فيديو السؤال: إيجاد عدد القطع المستقيمة التي يمكن تكوينها باستخدام عدد ﺭ من النقاط التي تقع على دائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت هناك ٨٧ نقطة تقع على دائرة، فأوجد عدد القطع المستقيمة التي يمكن تكوينها باستخدام تلك النقاط.

هذه صورة لما قد تبدو عليه الدائرة إذا تضمنت خمس نقاط فقط. نحن نصل نقطة واحدة بكل نقطة من النقاط المتبقية الأخرى. وبعد ذلك، نصل نقطة أخرى بكل نقطة من النقاط المتبقية، وهكذا. إذا كانت لدينا دائرة مكونة من خمس نقاط فقط، فسيكون من السهل جدًّا حصر عدد القطع المستقيمة التي يمكن تكوينها. لكننا نعلم أن هناك ٨٧ نقطة تقع على الدائرة. لذا، سنستخدم مفهوم التوافيق هنا.

تخبرنا صيغة التوافيق عن عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر. بعبارة أخرى، إنها ﻥ توافيق ﺭ، وهو ما يساوي ببساطة مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. والآن، نجد أن إجمالي عدد النقاط لدينا هو ٨٧ نقطة؛ لذا سنجعل ﻥ يساوي ٨٧. لكن ما قيمة ﺭ؟ حسنًا، في كل مرة نرسم فيها قطعة مستقيمة، نصل بين نقطتين. لذا، سنجعل ﺭ يساوي اثنين. إذن، نحن نريد الآن إيجاد عدد طرق اختيار أي نقطتين من العدد المعطى ٨٧. وبذلك، فإن عدد القطع المستقيمة التي يمكن تكوينها يساوي ٨٧ توافيق اثنين.

وفقًا لهذه الصيغة، فإن هذا يساوي مضروب ٨٧ على مضروب اثنين في مضروب ٨٧ ناقص اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى مضروب ٨٧ على مضروب اثنين في مضروب ٨٥. نحن نعلم أن مضروب ٨٧ يساوي ٨٧ في ٨٦ في ٨٥، وهكذا. ومضروب اثنين يساوي اثنين في واحد، وهو ما يساوي اثنين. ومضروب ٨٥ يساوي ٨٥ في ٨٤، وهكذا. لكننا نريد تجنب إيجاد قيمة هذه المضروبات. لذا، بدلًا من ذلك، نلاحظ أنه يمكننا كتابة مضروب ٨٧ على صورة ٨٧ في ٨٦ في مضروب ٨٥. بعد ذلك، نقسم البسط والمقام على مضروب ٨٥. كما نلاحظ أنه يمكننا قسمة البسط والمقام على اثنين. وعليه، يمكننا تبسيط ٨٧ توافيق اثنين إلى ٨٧ في ٤٣. ‏٨٧ في ٤٣ يساوي ٣٧٤١. إذن، يمكن تكوين ٣٧٤١ قطعة مستقيمة باستخدام هذه النقاط.

من المثير للاهتمام أن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي كان يمكننا استخدامها. دعونا نعد إلى الدائرة التي تحتوي على خمس نقاط على محيطها. لقد بدأنا برسم أربع قطع مستقيمة. تذكر أننا اخترنا نقطة على الدائرة وأوصلناها بالنقاط الأربع المتبقية. بعد ذلك، اخترنا نقطة أخرى وأوصلناها بالنقاط الثلاث المتبقية. لقد أوصلنا تلك النقطة بالفعل بالنقطة الأولى؛ لذا سنقلل هذا العدد بمقدار واحد. بعد ذلك، سنختار نقطة أخرى. هذه النقطة متصلة بالفعل بنقطتين من النقاط؛ لذا سنصلها بنقطتين أخريين فقط. وأخيرًا، يتبقى لدينا نقطة واحدة، يمكن إيصالها بنقطة أخرى واحدة فقط. إذن، إذا كان لدينا خمس نقاط واقعة على الدائرة، فإن عدد القطع المستقيمة يساوي أربعة زائد ثلاثة زائد اثنين زائد واحد.

يمكننا تعميم ذلك والقول إنه إذا كان لدينا ﻥ من النقاط التي تقع على الدائرة، فإن المجموع يساوي ﻥ ناقص واحد زائد ﻥ ناقص اثنين زائد ﻥ ناقص ثلاثة، وهكذا. ومن ثم، بالنسبة للنقاط التي عددها ٨٧ نقطة، فإن المجموع يساوي ٨٦ زائد ٨٥ زائد ٨٤، وهكذا. لاحظ أن كل عدد في هذا المجموع يشكل متتابعة. في الواقع، هذه متتابعة حسابية. ولذلك، يمكننا استخدام صيغة مجموع أول ﻥ من الحدود في المتتابعة الحسابية. إنها تساوي نصف ﻥ في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ؛ حيث ﺃ هو الحد الأول في المتتابعة، وﺩ هو الفرق المشترك (أساس المتتابعة الحسابية).

المتتابعة التي لدينا هي في الواقع متسلسلة؛ لأننا نوجد مجموع ٨٦ حدًّا. والفرق المشترك هو سالب واحد. فكل حد يقل بمقدار واحد في كل مرة. والحد الأول ﺃ هو ٨٦. إذن، نحصل بذلك على نصف في ٨٦ في اثنين في ٨٦ زائد ٨٦ ناقص واحد في سالب واحد، وهو ما يعطينا أيضًا ٣٧٤١.