فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث

٠٧:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد معادلتي المماس والعمودي للمنحنى س بتساوي قا 𝜃، وَ ص بتساوي ظا 𝜃، عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على ستة.

عشان نقدر نوجد معادلتي المماس والعمودي لأي منحنى، محتاجين ننفّذ بعض الخطوات اللي بتكون … أول خطوة هنوجد نقطة على المنحنى. تاني خطوة هنوجد د ص على د س. تالت خطوة هنوجد ميل المماس وميل العمودي. وآخر خطوة هنوجد معادلة المماس ومعادلة العمودي.

فبالنسبة لأول خطوة، وهي إيجاد نقطة على المنحنى. مطلوب نوجد معادلتي المماس والعمودي للمنحنى عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على ستة. وبالتالي هنوجد نقطة بتقع عل المنحنى عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على ستة، وهنحسب إحداثيها السيني والصادي. يبقى عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على ستة، س هتساوي قا 𝜋 على ستة. ونقدر نكتب قا في صورة واحد على جتا. فهيكون عندنا س بتساوي واحد على جتا 𝜋 على ستة. وَ جتا 𝜋 على ستة هتساوي الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين، فهيكون عندنا س بتساوي واحد على الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين. يعني س هتساوي اتنين على الجذر التربيعي لتلاتة.

هنضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لتلاتة، فهيكون عندنا س بتساوي اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. ولو عايزين نوجد ص، فَـ ص بتساوي ظا 𝜃. هنعوّض عن 𝜃 بِـ 𝜋 على ستة، فَـ ص هتساوي ظا 𝜋 على ستة. يعني ص هتساوي واحد على الجذر التربيعي لتلاتة.

هنضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لتلاتة، فهيكون عندنا ص بتساوي الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. وبالتالي يبقى النقطة اللي بتقع على المنحنى، هتكون هي النقطة اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة، والجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. ويبقى كده نكون قدرنا نوجد أول خطوة.

بالنسبة لتاني خطوة، محتاجين نوجد د ص على د س، اللي بتعبر عن ميل مماس المنحنى عند أي نقطة. هنلاحظ مُعطى س دالة في 𝜃. ومُعطى أيضًا ص دالة في 𝜃. وبالتالي ممكن نقدر نستخدم قاعدة السلسلة، اللي بتكون على الصورة د ص على د س، بتساوي د ص على د 𝜃، مضروبة في د 𝜃 على د س. يعني محتاجين نوجد د ص على د 𝜃، وَ د 𝜃 على د س. معطى ص بتساوي ظا 𝜃. وبالتالي د ص على د 𝜃، هتساوي … تفاضل ظا 𝜃 هيكون بيساوي قا تربيع 𝜃.

يبقى كده قدرنا نوجد د ص على د 𝜃. محتاجين نوجد د 𝜃 على د س. معطى إن س بتساوي قا 𝜃. وبالتالي نقدر نوجد د س على د 𝜃. تفاضل قا 𝜃 هتساوي قا 𝜃 مضروبة في ظا 𝜃. هنلاحظ إننا محتاجين نوجد د 𝜃 على د س. بس قدرنا نوجد د س على د 𝜃. يعني محتاجين نوجد مقلوب د س على د 𝜃. وبالتالي د 𝜃 على د س هيساوي واحد على قا 𝜃 في ظا 𝜃. يبقى كده قدرنا نوجد د 𝜃 على د س. وبالتالي د ص على د س هتساوي … هنعوّض عن د ص على د 𝜃 بـ قا تربيع 𝜃. مضروبة في … هنعوّض عن د 𝜃 على د س بواحد على قا 𝜃 مضروبة في ظا 𝜃. يعني د ص على د س هتساوي … قا تربيع 𝜃 على قا 𝜃، هيكون عندنا في البسط قا 𝜃، مضروبة في واحد على ظا 𝜃. يعني د ص على د س هتساوي … قا 𝜃 ممكن نكتبها في صورة واحد على جتا 𝜃. مضروبة في … ظا 𝜃 ممكن نكتبها في صورة جا 𝜃 مقسومة على جتا 𝜃. يعني د ص على د س هتساوي واحد على جتا 𝜃 مضروبة في جتا 𝜃 مقسومة على جا 𝜃. يبقى د ص على د س هتساوي … جتا 𝜃 على جتا 𝜃 هيساوي واحد. فهيكون عندنا واحد على جا 𝜃. يعني د ص على د س هيساوي قتا 𝜃. ويبقى كده نكون قدرنا نوجد د ص على د س، وهو ميل مماس المنحنى عند أي نقطة.

تالت خطوة محتاجين نوجد ميل المماس وميل العمودي. فهنوجد ميل المماس وميل العمودي عند النقطة اللي هي اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة، والجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. واللي بتكون أيضًا عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على ستة. فعشان نقدر نوجد ميل المماس، هيكون عندنا د ص على د س لما 𝜃 تكون بِـ 𝜋 على ستة. وبالتالي ميل المماس هيساوي قتا 𝜋 على ستة؛ يعني ميل المماس هيساوي … قتا ممكن أكتبها في صورة واحد على جا، يبقى هيكون عندنا ميل المماس بيساوي واحد على جا 𝜋 على ستة. يعني هيساوي واحد على، واحد على اتنين؛ عشان جا 𝜋 على ستة بتساوي واحد على اتنين. يعني ميل المماس هيساوي اتنين. ويبقى كده نكون قدرنا نوجد ميل المماس.

لو عايزين نوجد ميل العمودي فهنستخدم العلاقة بين ميل المماس وميل العمودي. واللي بتكون على الصورة إن ميل المماس مضروب في ميل العمودي بيساوي سالب واحد. وبالتالي لو محتاجين نوجد ميل العمودي، هنقسم الطرفين على ميل المماس، فهيكون عندنا ميل العمودي بيساوي سالب واحد على ميل المماس. وبما إن ميل المماس بيساوي اتنين، يبقى ميل العمودي هيساوي سالب واحد على اتنين. ويبقى كده قدرنا نوجد ميل العمودي.

محتاجين نوجد آخر خطوة وهي إيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي. فعندنا معادلة الخط المستقيم اللي بيمُرّ بالنقطة س واحد وَ ص واحد وميله م، بيكون على صورة ص ناقص ص واحد بيساوي م مضروبة في س ناقص س واحد.

فأول حاجة لو محتاجين نوجد معادلة المماس، فهيكون عندنا معادلة المماس ص ناقص … ص واحد هو الإحداثي الصادي للنقطة اللي محتاجين نوجد عندها معادلتي المماس والعمودي للمنحنى، اللي هو هيكون الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. هيساوي … ميل المماس بيساوي اتنين، فهيكون عندنا اتنين مضروبة في س ناقص … س واحد هي الإحداثي السيني للنقطة اللي محتاجين نوجد عندها معادلتي المماس والعمودي لمنحنى، اللي بتكون اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة.

وبالتالي يبقى معادلة المماس هي ص ناقص الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة، بيساوي اتنين مضروبة في س ناقص اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. ويبقى كده قدرنا نوجد معادلة المماس. محتاجين نوجد معادلة العمودي. فمعادلة العمودي هتكون ص ناقص ص واحد، اللي هو الإحداثي الصادي للنقطة اللي محتاجين نوجد عندها معادلتي المماس والعمودي للمنحنى. اللي هي بيكون بتساوي الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. هيساوي … ميل العمودي بيساوي سالب واحد على اتنين. فهيكون عندنا سالب واحد على اتنين، مضروب في س ناقص … س واحد هو الإحداثي السيني للنقطة اللي محتاجين نوجد عندها معادلتي المماس والعمودي للمنحنى، اللي هو اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. يبقى معادلة العمودي هتكون ص ناقص الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة، بيساوي سالب واحد على اتنين مضروبة في س ناقص، اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على تلاتة. ويبقى كده قدرنا نوجد معادلة العمودي. وبالتالي نكون قدرنا نوجد معادلتي المماس والعمودي للمنحنى س بيساوي قا 𝜃، وَ ص بتساوي ظا 𝜃 عند 𝜃 بتساوي 𝜋 على ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.