ﻕ ثلاثة لا بد أن يكون أكبر مرتين من مقدار ﻕ واحد. تنطبق علاقة التناسب نفسها على الضلعين الآخرين. وعلمنا أيضًا من المعطيات أن هذا النظام المكون من أربع قوى يكافئ ازدواجًا. ذلك يعني أنه يمكننا مساواة هذه القوى الأربعة بقوتين متساويتين ومتضادتين تؤثران في اتجاه خطي عمل مختلفين. بعد معرفة كل هذا، نريد الحل لإيجاد القوى المجهولة ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة.

للبدء في فعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة، ولنفكر فيما يعنيه أن هذه القوى الأربعة تكافئ ازدواجًا. إذا رسمنا خطوط العمل لهذه القوى الأربعة، فإنها ستتبع فعليًّا أضلاع شبه المنحرف. لأن هذه القوى الأربعة تكافئ ازدواجًا، فهذا يعني أنه يمكننا اختيار نقطتي تقاطع لخطوط العمل هذه. وطالما أن هاتين النقطتين تقعان على خطوط العمل الأربعة كلها، يمكننا إذن القول إن ازدواج القوى ينشأ فعليًّا من هاتين النقطتين.

ستجد فيما يلي ما نعنيه بذلك. لنفترض أننا اخترنا ركني شبه المنحرف ﺏ وﺩ. عند النقطة ﺏ، يلتقي خطا عمل القوتين ﻕ اثنين وﻕ ثلاثة. ونجد أن النقطة ﺩ هي تقاطع خطي عمل القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن والقوة ﻕ واحد. وبهذا، نكون قد أوضحنا القوى الأربعة. ومن ثم، إذا رسمنا هذه القوى باعتبارها نشأت عند هذين الركنين لشبه المنحرف، فستبدو بهذا الشكل.

إذن، نمثل القوى الأربعة كلها باعتبارها نشأت عند هذين الركنين لشبه المنحرف. لاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا اختيار الركنين ﺃ وﺟ نظرًا لأن هذين الركنين يقطعان خطوط العمل الأربعة. لكن في كلتا الحالتين، يمكننا تحليل هذه القوى الأربعة باعتبارها ازدواجًا. كل هذا يعني أن القوة المحصلة التي تؤثر عند النقطة ﺩ متساوية في المقدار لكنها مضادة في الاتجاه للقوة المحصلة التي تؤثر عند النقطة ﺏ. وبما أن القوتين اللتين يمكننا أن نطلق عليهما الاتجاه الرأسي مستقلتان عن القوتين في الاتجاه الأفقي، فيمكننا أيضًا القول إن القوة الرأسية الكلية عند ﺩ مساوية ومضادة لتلك التي عند ﺏ، وبالمثل للمركبتين الأفقيتين.

هذا يعني أنه توجد معادلتا اتزان قوى يمكننا كتابتهما؛ إحداهما للاتجاه الرأسي والأخرى للأفقي. إذا اعتبرنا أن القوى التي تتجه إلى اليمين والأخرى التي تتجه للأعلى موجبة، فعندما يتعلق الأمر بالقوتين الرأسيتين المؤثرتين عند النقطتين ﺏ وﺩ، يمكننا كتابة أن المركبة الرأسية للقوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن، والتي سنطلق عليها ٣٠ رأسي، ناقص القوة ﻕ اثنين التي تؤثر عند النقطة ﺏ تساوي صفرًا. بإعادة ترتيب هذه المعادلة قليلًا، نلاحظ أنه إذا استطعنا الحل لإيجاد قيمة المركبة الرأسية للقوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن، فسنعرف قيمة ﻕ اثنين.

بالعودة إلى الرسم، نرى أن هذه القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن تمثل بالفعل وتر مثلث قائم الزاوية. إذا فكرنا في هذا المثلث لكن ليس من ناحية القوى وإنما من حيث المسافات، فإننا نعلم أن هذا الضلع يساوي ١٢ سنتيمترًا، وهذا الضلع يساوي ٣٢ ناقص ١٦؛ أي ١٦ سنتيمترًا. وذلك يعني أن الوتر يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢ تربيع زائد ١٦ تربيع؛ أي ٢٠ سنتيمترًا. من المفيد معرفة أطوال هذه الأضلاع لأننا إذا اعتبرنا أن هذه الزاوية الداخلية للمثلث القائم الزاوية هي 𝜃، فيمكننا القول إن المركبة الرأسية للقوة ٣٠ نيوتن تساوي ٣٠ في جا 𝜃.

إننا نتذكر أنه إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية به زاوية داخلية أخرى هي 𝜃، فإن جيب هذه الزاوية يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل لهذه الزاوية وطول الوتر. هذا يعني أنه في المثلث القائم الزاوية المعني، جا 𝜃 يساوي النسبة التي تساوي ١٢ مقسومًا على ٢٠. ٣٠ في ١٢ على ٢٠ يساوي ١٨. وبذلك، أصبحنا الآن نعرف مقدار القوة ﻕ اثنين. ونعرف أن هذا بوحدة النيوتن. سنكتب هذه النتيجة، وننتقل إلى إيجاد قيمتي القوتين المجهولتين المتبقيتين ﻕ واحد وﻕ ثلاثة. نلاحظ أن كلتا القوتين تتجهان أفقيًّا.

فيما يتعلق بمعادلة اتزان القوى، يمكننا أن نكتبها ﻕ ثلاثة ناقص ﻕ واحد ناقص المركبة الأفقية للقوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن، وهي ٣٠ في جتا 𝜃، الكل يساوي صفرًا. بالعودة إلى نموذج المثلث القائم الزاوية، يمكننا القول إن جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على وتر المثلث. في المثلث المكون من شبه المنحرف، هذه النسبة تساوي ١٦ مقسومًا على ٢٠. وحتى مع معرفة ذلك، يمكننا أن نرى أن لدينا هنا معادلة واحدة لكنها تضم مجهولين. سيتعين علينا إدخال بعض المعلومات الأخرى لإيجاد قيمتي ﻕ واحد وﻕ ثلاثة.

في هذه المرحلة، يمكننا تذكر أن القوى التي تتضمنها هذه الحالة تتناسب وفقًا لأطوال الأضلاع المناظرة لها. وهذا يعني، على سبيل المثال، أن النسبة بين طول الضلع ﺃﺩ، أي ١٦ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺃﺏ، تساوي النسبة بين ﻕ واحد وﻕ اثنين، وهما القوتان المؤثرتان على هذين الضلعين. هذا رائع لأنه يعني أن ﻕ واحد يساوي ١٦ على ١٢ في ﻕ اثنين التي نعرف قيمتها. إذن، مقدار ﻕ واحد يساوي ١٦ على ١٢ في ١٨ نيوتن؛ أي ٢٤ نيوتن.

بتذكر طريقة التناسب هذه، يصبح لدينا الآن طريقتان للحل لإيجاد قيمة ﻕ ثلاثة. يمكننا استخدام الطريقة نفسها التي استخدمناها لإيجاد قيمة ﻕ واحد. أو، الآن بعد أن عرفنا قيمة ﻕ واحد، يمكننا استخدام معادلة اتزان القوى الموضحة هنا. بما أننا قد كتبنا هذه المعادلة بالفعل، دعونا نتابع حلها. بإضافة ﻕ واحد و٣٠ في ١٦ على ٢٠ إلى كلا الطرفين، نتوصل إلى أن ﻕ ثلاثة يساوي ﻕ واحد زائد ٣٠ في ١٦ على ٢٠. وبمعرفة أن ﻕ واحد بدون وحدات يساوي ٢٤، وأن ١٦ على ٢٠ يساوي أربعة أخماس، نجد أن ﻕ ثلاثة يساوي ٤٨ بوحدة النيوتن.

إذن، نجد أن مقادير القوى الثلاثة ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة المؤثرة على أضلاع شبه المنحرف تساوي ٢٤ و١٨ و٤٨ نيوتن على الترتيب. هذه المقادير تعني أن جميع القوى الأربعة التي تضمنها شبه المنحرف تكون ازدواجًا.

لنتناول الآن مثالًا نحسب فيه العزم الناتج عن نظام من القوى.

‏ﺃﺏﺟﺩ مستطيل، فيه ﺃﺏ يساوي ٤٥ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٥٥ سنتيمترًا، وﺩﻫ يساوي ٢٨ سنتيمترًا. تؤثر قوى مقاديرها ٢٢٥ و٢٧٥ و٢٦٥ و١٣٥ نيوتن في اتجاه ﺃﺏ وﺏﺟ وﺟﻫ وﻫﺃ على الترتيب. إذا كان نظام القوى مكافئًا لازدواج، فأوجد مقدار عزم القوى.

حسنًا، لدينا هنا هذا المستطيل ﺃﺏﺟﺩ. ونعرف من المعطيات أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي ٤٥ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺏﺟ يساوي ٥٥ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺩﻫ يساوي ٢٨ سنتيمترًا. كما نعرف من المعطيات مقدار القوى الأربعة المؤثرة على هذا المستطيل، وأن هذا النظام من القوى يكافئ ازدواجًا. هذا يعني أنه يمكننا فعليًّا الاستعاضة عن القوى الأربعة بقوتين متساويتين ومتضادتين لا تقعان على خط العمل نفسه. بعد معرفة كل هذا، نريد تحديد مقدار عزم هذه القوى الأربعة.

للبدء في فعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة. ولنفكر فيما يعنيه أن هذه القوى الأربعة تكافئ ازدواجًا. إنه يعني أننا إذا رسمنا خطوط العمل لهذه القوى الأربعة، ثم اخترنا نقطتي تقاطع لهذه الخطوط بحيث تتضمن هاتان النقطتان جميع خطوط العمل الأربعة، فيمكننا إذن تمثيل القوى الأربعة كلها كما لو أنها نشأت من هاتين النقطتين. على سبيل المثال، إذا اخترنا النقطتين ﺟ وﺃ في المستطيل، فمن النقطة ﺃ يمكننا اعتبار أن القوة التي مقدارها ٢٢٥ نيوتن تؤثر لأسفل، والقوة التي مقدارها ١٣٥ نيوتن تؤثر في اتجاه اليمين، وبالمثل مع النقطة ﺟ حيث نقول إن القوة التي مقدارها ٢٧٥ نيوتن تؤثر في اتجاه اليسار والقوة التي مقدارها ٢٦٥ نيوتن تؤثر لأعلى وفي اتجاه اليمين. ولأن نظام القوى لدينا يكافئ ازدواجًا، فيمكننا القول إن القوة الكلية المؤثرة عند النقطة ﺃ مساوية ومضادة لتلك القوة الكلية المؤثرة عند النقطة ﺟ.

ويمكننا في الواقع الاستفاضة أكثر من ذلك. بما أنه يمكن تقسيم القوى إلى مركبتين مستقلتين رأسية وأفقية، فيمكننا القول إن القوة الأفقية المحصلة عند النقطة ﺃ مساوية ومضادة لتلك التي عند النقطة ﺟ، وبالمثل للقوة الرأسية المحصلة عند هاتين النقطتين. ونضيف معلومة جانبية، وهي أننا لم نكن بحاجة لاستخدام النقطتين ﺃ وﺟ لتمثيل نقطتي الأصل للقوى الأربعة. هاتان النقطتان مجتمعتين تستوفيان شرط تداخل جميع خطوط العمل الأربعة، لكن بالنظر إلى المستطيل مرة أخرى، نجد أن النقطتين ﻫ وﺏ كذلك. فأي من هذين الزوجين من النقاط يصلح لتحليل هذه الحالة.

لكن على أي حال، بمعلومية أن القوتين الكليتين عند ﺟ وﺃ تكونان ازدواجًا، فإن هدفنا هو إيجاد مقدار العزم الناتج عن هذا الازدواج. يمكننا أن نتذكر هنا أن العزم الناتج عن ازدواج قوتين يساوي اثنين في مركبة القوة العمودية على المسافة بين موضع تأثير القوة وموضع محور الدوران مضروبًا في هذه المسافة. الفكرة هنا هي أن كل قوة من قوتي الازدواج تساهم بالتساوي في العزم الكلي. ولهذا إذا أوجدنا قيمة هذه المركبة العمودية لإحدى هاتين القوتين ثم ضربناها في المسافة ﻝ، فسنحتاج فقط إلى ضرب هذه النتيجة في اثنين لإيجاد العزم الكلي.

باستخدام ﺃ وﺟ باعتبارهما نقطتي الأصل للقوتين المكونتين لهذا الازدواج، يمكننا التفكير في هاتين القوتين باعتبارهما تؤثران على خط مثل هذا الذي يصل بين النقطتين. ومن ثم، فإن العزم الذي نحاول إيجاده يؤثر حول نقطة المنتصف لهذا الخط. وفي المستطيل، سيبدو هذا الخط ونقطة المنتصف بهذا الشكل. إذن هذه هي الفكرة. إذا استطعنا إيجاد القوة المحصلة العمودية على هذا الخط والتي تؤثر إما عند النقطة ﺃ أو النقطة ﺟ، عندئذ سنوجد قيمة ﻕ العمودية في هذه المعادلة. يمكننا أن نختار إما النقطة ﺟ وإما النقطة ﺃ لإيجاد قيمة هذه القوة عندها.

وبما أن القوتين عند النقطة ﺃ تؤثران على ما يمكننا أن نسميه الاتجاهين الرأسي والأفقي، دعونا نختر هذه النقطة. هدفنا إذن هو الحل لإيجاد قيمتي مركبتي كل من القوتين ٢٢٥ و١٣٥ نيوتن العموديتين على هذا الخط المتقطع باللون البرتقالي. وبجمعهما معًا، نحصل على ﻕ العمودية هنا. بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية الناتج عن القوة التي مقدارها ٢٢٥ نيوتن، يمكننا أن نطلق على هذه الزاوية الداخلية في هذا المثلث 𝜃 واحد. نحن مهتمون بهذه الزاوية؛ لأن جا 𝜃 واحد في ٢٢٥ يساوي المركبة العمودية لهذه القوة.

والآن، إذا عدنا إلى الشكل الأصلي، فإن هذه الزاوية في ذلك الشكل تساوي أيضًا 𝜃 واحد. كما نلاحظ أن هذه زاوية داخلية بالفعل في هذا المثلث القائم الزاوية المرسوم باللون البرتقالي. والضلعان الأقصر طولًا في المثلث طولاهما ٤٥ و٥٥ سنتيمترًا، على الترتيب. ووفقًا لنظرية فيثاغورس، يمكننا القول إن طول الوتر يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٥ تربيع زائد ٥٥ تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٠٥٠.

في هذه المرحلة، نتذكر أنه إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية حيث 𝜃 هي زاوية داخلية أخرى في هذا المثلث، فإن جا 𝜃 يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر. وهذا يعني أنه عندما يتعلق الأمر بالزاوية موضع السؤال، وهي جا 𝜃 واحد، فإنها تساوي ٥٥ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٥٠٥٠. بالنسبة إلى 𝜃 واحد، فإنها تساوي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر. إذن، لدينا الآن مقدار يعبر عن المركبة العمودية لهذه القوة التي مقدارها ٢٢٥ نيوتن. ويمكننا أن نبدأ في حساب ذلك باستخدام متغير سنطلق عليه ﻕ العمودية. هذا بالضبط هو ذلك المتغير الذي نراه في معادلة ﺝ. ونحن نعرف الآن أنه يساوي هذا الحد زائد الحد الثاني الذي سنوجده بعد قليل.

هذا الحد الثاني يساوي هذه المركبة للقوة التي مقدارها ١٣٥ نيوتن. ولإيجاد قيمتها، يمكننا استخدام طريقة مشابهة. لنفترض أن هذه الزاوية الداخلية في هذا المثلث القائم الزاوية هي 𝜃 اثنين. في المستطيل، ستبدو الزاوية 𝜃 اثنان هكذا. ونلاحظ أن هذه هي نفسها الزاوية الموجودة هنا في المثلث. مرة أخرى، لحساب مركبة هذه القوة العمودية على الخط المتقطع، سنحتاج إلى استخدام جيب هذه الزاوية. إننا نريد حساب ١٣٥ في جا 𝜃 اثنين. جيب هذه الزاوية يساوي طول الضلع المقابل، وهو٤٥ سنتيمترًا، مقسومًا على وتر المثلث.

نحن نعرف الآن مركبة القوة، التي مقدارها ١٣٥ نيوتن، والعمودية على الخط البرتقالي المتقطع. هذا إذن هو الحد الثاني والأخير في معادلة ﻕ العمودية. حسنًا، لإيجاد ﺝ، لم يتبق لنا سوى إيجاد هذه المسافة ﻝ ثم ضربها في ﻕ العمودية وفي اثنين. بالنظر إلى الشكل الأصلي، نجد أن هذه المسافة تساوي نصف المسافة من النقطة ﺟ إلى النقطة ﺃ. بعبارة أخرى، إنها هذه المسافة هنا. نستنتج على الفور أنها تساوي نصف طول الوتر. بمعنى آخر، ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٠٥٠ على اثنين.

بمعلومية كل ذلك، نحن الآن مستعدون لحساب ﺝ. بالتعويض بالقيمتين اللتين حسبناهما لكل من ﻕ العمودية وﻝ، نلاحظ أن هذا العامل الرئيسي، وهو العدد اثنان، سيحذف مع المقام اثنين، وأيضًا أن الجذر التربيعي للعدد ٥٠٥٠ الذي يظهر في كلا حدي ﻕ العمودية سيضرب في القيمة نفسها، ومن ثم سيساوي واحدًا. نجد بعد ذلك أن ﺝ يساوي ٢٢٥ في ٥٥ زائد ١٣٥ في ٤٥. وهذا يساوي ١٨٤٥٠. إننا نتذكر أن وحدة القوى في هذا المثال هي النيوتن ووحدة المسافات هي السنتيمتر. إذن، العزم الناتج عن هذا النظام من القوى، والذي يكافئ ازدواجًا، يساوي ١٨٤٥٠ نيوتن سنتيمترًا.

دعونا نختتم هذا الدرس الآن بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، رأينا أن نظام القوى قد يكافئ ازدواجًا. إذا كان الأمر كذلك، عندئذ يكون العزم الناتج عن ذلك النظام من القوى يساوي عزم الازدواج. رأينا أيضًا أن تلك القوى في النظام قد تؤثر على طول خط واحد أو محاور مختلفة، مثل أضلاع شكل ما. وأخيرًا، رأينا أنه عندما يكافئ نظام القوى ازدواجًا، يمكن تمثيل القوى في ذلك النظام باعتبار أنها تؤثر من نقطتين مختلفتين.