فيديو السؤال: استخدام حساب المثلثات لإيجاد طول مجهول في سياق واقعي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يريد نادر ومنى معرفة ارتفاع أحد التماثيل. وقف نادر على بعد خمسة أمتار من قاعدة التمثال وقاس زاوية الارتفاع من الأرض فوجدها تساوي ٦٥ درجة. ووقفت منى خلف نادر مباشرة. وقاست زاوية الارتفاع من الأرض، فوجدتها تساوي ٣٠ درجة. توصل كل منهما إلى النتيجة نفسها لارتفاع التمثال. كم تبعد منى عن نادر؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

حسنًا، علمنا أن هناك تمثالًا وأن نادر وقف على بعد خمسة أمتار من قاعدته. كما علمنا أنه قاس زاوية الارتفاع حتى قمة التمثال ووجد أنها تساوي ٦٥ درجة. ووقفت منى على مسافة ما خلف نادر. سنسمي هذه المسافة ﻑ. قاست منى أيضًا زاوية الارتفاع من الأرض ووجدت أنها تساوي ٣٠ درجة. علمنا أيضًا أن كليهما توصل إلى النتيجة نفسها للارتفاع، لكننا لا نعلم هذه القيمة، لذا سنسميها ﻉ. يمكننا قول إن هناك زاوية قائمة بين الأرض والتمثال، وهذا يعني أنه يمكننا استخدام النسب المثلثية للحل لإيجاد قيمة الارتفاع المجهول.

إذا بدأنا عند الزاوية التي قياسها ٦٥ درجة، فسيكون لدينا ضلع مجاور، طوله خمسة أمتار، وضلع مقابل طوله ﻉ، يمثل ارتفاع التمثال. وعندما نتناول طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور، فسنجد أن هذا يساوي ظل زاوية ما. ومن ثم، يمكننا قول إن ظا ٦٥ درجة يساوي طول الضلع المقابل، وهو ارتفاع التمثال، على طول الضلع المجاور، الذي يساوي خمسة أمتار. ولإيجاد الارتفاع، نضرب كلا طرفي المعادلة في خمسة أمتار. إذن، ارتفاع التمثال يساوي خمسة في ظا ٦٥ درجة. ومن ثم، نحصل على ١٠٫٧٢٢٥٣ أمتار مع توالي الأرقام.

إذا لم تحصل على هذه القيمة، فعليك التحقق من آلتك الحاسبة والتأكد من ضبطها على وضع الدرجات وليس الراديان. لكن هذا ليس الحل النهائي بالفعل؛ لأن ما نحاول إيجاده هو ﻑ، أي المسافة التي تبعدها منى عن نادر. لكننا سنحتاج إلى معرفة ارتفاع التمثال لإيجاد قيمة ﻑ. مرة أخرى، لدينا زاوية قائمة بين الأرض والتمثال، ومرة أخرى لدينا نسبة ظل لزاوية.

إذا بدأنا عند الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة، فسيكون طول الضلع المقابل هو ﻉ؛ أي ارتفاع التمثال. لكن علينا الانتباه جيدًا لما يمثله طول الضلع المجاور. يمثل هذا المتغير، ﻑ، المسافة التي تبعدها منى عن نادر، لكن نادر يقف على بعد خمسة أمتار من التمثال. وهذا يعني أن الضلع المجاور هنا يساوي خمسة زائد ﻑ متر.

إذن، ظا ٣٠ درجة يساوي ﻉ على خمسة زائد ﻑ. لا يمكننا حل هذه المسألة لأن لدينا متغيرين، لكن يمكننا التعويض بقيمة الارتفاع التي نعرفها بالفعل؛ وهي ١٠٫٧٢٢٥٣ وهكذا مع توالي الأرقام. والآن، علينا استخدام هذه المعلومات لإيجاد قيمة ﻑ. نظرًا لوجود خمسة زائد ﻑ في المقام، يمكننا حذف خمسة زائد ﻑ من المقام بضرب كلا طرفي المعادلة في خمسة زائد ﻑ. وهذا سيعطينا خمسة زائد ﻑ في ظا ٣٠ درجة يساوي ١٠٫٧٢٢٥٣ وهكذا مع توالي الأرقام. بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على ظا ٣٠ درجة. إذن، ١٠٫٧٢٢٥٣ وهكذا مع توالي الأرقام مقسومًا على ظا ٣٠ درجة يساوي ١٨٫٥٧١٩٧ وهكذا مع توالي الأرقام.

مرة أخرى، إذا لم تحصل على هذا الناتج، فعليك أن تتأكد من أنك تستخدم الآلة على وضع الدرجات وليس الراديان. بعد ذلك، نطرح خمسة من كلا الطرفين لنجد بذلك أن ﻑ يساوي ١٣٫٥٧١٩٧ وهكذا مع توالي الأرقام. نحن نقرب لأقرب منزلتين عشريتين. يوجد سبعة في منزلة الأجزاء من مائة، لكن علينا النظر إلى يمين العدد سبعة. يوجد واحد، وهو ما يعني أننا سنقرب لأسفل إلى ١٣٫٥٧. وهذا القياس بوحدة المتر لأنها وحدة القياس التي بدأنا بها. وهذا يعني أن منى كانت تقف على بعد ١٨٫٥٧ مترًا تقريبًا من التمثال. لكن السؤال طلب منا إيجاد المسافة التي تبعدها منى عن نادر، وهي تساوي ١٣٫٥٧ مترًا.